Страница 25 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. К какому виду движения — равномерному или неравномерному — относится прямолинейное равноускоренное движение?

1. Чтобы определить, к какому виду движения относится прямолинейное равноускоренное движение, необходимо сравнить его характеристики с определениями равномерного и неравномерного движения.

Равномерное движение характеризуется постоянной скоростью ($ \vec{v} = \text{const} $). Это означает, что вектор скорости не изменяется ни по величине, ни по направлению. Тело, движущееся равномерно, проходит одинаковые расстояния за любые равные промежутки времени. Ускорение при таком движении равно нулю ($ \vec{a} = 0 $).

Неравномерное движение — это любое движение, при котором скорость тела изменяется с течением времени ($ \vec{v} \neq \text{const} $). Скорость может меняться по величине, по направлению или и то, и другое одновременно. Ускорение при неравномерном движении отлично от нуля ($ \vec{a} \neq 0 $).

Прямолинейное равноускоренное движение — это движение, происходящее вдоль прямой линии с постоянным ускорением ($ \vec{a} = \text{const} $ и $ \vec{a} \neq 0 $). Поскольку ускорение не равно нулю, скорость тела изменяется с течением времени. Зависимость скорости от времени описывается формулой $ \vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t $, где $ \vec{v}_0 $ — начальная скорость.

Из сравнения определений следует, что ключевым отличием равномерного движения от неравномерного является изменение скорости. В прямолинейном равноускоренном движении скорость изменяется (так как $ \vec{a} \neq 0 $), что является определяющим признаком неравномерного движения. Таким образом, прямолинейное равноускоренное движение является частным случаем неравномерного движения.

Ответ: Прямолинейное равноускоренное движение относится к неравномерному движению, поскольку его скорость не является постоянной, а изменяется с течением времени.

2. Что понимают под мгновенной скоростью неравномерного движения?

1. Прямолинейное равноускоренное движение — это движение, при котором тело (материальная точка) движется вдоль прямой линии, а его скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Так как скорость тела изменяется с течением времени, такое движение является частным случаем неравномерного движения. Более точно, его классифицируют как равнопеременное движение, поскольку изменение скорости происходит с постоянным ускорением.

Ответ: Прямолинейное равноускоренное движение относится к неравномерному движению (является частным случаем равнопеременного движения).

2. Под мгновенной скоростью неравномерного движения понимают скорость тела в данный конкретный момент времени или в данной точке его траектории. Это векторная величина, которая характеризуется как числовым значением (модулем скорости), так и направлением движения в рассматриваемый момент. Мгновенную скорость можно определить как предел отношения малого перемещения $\Delta\vec{r}$ к малому промежутку времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло, при стремлении этого промежутка времени к нулю. Математически это выражается как первая производная радиус-вектора по времени: $\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$.

Ответ: Мгновенная скорость – это скорость тела в определенный момент времени или в определенной точке траектории.

3.(Вопрос на изображении представлен не полностью. Наиболее вероятное полное содержание вопроса: «Дайте определение ускорения.»)

Ускорение — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела как по модулю, так и по направлению. Ускорение равно отношению изменения вектора скорости тела $\Delta\vec{v}$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это изменение произошло. Формула для нахождения (среднего) ускорения имеет вид: $\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{\Delta t}$, где $\vec{v}_0$ — начальная скорость тела, а $\vec{v}$ — его конечная скорость через промежуток времени $\Delta t$. В случае равноускоренного движения ускорение является постоянной величиной. В Международной системе единиц (СИ) ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате ($м/с^2$).

Ответ: Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела и равная отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло.

4. Что такое равноускоренное движение?

3. Дайте определение ускорения равноускоренного движения. Какова единица ускорения?

Ускорение — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела. При равноускоренном движении ускорение является постоянной величиной ($ \vec{a} = \text{const} $), то есть оно не изменяется ни по модулю, ни по направлению.

