Страница 20 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Тело движется вдоль оси X. Определите по графику движения (рис. 10) путь, пройденный телом за 5 с, и скорость движения тела. Запишите уравнение движения тела.

Рис. 10

Дано:

График зависимости координаты $x$ от времени $t$.

Движение происходит вдоль оси X.

Время $t = 5$ c.

Все величины представлены в системе СИ (метры, секунды).

Найти:

1. Путь $S$, пройденный телом за 5 с.

2. Скорость движения тела $v$.

3. Уравнение движения тела $x(t)$.

Решение:

Представленный график зависимости координаты от времени $x(t)$ является прямой линией, проходящей через начало координат. Это означает, что тело движется равномерно и прямолинейно, а его начальная координата $x_0$ равна нулю.

Скорость движения тела

Скорость тела при равномерном прямолинейном движении постоянна и определяется как тангенс угла наклона графика $x(t)$ к оси времени. Ее можно вычислить, взяв две любые точки на графике.

Возьмем точки $(t_1, x_1) = (0 \text{ с}, 0 \text{ м})$ и $(t_2, x_2) = (4 \text{ с}, 20 \text{ м})$.

Скорость $v$ вычисляется по формуле:

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{20 \text{ м} - 0 \text{ м}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{20}{4} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: скорость движения тела равна $5 \text{ м/с}$.

Путь, пройденный телом за 5 с

Поскольку тело движется равномерно и в одном направлении (координата $x$ все время возрастает), пройденный путь $S$ за время $t$ можно найти по формуле:

$S = v \cdot t$

Подставим известные значения: $v = 5 \text{ м/с}$ и $t = 5 \text{ с}$.

$S = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 5 \text{ с} = 25 \text{ м}$

Этот же результат можно получить непосредственно из графика. Найдя точку на прямой, соответствующую моменту времени $t=5$ с (середина отрезка между 4 с и 6 с), мы увидим, что ее координата $x$ равна 25 м (середина отрезка между 20 м и 30 м). Так как начальная координата $x_0 = 0$, то путь равен конечной координате: $S = x(5 \text{ с}) = 25 \text{ м}$.

Ответ: путь, пройденный телом за 5 с, равен $25 \text{ м}$.

Уравнение движения тела

Общий вид уравнения движения для равномерного прямолинейного движения:

$x(t) = x_0 + v \cdot t$

Из графика определяем начальную координату (при $t = 0$): $x_0 = 0 \text{ м}$.

Скорость мы уже вычислили: $v = 5 \text{ м/с}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$x(t) = 0 + 5 \cdot t$

$x(t) = 5t$ (где $x$ измеряется в метрах, $t$ – в секундах).

Ответ: уравнение движения тела имеет вид $x(t) = 5t$.

2. Охарактеризуйте движение тел, графики движения которых показаны на рисунке 11. По графикам определите начальные координаты тел, направление движения тел, проекции скоростей. Что обозначает точка пересечения графиков и что по ней можно узнать? Напишите уравнения движения для каждого тела.

Рис. 11

Дано:

Из графиков зависимости координаты от времени $x(t)$ для тел I и II:

Для тела I:

Начальная координата $x_{01} = 300$ м (при $t=0$ с).

Координата в момент времени $t=20$ с: $x_1 = 200$ м.

Для тела II:

Начальная координата $x_{02} = 150$ м (при $t=0$ с).

Координата в момент времени $t=20$ с: $x_2 = 200$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Характеристику движения тел, их начальные координаты, направление движения, проекции скоростей, значение точки пересечения графиков, уравнения движения для каждого тела.

Решение:

Охарактеризуйте движение тел

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для обоих тел представляют собой прямые линии. Это означает, что их скорости постоянны. Следовательно, оба тела движутся прямолинейно и равномерно.

Ответ: Оба тела движутся прямолинейно и равномерно.

По графикам определите начальные координаты тел, направление движения тел, проекции скоростей

Начальные координаты (координаты в момент времени $t=0$) определяются по точке пересечения графика с осью ординат (осью $x$):

Для тела I: $x_{01} = 300$ м.

Для тела II: $x_{02} = 150$ м.

Направление движения определяется по наклону графика:

Для тела I: график идет вниз, то есть координата $x$ со временем уменьшается. Тело движется в направлении, противоположном положительному направлению оси Ox.

Для тела II: график идет вверх, то есть координата $x$ со временем увеличивается. Тело движется в положительном направлении оси Ox.

Проекции скоростей вычисляются как тангенс угла наклона графика к оси времени по формуле $v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}$:

Для тела I, используя точки $(0 \text{ с}; 300 \text{ м})$ и $(20 \text{ с}; 200 \text{ м})$:

$v_{1x} = \frac{200 \text{ м} - 300 \text{ м}}{20 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{-100 \text{ м}}{20 \text{ с}} = -5 \text{ м/с}$.

