Страница 28 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Запишите формулу, по которой можно рассчитать проекцию вектора мгновенной скорости прямолинейного равноускоренного движения, если известны:

а) проекция вектора начальной скорости и проекция вектора ускорения;

б) проекция вектора ускорения при том, что начальная скорость равна нулю.

а) При прямолинейном равноускоренном движении зависимость проекции вектора мгновенной скорости от времени является линейной. Формула, по которой можно рассчитать проекцию вектора мгновенной скорости $v_x$ в любой момент времени $t$, если известны проекция вектора начальной скорости $v_{0x}$ и проекция вектора ускорения $a_x$, выглядит следующим образом:

$v_x = v_{0x} + a_x t$

В этой формуле $v_x$ – это проекция мгновенной скорости, $v_{0x}$ – проекция начальной скорости, $a_x$ – проекция ускорения, а $t$ – промежуток времени, в течение которого тело двигалось. Все проекции берутся на одну и ту же ось.

Ответ: $v_x = v_{0x} + a_x t$.

б) Данный случай является частным случаем движения, рассмотренного в пункте (а). Условие, что начальная скорость равна нулю, означает, что вектор начальной скорости $\vec{v_0} = \vec{0}$. Следовательно, проекция вектора начальной скорости на любую ось также будет равна нулю: $v_{0x} = 0$.

Если подставить это значение в общую формулу $v_x = v_{0x} + a_x t$, она упростится:

$v_x = 0 + a_x t$

Таким образом, для движения с нулевой начальной скоростью формула для проекции мгновенной скорости имеет вид:

$v_x = a_x t$

Ответ: $v_x = a_x t$.

2. Что представляет собой график проекции вектора скорости равноускоренного движения при начальной скорости: а) равной нулю; б) не равной нулю?

Решение

График зависимости проекции скорости от времени ($v_x$ от $t$) при равноускоренном движении описывается линейным уравнением. Общая формула для проекции скорости имеет вид:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

где $v_x(t)$ — проекция скорости в момент времени $t$, $v_{0x}$ — проекция начальной скорости, а $a_x$ — проекция ускорения. Поскольку при равноускоренном движении ускорение постоянно ($a_x = const$), это уравнение является уравнением прямой вида $y = b + kx$. В данном случае $v_x$ выступает в роли $y$, время $t$ — в роли $x$, проекция начальной скорости $v_{0x}$ — в роли начального смещения $b$, а проекция ускорения $a_x$ — в роли углового коэффициента (наклона) $k$.

Рассмотрим два случая.

а) начальная скорость равна нулю

Если начальная скорость тела равна нулю ($\vec{v}_0 = 0$), то и ее проекция на ось $OX$ также равна нулю ($v_{0x} = 0$).

В этом случае уравнение для проекции скорости упрощается и принимает вид:

$v_x(t) = a_x t$

Это уравнение описывает прямую пропорциональность между проекцией скорости $v_x$ и временем $t$. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат (точку $(0, 0)$).

• Если проекция ускорения положительна ($a_x > 0$), то график представляет собой прямую, идущую вверх из начала координат под углом к оси времени.
• Если проекция ускорения отрицательна ($a_x < 0$), то график — это прямая, идущая вниз из начала координат.

Ответ:

График проекции вектора скорости представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Наклон этой прямой равен проекции ускорения.

б) начальная скорость не равна нулю

Если начальная скорость тела не равна нулю ($\vec{v}_0 \neq 0$), то ее проекция на ось $OX$ также не равна нулю ($v_{0x} \neq 0$).

Уравнение для проекции скорости остается в общем виде:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Это также уравнение прямой, но она не проходит через начало координат. При $t=0$ скорость $v_x = v_{0x}$. Это означает, что график начинается на оси скоростей (оси ординат) в точке, соответствующей значению проекции начальной скорости $v_{0x}$.

• Если $a_x > 0$ (равноускоренное движение), график — это восходящая прямая, начинающаяся в точке $(0, v_{0x})$.
• Если $a_x < 0$ (равнозамедленное движение), график — это нисходящая прямая, начинающаяся в точке $(0, v_{0x})$. В этом случае прямая может пересечь ось времени, что соответствует моменту, когда тело останавливается и меняет направление движения.

Ответ:

График проекции вектора скорости представляет собой прямую линию, не проходящую через начало координат. Эта прямая отсекает на оси скоростей (при $t=0$) отрезок, равный проекции начальной скорости $v_{0x}$, а ее наклон равен проекции ускорения $a_x$.