Определение ускорения выражается формулой:

$ \vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t} $

где $ \Delta\vec{v} $ — это изменение вектора скорости ($ \vec{v} - \vec{v_0} $) за промежуток времени $ \Delta t $ (или $ t $).

Единицей измерения ускорения в Международной системе единиц (СИ) является метр на секунду в квадрате, обозначается как $м/с^2$. Эта единица показывает, на сколько метров в секунду ($м/с$) изменяется скорость тела за одну секунду ($с$).

Ответ: Ускорение равноускоренного движения — это постоянная векторная величина, равная отношению изменения скорости тела к промежутку времени, за который это изменение произошло. Единица измерения ускорения в СИ — $м/с^2$.

4. Что такое равноускоренное движение?

Равноускоренное движение — это такой вид механического движения, при котором тело (рассматриваемое как материальная точка) движется с постоянным по модулю и направлению ускорением. Это означает, что вектор ускорения $ \vec{a} $ не изменяется с течением времени, то есть $ \vec{a} = \text{const} $.

Основной признак равноускоренного движения заключается в том, что за любые равные промежутки времени скорость тела изменяется на одну и ту же величину.

Если векторы ускорения и начальной скорости сонаправлены, движение называют равноускоренным. Если они направлены в противоположные стороны, движение называют равнозамедленным. Оба этих случая являются разновидностями равноускоренного движения.

Ответ: Равноускоренное движение — это движение с постоянным по величине и направлению ускорением.

4. Что такое равноускоренное движение?

4. Что такое равноускоренное движение?

Равноускоренное движение — это вид механического движения, при котором ускорение тела остается постоянным по величине и направлению. Иными словами, это движение, при котором вектор скорости тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину.

Математически это условие выражается как $ \vec{a} = \text{const} $, где $ \vec{a} $ — вектор ускорения. Ускорение характеризует быстроту изменения скорости и определяется как отношение изменения вектора скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло: $ \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t} $ где $ \vec{v}_0 $ — начальная скорость тела, а $ \vec{v} $ — его конечная скорость через промежуток времени $ t $.

В зависимости от взаимного направления векторов скорости и ускорения, прямолинейное равноускоренное движение может быть:

• Собственно равноускоренным, если векторы скорости и ускорения сонаправлены ($ \vec{v} \uparrow\uparrow \vec{a} $). В этом случае модуль скорости тела со временем увеличивается.
• Равнозамедленным, если векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны ($ \vec{v} \uparrow\downarrow \vec{a} $). В этом случае модуль скорости тела со временем уменьшается.

Основные кинематические уравнения, описывающие прямолинейное равноускоренное движение (в проекциях на ось Ox, совпадающую с направлением движения):

1. Зависимость проекции скорости от времени: $ v_x(t) = v_{0x} + a_x t $
2. Зависимость координаты от времени: $ x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} $ где $ x_0 $ — начальная координата.
3. Зависимость проекции перемещения от времени: $ s_x(t) = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} $
4. Формула для перемещения, не содержащая времени: $ s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x} $

Классическим примером равноускоренного движения является свободное падение тел в поле тяготения Земли (если пренебречь сопротивлением воздуха). Ускорение в этом случае постоянно и равно ускорению свободного падения $ \vec{g} $.

Ответ: Равноускоренное движение — это движение тела с постоянным вектором ускорения ($ \vec{a} = \text{const} $). При таком движении скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину.

5. Что показывает модуль вектора ускорения?

4. Равноускоренное движение — это движение, при котором вектор ускорения материальной точки $\vec{a}$ не изменяется со временем ни по модулю, ни по направлению, то есть является постоянной величиной ($\vec{a} = \text{const}$). В этом случае скорость тела изменяется по линейному закону $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$, где $\vec{v}_0$ — начальная скорость тела.

Ответ: Равноускоренное движение — это движение с постоянным вектором ускорения.

