Номер 4, страница 31 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4. Постройте график зависимости $v_x(t)$ для тела, движущегося равно- ускоренно в положительном направлении оси X с возрастающей по модулю скоростью. Начальная скорость движения равна $1\text{ м/с}$ и ус- корение $-0,5\text{ м/с}^2$. Какой путь прошло тело за $4\text{ с}$?

Дано:

Движение равноускоренное

Начальная скорость: $v_{0x} = 1$ м/с

Ускорение: $a_x = -0,5$ м/с²

Время движения: $t = 4$ с

Найти:

1. График зависимости $v_x(t)$

2. Путь $s$ за время $t=4$ с

Решение:

Условие задачи содержит некоторое противоречие. Указано, что тело движется "с возрастающей по модулю скоростью", что при начальном движении в положительном направлении оси X ($v_{0x} > 0$) подразумевает и положительное ускорение ($a_x > 0$). Однако в числовых данных приведено отрицательное ускорение $a_x = -0,5$ м/с². Это означает, что тело сначала замедляет свое движение, останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении, увеличивая скорость по модулю. Решение будем строить на основе предоставленных числовых данных.

Запишем уравнение зависимости проекции скорости от времени для равноускоренного движения:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Подставим известные значения из условия задачи:

$v_x(t) = 1 - 0,5t$

Эта функция является линейной, следовательно, ее график — это прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек, например, в начальный и конечный моменты времени.

При $t=0$ с: $v_x(0) = 1 - 0,5 \cdot 0 = 1$ м/с.

При $t=4$ с: $v_x(4) = 1 - 0,5 \cdot 4 = 1 - 2 = -1$ м/с.

График представляет собой прямую, проходящую через точки с координатами (0; 1) и (4; -1).

Найдем момент времени, когда тело останавливается (скорость становится равной нулю) и меняет направление движения:

$v_x(t) = 0 \implies 1 - 0,5t = 0 \implies 0,5t = 1 \implies t = 2$ с.

Ниже представлен график зависимости $v_x(t)$:

Теперь рассчитаем путь, пройденный телом за 4 секунды. Поскольку в момент $t=2$ с тело меняет направление движения, общий путь $s$ будет равен сумме путей, пройденных на двух участках: от 0 до 2 с и от 2 до 4 с.

Пройденный путь численно равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени. В данном случае это сумма площадей двух треугольников.

Путь на первом участке (от $t=0$ до $t=2$ с):

$s_1 = \frac{1}{2} \cdot (2 - 0) \cdot |v_x(0)| = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ м.

Путь на втором участке (от $t=2$ с до $t=4$ с):

$s_2 = \frac{1}{2} \cdot (4 - 2) \cdot |v_x(4)| = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot |-1| = 1$ м.

Общий путь за 4 секунды:

$s = s_1 + s_2 = 1 + 1 = 2$ м.

Ответ: график зависимости $v_x(t)$ является прямой линией, показанной на рисунке выше. Путь, пройденный телом за 4 с, равен 2 м.