3. Чем сход-ны и чем отличаются друг от друга движения, графики которых представлены на рисунках 15 и 16?

Риc. 15. График функции

Риc. 16. График функции

Дано:

Из рисунка 15 представлен график и уравнение зависимости проекции скорости от времени: $v_{x} = 10 + 1.4t$ (м/с).

Из рисунка 16 представлен график и уравнение зависимости проекции скорости от времени: $v_{x} = 20 - 2t$ (м/с).

Все величины в уравнениях и на графиках даны в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Сходства и различия между движениями, представленными на графиках.

Решение:

Оба графика зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ представляют собой прямые линии, что указывает на то, что оба движения являются прямолинейными равноускоренными. Общий вид уравнения для проекции скорости при таком движении: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$, где $v_{0x}$ — начальная проекция скорости, а $a_x$ — проекция ускорения.

Проанализируем каждое движение отдельно.

Движение на Рис. 15:

Уравнение движения: $v_x = 10 + 1.4t$. Сравнивая его с общей формулой, находим параметры движения:

- Начальная проекция скорости: $v_{0x1} = 10 \text{ м/с}$.

- Проекция ускорения: $a_{x1} = 1.4 \text{ м/с}^2$.

Поскольку начальная скорость и ускорение имеют положительные проекции ($v_{0x1} > 0$ и $a_{x1} > 0$), их векторы сонаправлены. Это означает, что тело движется равноускоренно в положительном направлении оси $Ox$, и его скорость со временем монотонно возрастает.

Движение на Рис. 16:

Уравнение движения: $v_x = 20 - 2t$. Параметры этого движения:

- Начальная проекция скорости: $v_{0x2} = 20 \text{ м/с}$.

- Проекция ускорения: $a_{x2} = -2 \text{ м/с}^2$.

Здесь начальная скорость имеет положительную проекцию ($v_{0x2} > 0$), а ускорение — отрицательную ($a_{x2} < 0$). Векторы начальной скорости и ускорения направлены в противоположные стороны. Следовательно, тело сначала движется равнозамедленно в положительном направлении оси $Ox$. Его скорость уменьшается. В момент времени, когда скорость станет равной нулю ($v_x = 0$), тело остановится. Найдем этот момент времени: $0 = 20 - 2t \implies t = 10 \text{ с}$. После $t=10 \text{ с}$ проекция скорости становится отрицательной, и тело начинает двигаться равноускоренно в обратном направлении (вдоль отрицательного направления оси $Ox$).

На основе проведенного анализа сформулируем сходства и различия.

Сходства:

- Оба движения являются прямолинейными равноускоренными, так как ускорение в обоих случаях постоянно ($a_x = \text{const}$), что подтверждается линейной зависимостью скорости от времени.

- В начальный момент времени ($t=0$) оба тела движутся в одном и том же направлении — в положительном направлении оси $Ox$, так как их начальные проекции скорости положительны.

Различия:

- Начальные скорости тел различны по величине: $v_{0x1} = 10 \text{ м/с}$ для первого движения и $v_{0x2} = 20 \text{ м/с}$ для второго.

- Ускорения тел различны как по модулю, так и по направлению. Проекция ускорения первого тела положительна ($a_{x1} = 1.4 \text{ м/с}^2$), а второго — отрицательна ($a_{x2} = -2 \text{ м/с}^2$).

- Характер изменения скорости со временем кардинально отличается. В первом случае скорость тела постоянно возрастает (равноускоренное движение). Во втором случае скорость сначала убывает до нуля (равнозамедленное движение), а затем тело движется в обратном направлении с возрастающей по модулю скоростью.

Ответ:Сходства движений заключаются в том, что оба они являются прямолинейными равноускоренными и начинаются в положительном направлении оси $Ox$. Различия заключаются в начальных скоростях ($10 \text{ м/с}$ и $20 \text{ м/с}$), а также в ускорениях ($+1.4 \text{ м/с}^2$ и $-2 \text{ м/с}^2$). Это приводит к разному характеру движения: первое тело постоянно ускоряется, а второе сначала замедляется до остановки, а затем ускоряется в противоположном направлении.

1. Хоккеист слегка ударил клюшкой по шайбе, придав ей скорость $2 \text{ м/с}$. Чему будет равна скорость шайбы через $4 \text{ с}$ после удара, если в результате трения о лёд она движется с ускорением $0,25 \text{ м/с}^2$?

