Номер 4, страница 34 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4. Запишите, как относятся друг к другу модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени, если это тело движется равноускоренно из состояния покоя.

Дано:

Движение равноускоренное, т.е. ускорение постоянно: $a = \text{const}$.

Тело движется из состояния покоя, т.е. начальная скорость равна нулю: $v_0 = 0$.

Рассматриваются последовательные равные промежутки времени. Обозначим длительность одного такого промежутка как $\Delta t$.

Найти:

Отношение модулей векторов перемещений за последовательные равные промежутки времени: $|\Delta \vec{r}_1| : |\Delta \vec{r}_2| : |\Delta \vec{r}_3| : \dots$

Решение:

Поскольку тело движется равноускоренно из состояния покоя, его движение является прямолинейным. В этом случае модуль вектора перемещения $|\Delta \vec{r}|$ равен пройденному пути $s$. Будем находить отношение путей, пройденных за последовательные равные промежутки времени $\Delta t$.

Общая формула для пути при равноускоренном движении без начальной скорости: $s(t) = \frac{at^2}{2}$

Рассчитаем путь, пройденный телом за первый, второй, третий и т.д. промежутки времени $\Delta t$.

1. Путь за первый промежуток времени (от $t_0=0$ до $t_1=\Delta t$): $s_1 = s(\Delta t) - s(0) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} - 0 = \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

2. Путь за второй промежуток времени (от $t_1=\Delta t$ до $t_2=2\Delta t$): Этот путь равен разности путей, пройденных за время $2\Delta t$ и за время $\Delta t$. $s_2 = s(2\Delta t) - s(\Delta t) = \frac{a(2\Delta t)^2}{2} - \frac{a(\Delta t)^2}{2} = \frac{4a(\Delta t)^2}{2} - \frac{a(\Delta t)^2}{2} = 3 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

3. Путь за третий промежуток времени (от $t_2=2\Delta t$ до $t_3=3\Delta t$): $s_3 = s(3\Delta t) - s(2\Delta t) = \frac{a(3\Delta t)^2}{2} - \frac{a(2\Delta t)^2}{2} = \frac{9a(\Delta t)^2}{2} - \frac{4a(\Delta t)^2}{2} = 5 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

4. Путь за n-й промежуток времени (от $t_{n-1}=(n-1)\Delta t$ до $t_n=n\Delta t$): $s_n = s(n\Delta t) - s((n-1)\Delta t) = \frac{a(n\Delta t)^2}{2} - \frac{a((n-1)\Delta t)^2}{2}$

$s_n = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (n^2 - (n-1)^2) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (2n-1)$

Теперь найдем отношение модулей перемещений (путей): $s_1 : s_2 : s_3 : \dots : s_n = \left(1 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right) : \left(3 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right) : \left(5 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right) : \dots : \left((2n-1) \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right)$

Сократив общий множитель $\frac{a(\Delta t)^2}{2}$, получаем искомое отношение.

Ответ: Модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени при равноускоренном движении из состояния покоя, относятся как ряд последовательных нечетных чисел: $1 : 3 : 5 : 7 : \dots : (2n-1) : \dots$