Номер 3, страница 34 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

3. Запишите, как относятся друг к другу модули векторов перемещений тела, движущегося равноускоренно из состояния покоя, при увеличении времени его движения в целое число раз по сравнению с $t_1$.

Дано:

Движение тела: равноускоренное

Начальная скорость: $v_0 = 0$ (из состояния покоя)

Начальное время движения: $t_1$

Модуль вектора перемещения за время $t_1$: $s_1$

Новое время движения: $t_2 = n \cdot t_1$, где $n$ - целое число ($n \in \mathbb{Z}, n \ge 1$)

Модуль вектора перемещения за время $t_2$: $s_2$

Найти:

Отношение модулей векторов перемещения $\frac{s_2}{s_1}$.

Решение:

Вектор перемещения $\vec{s}$ при равноускоренном движении определяется по формуле: $$ \vec{s} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2} $$ где $\vec{v_0}$ - начальная скорость, $\vec{a}$ - ускорение, $t$ - время движения.

По условию задачи, тело начинает движение из состояния покоя, следовательно, его начальная скорость $\vec{v_0} = \vec{0}$. Формула для перемещения упрощается: $$ \vec{s} = \frac{\vec{a}t^2}{2} $$

Модуль вектора перемещения $s = |\vec{s}|$ (в данном случае равен пройденному пути, так как направление движения не меняется) равен: $$ s = \frac{at^2}{2} $$ где $a = |\vec{a}|$ - модуль ускорения.

Запишем модуль перемещения для начального времени $t_1$: $$ s_1 = \frac{at_1^2}{2} $$

Теперь рассмотрим случай, когда время движения увеличилось в $n$ раз, то есть новое время $t_2 = n \cdot t_1$. Модуль перемещения за это время будет равен: $$ s_2 = \frac{at_2^2}{2} = \frac{a(n \cdot t_1)^2}{2} = \frac{a \cdot n^2 \cdot t_1^2}{2} $$

Перегруппируем множители в выражении для $s_2$: $$ s_2 = n^2 \cdot \left(\frac{at_1^2}{2}\right) $$

Так как выражение в скобках равно $s_1$, получаем зависимость между $s_2$ и $s_1$: $$ s_2 = n^2 \cdot s_1 $$

Найдем искомое отношение, которое показывает, как относятся модули перемещений: $$ \frac{s_2}{s_1} = n^2 $$

Таким образом, при увеличении времени движения в целое число раз $n$, модуль вектора перемещения увеличивается в $n^2$ раз. Например, если время увеличить в 2 раза ($n=2$), перемещение увеличится в $2^2=4$ раза. Если время увеличить в 3 раза ($n=3$), перемещение увеличится в $3^2=9$ раз, и так далее.

Ответ: Модули векторов перемещения тела, движущегося равноускоренно из состояния покоя, относятся как квадраты времен движения. Если время движения увеличить в $n$ раз по сравнению с $t_1$, то модуль вектора перемещения увеличится в $n^2$ раз. Математически это выражается как $s_n = n^2 s_1$, где $s_1$ - перемещение за время $t_1$, а $s_n$ - перемещение за время $t_n = n \cdot t_1$.