1. Дано:

Начальная скорость шайбы, $v_0 = 2 \text{ м/с}$

Время движения, $t = 4 \text{ с}$

Модуль ускорения, $a = 0,25 \text{ м/с}^2$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Конечную скорость шайбы, $v$ — ?

Решение:

После удара шайба движется по льду. Сила трения, действующая на шайбу, создаёт ускорение, направленное в сторону, противоположную движению. Такое движение называется равнозамедленным. Это означает, что в формуле для скорости проекция ускорения на ось движения будет иметь отрицательное значение.

Для нахождения конечной скорости при равнопеременном движении используется формула:

$v = v_0 + at$

где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение, $t$ — время.

Подставим в формулу известные значения, учитывая, что ускорение направлено против начальной скорости ($a = -0,25 \text{ м/с}^2$):

$v = 2 \text{ м/с} + (-0,25 \text{ м/с}^2) \cdot 4 \text{ с}$

Вычислим произведение ускорения на время:

$(-0,25 \text{ м/с}^2) \cdot 4 \text{ с} = -1 \text{ м/с}$

Теперь найдем конечную скорость:

$v = 2 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: скорость шайбы через 4 с после удара будет равна $1 \text{ м/с}$.

2. Лыжник съезжает с горы из состояния покоя с ускорением, равным $0.2 \text{ м/с}^2$. Через какой промежуток времени его скорость возрастёт до $2 \text{ м/с}$?

Дано:

Начальная скорость (состояние покоя) $v_0 = 0 \text{ м/с}$

Ускорение $a = 0,2 \text{ м/с²}$

Конечная скорость $v = 2 \text{ м/с}$

Найти:

Промежуток времени $t$ — ?

Решение:

Данная задача описывает равноускоренное прямолинейное движение, так как лыжник движется с постоянным ускорением. Связь между скоростью, ускорением и временем при таком движении выражается формулой:

$v = v_0 + at$

где $v$ – конечная скорость тела, $v_0$ – его начальная скорость, $a$ – ускорение, а $t$ – промежуток времени.

Чтобы найти искомый промежуток времени $t$, выразим его из этой формулы:

$at = v - v_0$

$t = \frac{v - v_0}{a}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи:

$t = \frac{2 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{0,2 \text{ м/с²}} = \frac{2}{0,2} \text{ с} = 10 \text{ с}$

Ответ: 10 с.

3. В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости при прямолинейном равноускоренном движении для случаев:

а) $v_{0x} = 1 \text{ м/с}$, $a_x = 0,5 \text{ м/с}^2$;

б) $v_{0x} = 1 \text{ м/с}$, $a_x = 1 \text{ м/с}^2$;

в) $v_{0x} = 2 \text{ м/с}$, $a_x = 1 \text{ м/с}^2$.

Масштаб: 1 см — 1 м/с; 1 см — 1 с.

Дано:

Движение прямолинейное, равноускоренное.

а) $v_{0x} = 1 \text{ м/с}$, $a_x = 0.5 \text{ м/с}^2$

б) $v_{0x} = 1 \text{ м/с}$, $a_x = 1 \text{ м/с}^2$

в) $v_{0x} = 2 \text{ м/с}$, $a_x = 1 \text{ м/с}^2$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Построить графики зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$ для всех случаев в одной системе координат.

Решение:

Зависимость проекции скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении описывается уравнением:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Это уравнение является линейной функцией вида $y = kx + b$, где $v_x$ — это $y$, $t$ — это $x$, $a_x$ — угловой коэффициент $k$, а $v_{0x}$ — свободный член $b$ (значение функции при $t=0$). Графиком такой функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек для каждого случая.

а) Для первого случая имеем $v_{0x} = 1 \text{ м/с}$ и $a_x = 0.5 \text{ м/с}^2$. Уравнение скорости примет вид:

$v_x(t) = 1 + 0.5t$

Найдем две точки для построения графика:

- при $t_1 = 0 \text{ с}$, $v_{x1} = 1 + 0.5 \cdot 0 = 1 \text{ м/с}$. Координаты точки (0; 1).

- при $t_2 = 4 \text{ с}$, $v_{x2} = 1 + 0.5 \cdot 4 = 1 + 2 = 3 \text{ м/с}$. Координаты точки (4; 3).

б) Для второго случая имеем $v_{0x} = 1 \text{ м/с}$ и $a_x = 1 \text{ м/с}^2$. Уравнение скорости примет вид:

$v_x(t) = 1 + t$

Найдем две точки для построения графика:

- при $t_1 = 0 \text{ с}$, $v_{x1} = 1 + 0 = 1 \text{ м/с}$. Координаты точки (0; 1).