Для тела II, используя точки $(0 \text{ с}; 150 \text{ м})$ и $(20 \text{ с}; 200 \text{ м})$:

$v_{2x} = \frac{200 \text{ м} - 150 \text{ м}}{20 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{50 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 2.5 \text{ м/с}$.

Ответ: Тело I: начальная координата 300 м, движется против оси Ох, проекция скорости -5 м/с. Тело II: начальная координата 150 м, движется вдоль оси Ох, проекция скорости 2,5 м/с.

Что обозначает точка пересечения графиков и что по ней можно узнать?

Точка пересечения графиков на диаграмме координата-время $x(t)$ соответствует моменту времени и координате, в которых оба тела находятся в одном и том же месте одновременно, то есть это точка их встречи.

Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты $(20 \text{ с}; 200 \text{ м})$. Это означает, что встреча тел произошла в момент времени $t = 20 \text{ с}$ после начала отсчета, в точке с координатой $x = 200 \text{ м}$.

Ответ: Точка пересечения графиков обозначает место и время встречи двух тел. По ней можно узнать, что тела встретились через 20 с после начала движения в точке с координатой 200 м.

Напишите уравнения движения для каждого тела

Уравнение движения для прямолинейного равномерного движения имеет общий вид: $x(t) = x_0 + v_x t$. Подставим найденные значения начальных координат и проекций скоростей для каждого тела.

Для тела I: $x_{01} = 300$ м, $v_{1x} = -5$ м/с.

Уравнение движения: $x_1(t) = 300 - 5t$.

Для тела II: $x_{02} = 150$ м, $v_{2x} = 2.5$ м/с.

Уравнение движения: $x_2(t) = 150 + 2.5t$.

В данных уравнениях координата $x$ выражена в метрах, а время $t$ – в секундах.

Ответ: Уравнение движения для тела I: $x_1(t) = 300 - 5t$. Уравнение движения для тела II: $x_2(t) = 150 + 2.5t$.

3. Может ли график зависимости модуля вектора скорости от времени располагаться под осью $Ot$ (т. е. в области отрицательных значений оси скорости)?

3. Нет, график зависимости модуля вектора скорости от времени не может располагаться под осью $Ot$.

Решение

Модуль вектора скорости (который также называют путевой скоростью или просто скоростью) — это скалярная физическая величина, характеризующая быстроту движения тела. По своему математическому определению, модуль любого вектора является неотрицательной величиной.

Если вектор скорости $\vec{v}$ имеет проекции на оси декартовой системы координат $v_x$, $v_y$ и $v_z$, то его модуль $v$ вычисляется по формуле:

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Поскольку квадраты проекций ($v_x^2, v_y^2, v_z^2$) всегда неотрицательны, их сумма также будет неотрицательной. Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа по определению является неотрицательным числом. Следовательно, модуль скорости всегда больше или равен нулю: $v \ge 0$.

На графике зависимости модуля скорости от времени по вертикальной оси откладывается значение модуля скорости $v$, а по горизонтальной — время $t$. Область под горизонтальной осью $Ot$ соответствует отрицательным значениям величины, отложенной по вертикальной оси. Так как модуль скорости не может быть отрицательным, то и его график не может находиться в этой области.

Важно отличать модуль вектора скорости от проекции вектора скорости на ось. Проекция скорости (например, $v_x$) может быть отрицательной, если направление движения тела противоположно положительному направлению оси. Поэтому график зависимости проекции скорости от времени может располагаться под осью $Ot$. Однако вопрос задан именно про модуль вектора скорости.

Ответ: Нет, не может, так как модуль вектора скорости по определению является неотрицательной величиной ($v \ge 0$), и, следовательно, его график не может заходить в область отрицательных значений.

4. Постройте графики зависимости проекций векторов скорости от времени для трёх автомобилей, движущихся прямолинейно и равномерно, если два из них едут в одном направлении, а третий — навстречу им. Скорость первого автомобиля равна $60 \text{ км/ч}$, второго — $80 \text{ км/ч}$, а третьего — $90 \text{ км/ч}$.

Дано:

Движение: прямолинейное, равномерное.

Скорость первого автомобиля, $v_1 = 60$ км/ч.

Скорость второго автомобиля, $v_2 = 80$ км/ч.

Скорость третьего автомобиля, $v_3 = 90$ км/ч.

Направление движения: автомобили 1 и 2 движутся в одном направлении, автомобиль 3 — навстречу им.

$v_1 = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 16,7 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_2 = 80 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 80 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{200}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 22,2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_3 = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Построить графики зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ для каждого автомобиля.

Решение:

По условию задачи, все три автомобиля движутся прямолинейно и равномерно. При равномерном движении скорость тела постоянна, то есть не изменяется со временем ($v = \text{const}$). График зависимости проекции скорости от времени для такого движения представляет собой прямую линию, параллельную оси времени.