5. Модуль вектора ускорения $a=|\vec{a}|$ — это скалярная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения вектора скорости. Модуль ускорения показывает, насколько велик вектор изменения скорости $\Delta\vec{v}$ за малый промежуток времени $\Delta t$. В системе СИ ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате ($м/с^2$). Если тело движется прямолинейно, то модуль ускорения показывает, как быстро изменяется значение скорости. Если же траектория криволинейна, то ускорение характеризует изменение скорости как по модулю, так и по направлению.

Ответ: Модуль вектора ускорения показывает быстроту изменения вектора скорости тела.

6. (Ответ на наиболее вероятный вопрос: "При каком условии модуль скорости тела увеличивается или уменьшается?")

Модуль скорости тела (скорость) изменяется в зависимости от взаимного направления векторов скорости $\vec{v}$ и ускорения $\vec{a}$:

• Модуль скорости увеличивается, если угол $\alpha$ между векторами $\vec{v}$ и $\vec{a}$ является острым ($0 \le \alpha < 90^\circ$). В этом случае скалярное произведение векторов положительно: $\vec{v} \cdot \vec{a} > 0$. Такое движение называют ускоренным.
• Модуль скорости уменьшается, если угол $\alpha$ между векторами $\vec{v}$ и $\vec{a}$ является тупым ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$). В этом случае скалярное произведение векторов отрицательно: $\vec{v} \cdot \vec{a} < 0$. Такое движение называют замедленным.
• Модуль скорости остается постоянным в данный момент времени, если векторы $\vec{v}$ и $\vec{a}$ перпендикулярны ($\alpha = 90^\circ$). В этом случае изменяется только направление скорости.

Ответ: Модуль скорости увеличивается, когда угол между векторами скорости и ускорения острый, и уменьшается, когда этот угол тупой.

6. При каком условии модуль вектора скорости движущегося тела увеличивается; уменьшается?

Изменение модуля вектора скорости (то есть скорости) тела определяется тангенциальной (касательной) составляющей вектора ускорения. Вектор полного ускорения $\vec{a}$ можно разложить на две компоненты: тангенциальную $\vec{a}_\tau$, направленную по касательной к траектории (параллельно вектору скорости $\vec{v}$), и нормальную $\vec{a}_n$, направленную перпендикулярно вектору скорости. Тангенциальная компонента отвечает за изменение величины скорости, а нормальная — за изменение ее направления. Величина тангенциального ускорения равна проекции вектора полного ускорения на направление вектора скорости: $a_\tau = a \cos \alpha$, где $\alpha$ — это угол между векторами скорости $\vec{v}$ и ускорения $\vec{a}$.

увеличивается

Модуль вектора скорости тела увеличивается, когда тангенциальное ускорение положительно ($a_\tau > 0$), то есть когда вектор тангенциального ускорения $\vec{a}_\tau$ сонаправлен с вектором скорости $\vec{v}$. Это происходит в том случае, если проекция вектора полного ускорения $\vec{a}$ на направление вектора скорости $\vec{v}$ положительна. Математически это условие выражается как $a_\tau = a \cos \alpha > 0$. Поскольку модуль ускорения $a=|\vec{a}|$ всегда неотрицателен, это неравенство выполняется, когда $\cos \alpha > 0$. Косинус угла положителен для острых углов. Таким образом, модуль скорости увеличивается, если угол $\alpha$ между вектором скорости и вектором ускорения острый: $0 \le \alpha < 90^\circ$ (или $0 \le \alpha < \pi/2$ рад).

Ответ: Модуль вектора скорости увеличивается, если угол между вектором скорости и вектором ускорения острый ($0 \le \alpha < 90^\circ$).