- при $t_2 = 4 \text{ с}$, $v_{x2} = 1 + 4 = 5 \text{ м/с}$. Координаты точки (4; 5).

в) Для третьего случая имеем $v_{0x} = 2 \text{ м/с}$ и $a_x = 1 \text{ м/с}^2$. Уравнение скорости примет вид:

$v_x(t) = 2 + t$

Найдем две точки для построения графика:

- при $t_1 = 0 \text{ с}$, $v_{x1} = 2 + 0 = 2 \text{ м/с}$. Координаты точки (0; 2).

- при $t_2 = 4 \text{ с}$, $v_{x2} = 2 + 4 = 6 \text{ м/с}$. Координаты точки (4; 6).

Теперь построим все три графика в одной системе координат $v_x(t)$. По горизонтальной оси отложим время $t$ в секундах, а по вертикальной — проекцию скорости $v_x$ в м/с. Проведем прямые через вычисленные точки для каждого случая.

Из расчетов видно, что графики (а) и (б) начинаются из одной точки (0; 1), так как начальные скорости одинаковы. Однако график (б) идет круче, чем (а), так как ускорение во втором случае больше ($1 \text{ м/с}^2 > 0.5 \text{ м/с}^2$), что соответствует большему угловому коэффициенту.

Графики (б) и (в) имеют одинаковый наклон, так как ускорения в этих случаях равны ($a_x = 1 \text{ м/с}^2$). Они представляют собой параллельные прямые. График (в) расположен выше графика (б), так как начальная скорость в третьем случае больше ($2 \text{ м/с} > 1 \text{ м/с}$).

Ответ:

Графики зависимости проекции скорости от времени для заданных условий представлены на рисунке выше. Они являются прямыми линиями, которые описываются следующими уравнениями:

а) $v_x(t) = 1 + 0.5t$

б) $v_x(t) = 1 + t$

в) $v_x(t) = 2 + t$

4. В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости при прямолинейном равноускоренном движении для случаев:
а) $v_{0x} = 4,5 \text{ м/с}$, $a_x = -1,5 \text{ м/с}^2$;
б) $v_{0x} = 3 \text{ м/с}$, $a_x = -1 \text{ м/с}^2$.

Дано:

а) $v_{0x} = 4,5$ м/с, $a_x = -1,5$ м/с²

б) $v_{0x} = 3$ м/с, $a_x = -1$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Построить графики зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ для случаев а) и б) в одной системе координат.

Решение:

Зависимость проекции скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении описывается уравнением: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$. Это уравнение является линейной функцией вида $y = kx + b$. Графиком такой функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.

а) Для первого случая подставляем данные в общее уравнение и получаем уравнение движения:

$v_{x}(t) = 4,5 - 1,5t$

Найдем две точки для построения графика:

1. При $t = 0$ с, проекция скорости $v_x = 4,5 - 1,5 \cdot 0 = 4,5$ м/с. Координаты первой точки (0; 4,5).

2. Найдем момент времени, когда скорость станет равна нулю: $0 = 4,5 - 1,5t$, откуда $1,5t = 4,5$, и $t = 3$ с. Координаты второй точки (3; 0).

б) Для второго случая подставляем данные и получаем уравнение движения:

$v_{x}(t) = 3 - t$

Найдем две точки для построения графика:

1. При $t = 0$ с, проекция скорости $v_x = 3 - 0 = 3$ м/с. Координаты первой точки (0; 3).

2. Найдем момент времени, когда скорость станет равна нулю: $0 = 3 - t$, откуда $t = 3$ с. Координаты второй точки (3; 0).

Для построения графиков начертим систему координат, где по горизонтальной оси откладывается время $t$ в секундах, а по вертикальной — проекция скорости $v_x$ в м/с. Затем нанесем на координатную плоскость найденные точки для каждого случая и соединим их прямыми линиями.

Ответ:

Графики зависимости проекции скорости от времени для обоих случаев представляют собой две прямые линии, построенные в одной системе координат $v_x(t)$.

- График для случая а), описываемый уравнением $v_{x}(t) = 4,5 - 1,5t$, — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 4,5) и (3; 0).

- График для случая б), описываемый уравнением $v_{x}(t) = 3 - t$, — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 3) и (3; 0).

Оба графика являются убывающими прямыми, которые пересекаются в одной точке (3; 0) на оси времени $t$. Это означает, что в момент времени $t = 3$ с скорости обоих тел становятся равными нулю.