Для построения графиков введем систему координат. Направим ось Ox по направлению движения первого и второго автомобилей. В этом случае проекции их скоростей на ось Ox будут положительными и равными по модулю самим скоростям:

$v_{1x} = v_1 = 60$ км/ч

$v_{2x} = v_2 = 80$ км/ч

Третий автомобиль движется навстречу первым двум, то есть его вектор скорости направлен в сторону, противоположную оси Ox. Следовательно, проекция его скорости на ось Ox будет отрицательной:

$v_{3x} = -v_3 = -90$ км/ч

Теперь можно построить графики в координатной плоскости $v_x(t)$, где по вертикальной оси откладывается проекция скорости $v_x$ в км/ч, а по горизонтальной — время $t$.

Графики будут выглядеть следующим образом:

• Для первого автомобиля: горизонтальная прямая, проходящая через точку $v_x = 60$ на оси ординат. Это означает, что в любой момент времени проекция его скорости равна 60 км/ч.
• Для второго автомобиля: горизонтальная прямая, проходящая через точку $v_x = 80$ на оси ординат. Эта линия будет расположена выше графика для первого автомобиля.
• Для третьего автомобиля: горизонтальная прямая, проходящая через точку $v_x = -90$ на оси ординат. Эта линия будет расположена в нижней полуплоскости, под осью времени.

Ответ:

Графики зависимости проекций скорости от времени для трёх автомобилей представляют собой три прямые линии, параллельные оси времени $t$. Если направить ось Ox по движению первого и второго автомобилей, то график для первого автомобиля — это прямая $v_{1x} = 60$ км/ч, для второго — прямая $v_{2x} = 80$ км/ч, а для третьего — прямая $v_{3x} = -90$ км/ч. Графики для первого и второго автомобилей расположены над осью времени ($v_x > 0$), а график для третьего — под осью времени ($v_x < 0$).

5. Координата тела, движущегося прямолинейно и равномерно, изменяется по закону $x = 6 + 3t$ (м). Постройте графики зависимости от времени координаты и пути. Сравните полученные графики.

Дано:

Закон движения тела: $x = 6 + 3t$ (м)

Найти:

Построить графики зависимости от времени координаты $x(t)$ и пути $s(t)$.

Сравнить полученные графики.

Решение:

Построение графика зависимости координаты от времени

Общее уравнение для прямолинейного равномерного движения имеет вид: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось Ox.

Сравнивая это уравнение с данным в задаче $x = 6 + 3t$, мы можем определить параметры движения:

Начальная координата $x_0 = 6$ м.

Проекция скорости $v_x = 3$ м/с.

Поскольку зависимость координаты от времени линейная, ее график — это прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек.

При $t=0$ с: $x = 6 + 3 \cdot 0 = 6$ м. Точка (0; 6).

При $t=2$ с: $x = 6 + 3 \cdot 2 = 12$ м. Точка (2; 12).

Ответ: График зависимости координаты от времени $x(t) = 6 + 3t$ — это прямая линия, которая не проходит через начало координат, а отсекает на оси ординат (координат) отрезок, равный начальной координате $x_0 = 6$ м.

Построение графика зависимости пути от времени

Путь, пройденный телом при равномерном движении, вычисляется по формуле $s = v \cdot t$, где $v$ — это модуль скорости.

Так как скорость тела постоянна и положительна ($v_x = 3$ м/с), то ее модуль $v = |v_x| = 3$ м/с.

Тогда уравнение для пути имеет вид: $s(t) = 3t$.

Эта зависимость также является линейной. Для построения графика найдем координаты двух точек.

При $t=0$ с: $s = 3 \cdot 0 = 0$ м. Точка (0; 0).

При $t=2$ с: $s = 3 \cdot 2 = 6$ м. Точка (2; 6).

Ответ: График зависимости пути от времени $s(t) = 3t$ — это прямая линия, проходящая через начало координат.

Сравнение полученных графиков

Для сравнения построим оба графика в одной системе координат.

Сравнивая графики, можно сделать следующие выводы:

1. Оба графика — прямые линии. Это подтверждает, что движение равномерное.

2. Графики параллельны друг другу. Это означает, что их угловые коэффициенты наклона к оси времени одинаковы. Угловой коэффициент равен скорости движения $v=3$ м/с.

3. График пути $s(t)$ начинается из точки (0; 0), так как в начальный момент времени тело еще не прошло никакого пути.

4. График координаты $x(t)$ начинается из точки (0; 6), так как тело начало движение из точки с координатой $x_0 = 6$ м.

5. Различие между графиками заключается в том, что график координаты смещен вверх по оси ординат на величину начальной координаты $x_0 = 6$ по сравнению с графиком пути. Это следует из связи между величинами: $x(t) = x_0 + s(t)$.

Ответ: Оба графика — прямые линии, параллельные друг другу, так как их угол наклона к оси времени определяется одной и той же величиной — скоростью тела ($v=3$ м/с). График пути $s(t)$ выходит из начала координат, а график координаты $x(t)$ смещен относительно него вверх по оси ординат на величину начальной координаты $x_0 = 6$ м.