уменьшается

Модуль вектора скорости тела уменьшается, когда тангенциальное ускорение отрицательно ($a_\tau < 0$), то есть когда вектор тангенциального ускорения $\vec{a}_\tau$ направлен в сторону, противоположную вектору скорости $\vec{v}$. Это происходит в том случае, если проекция вектора полного ускорения $\vec{a}$ на направление вектора скорости $\vec{v}$ отрицательна. Математически это условие выражается как $a_\tau = a \cos \alpha < 0$. Это неравенство выполняется, когда $\cos \alpha < 0$. Косинус угла отрицателен для тупых углов. Таким образом, модуль скорости уменьшается, если угол $\alpha$ между вектором скорости и вектором ускорения тупой: $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$ (или $\pi/2 < \alpha \le \pi$ рад).

Ответ: Модуль вектора скорости уменьшается, если угол между вектором скорости и вектором ускорения тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$).

В каком случае мгновенная и средняя скорости равны между собой? Ответ поясните.

Мгновенная и средняя скорости равны между собой только в случае равномерного прямолинейного движения.

Для пояснения этого утверждения рассмотрим определения обеих скоростей.

Мгновенная скорость ($ \vec{v}_{мгн} $) — это скорость тела в конкретный момент времени и в конкретной точке траектории. Это векторная величина, направленная по касательной к траектории в данной точке.

Средняя скорость ($ \vec{v}_{ср} $) — это также векторная величина, которая определяется как отношение вектора перемещения тела ($ \Delta\vec{r} $) ко всему промежутку времени ($ \Delta t $), за который это перемещение произошло. $$ \vec{v}_{ср} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} $$

Теперь проанализируем условие равенства $ \vec{v}_{мгн} = \vec{v}_{ср} $.

1. Равномерное прямолинейное движение.

При таком движении тело движется вдоль прямой линии с постоянной по модулю и направлению скоростью. Обозначим эту постоянную скорость как $ \vec{v} $. В любой момент времени мгновенная скорость тела будет равна этому постоянному вектору: $ \vec{v}_{мгн} = \vec{v} $. Перемещение тела за промежуток времени $ \Delta t $ можно найти по формуле $ \Delta\vec{r} = \vec{v} \cdot \Delta t $. Подставив это выражение в формулу для средней скорости, получим: $$ \vec{v}_{ср} = \frac{\vec{v} \cdot \Delta t}{\Delta t} = \vec{v} $$ Таким образом, и мгновенная, и средняя скорости равны одному и тому же постоянному вектору $ \vec{v} $, следовательно, они равны между собой в любой момент времени и на любом промежутке времени.

2. Другие виды движения.

- При криволинейном движении (например, движение по окружности) направление вектора мгновенной скорости непрерывно изменяется, так как он всегда направлен по касательной к траектории. Вектор же средней скорости за какой-либо промежуток времени направлен по хорде, соединяющей начальную и конечную точки. Так как направления векторов в общем случае не совпадают, они не могут быть равны.

- При прямолинейном неравномерном движении (например, равноускоренном) модуль мгновенной скорости изменяется со временем. Средняя скорость за некоторый промежуток времени имеет определённое постоянное значение для этого промежутка. Поскольку мгновенная скорость не является постоянной, она не может быть тождественно равна средней скорости на всем промежутке.

Ответ: Мгновенная и средняя скорости равны между собой только при равномерном прямолинейном движении.

1. За один и тот же промежуток времени $t$ модуль вектора скорости первого автомобиля изменился от $v_1$ до $v'$, а второго — от $v_2$ до $v'$ (векторы скорости изображены в одинаковом масштабе на рисунке 13). Какой из автомобилей двигался в указанный промежуток с большим ускорением?

Рис. 13

Дано:

Промежуток времени для обоих автомобилей одинаков: $t_1 = t_2 = t$.

Векторы скорости изображены в едином масштабе. Примем за условную единицу скорости $v_0$ модуль скорости, соответствующий одному делению на шкале на рисунке.

Выберем ось $Ox$, направленную вправо.