5. На рисунке 17 представлены графики зависимости модуля вектора скорости от времени при прямолинейном движении двух тел. С каким по модулю ускорением движется тело I; тело II? Запишите формулу изменения скорости для каждого тела. Постройте в одних и тех же координатных осях графики зависимости $a_x(t)$ (ось X считайте сонаправленной с вектором начальной скорости тела I).

Рис. 17

Дано:

Графики зависимости модуля скорости от времени $v(t)$ для двух тел (I и II).

Тело I: начальная скорость $v_{01} = 3 \text{ м/с}$; в момент времени $t_1 = 3 \text{ с}$, скорость $v_1 = 0 \text{ м/с}$.

Тело II: начальная скорость $v_{02} = 1 \text{ м/с}$; в момент времени $t_2 = 3 \text{ с}$, скорость $v_2 = 4 \text{ м/с}$.

Ось X сонаправлена с вектором начальной скорости тела I, $\vec{v}_{01}$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Модули ускорений $a_1$ и $a_2$.

2. Формулы для проекции скорости $v_{1x}(t)$ и $v_{2x}(t)$.

3. График зависимости $a_x(t)$ для обоих тел.

Решение:

Поскольку графики зависимости модуля скорости от времени для обоих тел представляют собой прямые линии, оба тела движутся прямолинейно и равноускоренно. Модуль ускорения в таком движении постоянен и может быть найден как модуль тангенса угла наклона графика $v(t)$ к оси времени.

С каким по модулю ускорением движется тело I; тело II?

Модуль ускорения определяется по формуле: $a = \left| \frac{\Delta v}{\Delta t} \right| = \left| \frac{v_{\text{кон}} - v_{\text{нач}}}{t_{\text{кон}} - t_{\text{нач}}} \right|$.

Для тела I, используя точки $(0 \text{ с}; 3 \text{ м/с})$ и $(3 \text{ с}; 0 \text{ м/с})$, получаем: $a_1 = \left| \frac{0 \text{ м/с} - 3 \text{ м/с}}{3 \text{ с} - 0 \text{ с}} \right| = \left| -1 \right| \text{ м/с}^2 = 1 \text{ м/с}^2$.

Для тела II, используя точки $(0 \text{ с}; 1 \text{ м/с})$ и $(3 \text{ с}; 4 \text{ м/с})$, получаем: $a_2 = \left| \frac{4 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с}}{3 \text{ с} - 0 \text{ с}} \right| = \left| \frac{3}{3} \right| \text{ м/с}^2 = 1 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Модуль ускорения тела I равен $1 \text{ м/с}^2$. Модуль ускорения тела II равен $1 \text{ м/с}^2$.

Запишите формулу изменения скорости для каждого тела.

Уравнение проекции скорости на ось X для равноускоренного движения имеет вид: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$. По условию, ось X сонаправлена с вектором начальной скорости тела I.

Для тела I:

Начальная скорость направлена вдоль оси X, поэтому ее проекция положительна: $v_{01x} = 3 \text{ м/с}$.

Поскольку модуль скорости тела I уменьшается, его ускорение направлено против вектора скорости, а значит, и против оси X. Следовательно, проекция ускорения на ось X отрицательна: $a_{1x} = -a_1 = -1 \text{ м/с}^2$.

Уравнение для проекции скорости тела I: $v_{1x}(t) = 3 - 1 \cdot t = 3 - t$.

Для тела II:

Модуль скорости тела II увеличивается, значит, его ускорение сонаправлено со скоростью. Будем считать, что тело II также начинает движение в положительном направлении оси X. Тогда проекция его начальной скорости $v_{02x} = 1 \text{ м/с}$.

Проекция ускорения также будет положительна: $a_{2x} = a_2 = 1 \text{ м/с}^2$.

Уравнение для проекции скорости тела II: $v_{2x}(t) = 1 + 1 \cdot t = 1 + t$.

Ответ: $v_{1x}(t) = 3 - t \text{ (м/с)}$; $v_{2x}(t) = 1 + t \text{ (м/с)}$.

Постройте в одних и тех же координатных осях графики зависимости $a_x(t)$.

Так как движение равноускоренное, проекции ускорений обоих тел на ось X являются постоянными величинами: $a_{1x} = -1 \text{ м/с}^2$ и $a_{2x} = 1 \text{ м/с}^2$. Графики этих зависимостей представляют собой прямые линии, параллельные оси времени $t$.

Ответ: График зависимостей проекции ускорения от времени $a_x(t)$ для тел I и II представлен на рисунке.