Для первого автомобиля:

начальная скорость $\vec{v}_1$ направлена влево, её модуль равен $v_1 = 1 \cdot v_0 = v_0$. Проекция на ось $Ox$: $v_{1x} = -v_0$.

конечная скорость $\vec{v}'$ направлена вправо, её модуль равен $v' = 4 \cdot v_0 = 4v_0$. Проекция на ось $Ox$: $v'_{x} = 4v_0$.

Для второго автомобиля:

начальная скорость $\vec{v}_2$ направлена влево, её модуль равен $v_2 = 3 \cdot v_0 = 3v_0$. Проекция на ось $Ox$: $v_{2x} = -3v_0$.

конечная скорость $\vec{v}'$ направлена вправо, её модуль равен $v' = 4 \cdot v_0 = 4v_0$. Проекция на ось $Ox$: $v'_{x} = 4v_0$.

Найти:

Какой из автомобилей двигался с большим по модулю ускорением? Сравнить $a_1$ и $a_2$.

Решение:

Ускорение тела определяется как отношение изменения его скорости ко времени, за которое это изменение произошло. Формула для вектора среднего ускорения: $$ \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{t} = \frac{\vec{v}_{кон} - \vec{v}_{нач}}{t} $$

Поскольку по условию задачи промежуток времени $t$ для обоих автомобилей одинаков, то для сравнения модулей их ускорений ($a_1$ и $a_2$) достаточно сравнить модули изменения их скоростей, то есть $|\Delta \vec{v}|$. У какого автомобиля модуль изменения скорости больше, у того больше и модуль ускорения.

Найдем изменение скорости для первого автомобиля. Изменение скорости $\Delta \vec{v}_1 = \vec{v}' - \vec{v}_1$.

Найдем проекцию этого вектора на ось $Ox$: $$ \Delta v_{1x} = v'_{x} - v_{1x} = 4v_0 - (-v_0) = 4v_0 + v_0 = 5v_0 $$ Модуль изменения скорости первого автомобиля равен $|\Delta \vec{v}_1| = 5v_0$.

Найдем изменение скорости для второго автомобиля. Изменение скорости $\Delta \vec{v}_2 = \vec{v}' - \vec{v}_2$.

Найдем проекцию этого вектора на ось $Ox$: $$ \Delta v_{2x} = v'_{x} - v_{2x} = 4v_0 - (-3v_0) = 4v_0 + 3v_0 = 7v_0 $$ Модуль изменения скорости второго автомобиля равен $|\Delta \vec{v}_2| = 7v_0$.

Сравним модули изменения скоростей:

$|\Delta \vec{v}_2| = 7v_0$ и $|\Delta \vec{v}_1| = 5v_0$.

Очевидно, что $7v_0 > 5v_0$, следовательно, $|\Delta \vec{v}_2| > |\Delta \vec{v}_1|$.

Так как модули ускорений $a_1 = \frac{|\Delta \vec{v}_1|}{t}$ и $a_2 = \frac{|\Delta \vec{v}_2|}{t}$, а знаменатель $t$ одинаков для обоих случаев, то из неравенства $|\Delta \vec{v}_2| > |\Delta \vec{v}_1|$ следует, что $a_2 > a_1$.

Следовательно, второй автомобиль двигался с большим ускорением.

Ответ:

Второй автомобиль двигался с большим ускорением.

2. Самолёт, разгоняясь перед взлётом, в течение некоторого промежутка времени двигался равноускоренно. Каково было при этом ускорение самолёта, если за 30 с его скорость возросла от 10 до 55 м/с?

Дано:

Движение равноускоренное.

Начальная скорость $v_0 = 10$ м/с

Конечная скорость $v = 55$ м/с

Промежуток времени $t = 30$ с

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Ускорение самолёта $a$.

Решение:

Ускорение при равноускоренном движении определяется как отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло. Формула для нахождения ускорения выглядит следующим образом:

$a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v - v_0}{t}$

где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $t$ — время.

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$a = \frac{55 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{30 \text{ с}}$

$a = \frac{45 \text{ м/с}}{30 \text{ с}}$

$a = 1.5 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение самолёта было равно $1.5 \text{ м/с}^2$.

3. С каким ускорением двигался поезд на некотором участке пути, если за 12 с его скорость возросла на 6 м/с?

Дано:

Промежуток времени, $t = 12 \text{ с}$

Изменение скорости, $\Delta v = 6 \text{ м/с}$

Найти:

Ускорение, $a - ?$

Решение:

Ускорение — это физическая величина, показывающая, на сколько изменяется скорость тела за единицу времени. Для нахождения ускорения при равноускоренном движении используется формула, связывающая изменение скорости и время, за которое это изменение произошло.

Формула для расчета ускорения:

$a = \frac{\Delta v}{t}$

Где:

$a$ — искомое ускорение,

$\Delta v$ — изменение скорости (в данном случае, на сколько скорость возросла),

$t$ — промежуток времени.

Все величины даны в системе СИ, поэтому перевод единиц не требуется. Подставим числовые значения из условия задачи в формулу:

$a = \frac{6 \text{ м/с}}{12 \text{ с}} = 0.5 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение поезда составляло $0.5 \text{ м/с}^2$.

4. Тело, имеющее начальную скорость $20 \text{ м/с}$, движется с постоянным ускорением и останавливается через $10 \text{ с}$ после начала движения. Чему равно ускорение тела?

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 20 \text{ м/с}$

Время движения $t = 10 \text{ с}$

Конечная скорость $v = 0 \text{ м/с}$ (так как тело останавливается)

Найти:

Ускорение $a$

Решение:

Движение тела является равноускоренным, так как по условию ускорение постоянно. Для такого движения справедлива формула, связывающая начальную и конечную скорости, ускорение и время:

$v = v_0 + a \cdot t$

где $v$ - конечная скорость тела, $v_0$ - начальная скорость, $a$ - ускорение, $t$ - время движения.

Нам необходимо найти ускорение $a$. Выразим его из данной формулы:

$a \cdot t = v - v_0$

$a = \frac{v - v_0}{t}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученное выражение:

$a = \frac{0 \text{ м/с} - 20 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = \frac{-20}{10} \text{ м/с}^2 = -2 \text{ м/с}^2$

Знак "минус" в ответе означает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору начальной скорости. Это значит, что тело замедляло свое движение (тормозило).

Ответ: ускорение тела равно $-2 \text{ м/с}^2$.

5. Шайба после удара клюшкой движется с начальной скоростью 10 м/с по льду. Лёд уже не гладкий и шайба тормозит с ускорением 2 $\text{м/с}^2$. Через какое время после удара шайба остановится?

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 10$ м/с

Ускорение, $a = 2$ м/с²

Конечная скорость, $v = 0$ м/с

Найти:

Время, $t$

Решение:

Движение шайбы является прямолинейным равнозамедленным. Для определения времени, через которое шайба остановится, используем формулу скорости при равноускоренном движении:

$v = v_0 + at$

Так как шайба тормозит, её ускорение направлено в сторону, противоположную начальной скорости. Примем направление движения шайбы за положительное. В этом случае проекция начальной скорости на ось движения будет $v_0 = 10$ м/с, а проекция ускорения будет отрицательной, так как оно направлено против движения: $a = -2$ м/с². Конечная скорость шайбы равна нулю ($v = 0$ м/с), поскольку она останавливается.

Подставим числовые значения в уравнение:

$0 = 10 + (-2) \cdot t$

Перенесем слагаемое с временем $t$ в левую часть уравнения:

$2t = 10$

Теперь найдем время $t$:

$t = \frac{10}{2} = 5$ с

Таким образом, шайба остановится через 5 секунд после удара.

Ответ: 5 с.