Страница 15 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

2. Мальчик держит в руках мяч на высоте 1 м от поверхности земли. Затем он подбрасывает мяч вертикально вверх. За некоторый промежуток времени $t$ мяч успевает подняться на 2,4 м от своего первоначального положения, достигнув при этом точки наибольшего подъёма, и опуститься от этой точки на 1,25 м. Пользуясь рисунком 5, определите:

а) координату $x_0$ начального положения мяча;

б) проекцию $s_x$ вектора перемещения $\vec{s}$, совершённого мячом за время $t$;

в) координату $x_2$, которую имел мяч через промежуток времени $t$ после броска.

Дано:

Начальная высота мяча над землей, $h_0 = 1$ м

Подъем мяча от начального положения до точки наибольшего подъема (модуль перемещения $s_1$), $|\vec{s_1}| = 2.4$ м

Спуск мяча от точки наибольшего подъема (модуль перемещения $s_2$), $|\vec{s_2}| = 1.25$ м

Все данные уже находятся в системе СИ.

Найти:

a) $x_0$

б) $s_x$

в) $x_2$

Решение:

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с поверхностью земли. Ось $X$ направим вертикально вверх, а начало отсчета (точка $O$) расположим на земле, как показано на рисунке 5 к задаче.

a) координату $x_0$ начального положения мяча;

По условию задачи, в начальный момент времени мяч находится в руках мальчика на высоте 1 м от поверхности земли. В выбранной системе отсчета это означает, что начальная координата мяча $x_0$ равна этой высоте.

$x_0 = h_0 = 1$ м.

Ответ: начальная координата мяча $x_0 = 1$ м.

б) проекцию $s_x$ вектора перемещения $\vec{s}$, совершённого мячом за время $t$;

Общее перемещение $\vec{s}$ за время $t$ складывается из двух перемещений: подъема $\vec{s_1}$ и последующего спуска $\vec{s_2}$. Проекция общего перемещения на ось $X$ равна сумме проекций этих двух перемещений:

$s_x = s_{1x} + s_{2x}$

Перемещение $\vec{s_1}$ (подъем на 2,4 м) направлено вверх, то есть в ту же сторону, что и ось $X$. Поэтому его проекция положительна и равна модулю перемещения:

$s_{1x} = +|\vec{s_1}| = 2.4$ м.

Перемещение $\vec{s_2}$ (спуск на 1,25 м) направлено вниз, то есть в сторону, противоположную направлению оси $X$. Поэтому его проекция отрицательна:

$s_{2x} = -|\vec{s_2}| = -1.25$ м.

Теперь можем вычислить проекцию полного перемещения $s_x$:

$s_x = 2.4 \text{ м} + (-1.25 \text{ м}) = 1.15 \text{ м}$.

Ответ: проекция вектора перемещения $s_x = 1.15$ м.

в) координату $x_2$, которую имел мяч через промежуток времени $t$ после броска.

Конечная координата тела $x_2$ связана с его начальной координатой $x_0$ и проекцией перемещения $s_x$ следующим соотношением:

$x_2 = x_0 + s_x$

Подставим значения $x_0$ и $s_x$, найденные в пунктах а) и б):

$x_2 = 1 \text{ м} + 1.15 \text{ м} = 2.15 \text{ м}$.

Для проверки можно найти координату максимального подъема $x_1 = x_0 + s_{1x} = 1 \text{ м} + 2.4 \text{ м} = 3.4 \text{ м}$. А затем из нее найти конечную координату $x_2 = x_1 + s_{2x} = 3.4 \text{ м} + (-1.25 \text{ м}) = 2.15 \text{ м}$. Результаты совпадают.

Ответ: конечная координата мяча $x_2 = 2.15$ м.

3. Тело, начав движение из точки А с координатами $x_A = 2$ м, $y_A = 3$ м, переместилось в точку B с координатами $x_B = 2$ м, $y_B = -2$ м, затем в точку C с координатами $x_C = -1$ м, $y_C = -2$ м, и закончило движение в точке D с координатами $x_D = -1$ м, $y_D = 3$ м. Сделайте чертёж, выбрав масштаб: в двух клетках 1 м. Найдите проекции перемещения на оси координат и модули перемещения на участках AB, BC, CD, и модуль результирующего перемещения тела.

Дано:

Координаты начальной точки A: $x_A = 2$ м, $y_A = 3$ м.

Координаты точки B: $x_B = 2$ м, $y_B = -2$ м.

Координаты точки C: $x_C = -1$ м, $y_C = -2$ м.

Координаты точки D: $x_D = -1$ м, $y_D = 3$ м.

Все данные уже представлены в системе СИ (метры).

Найти:

Проекции перемещения на оси координат $s_x, s_y$ и модули перемещения $|\vec{s}|$ на участках AB, BC, CD.

Модуль результирующего перемещения тела $|\vec{s}_{рез}|$.

Решение:

1. Сделаем чертёж движения тела в системе координат Oxy. Масштаб: 1 единица на оси соответствует 1 метру (в условии задачи 2 клетки = 1 м).

2. Проекция вектора перемещения $\vec{s}$ на ось координат находится как разность конечной и начальной координат: $s_x = x_{кон} - x_{нач}$, $s_y = y_{кон} - y_{нач}$. Модуль перемещения вычисляется по теореме Пифагора: $|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$.

На участке AB

Проекции перемещения $\vec{s}_{AB}$ на оси координат:

$s_{ABx} = x_B - x_A = 2 \text{ м} - 2 \text{ м} = 0 \text{ м}$

$s_{ABy} = y_B - y_A = -2 \text{ м} - 3 \text{ м} = -5 \text{ м}$

Модуль перемещения на участке AB:

$|\vec{s}_{AB}| = \sqrt{s_{ABx}^2 + s_{ABy}^2} = \sqrt{(0 \text{ м})^2 + (-5 \text{ м})^2} = \sqrt{25 \text{ м}^2} = 5 \text{ м}$

Ответ: Проекции: $s_{ABx} = 0 \text{ м}$, $s_{ABy} = -5 \text{ м}$. Модуль: $|\vec{s}_{AB}| = 5 \text{ м}$.

На участке BC

Проекции перемещения $\vec{s}_{BC}$ на оси координат:

$s_{BCx} = x_C - x_B = -1 \text{ м} - 2 \text{ м} = -3 \text{ м}$

$s_{BCy} = y_C - y_B = -2 \text{ м} - (-2 \text{ м}) = 0 \text{ м}$

Модуль перемещения на участке BC:

$|\vec{s}_{BC}| = \sqrt{s_{BCx}^2 + s_{BCy}^2} = \sqrt{(-3 \text{ м})^2 + (0 \text{ м})^2} = \sqrt{9 \text{ м}^2} = 3 \text{ м}$

Ответ: Проекции: $s_{BCx} = -3 \text{ м}$, $s_{BCy} = 0 \text{ м}$. Модуль: $|\vec{s}_{BC}| = 3 \text{ м}$.

На участке CD

Проекции перемещения $\vec{s}_{CD}$ на оси координат:

$s_{CDx} = x_D - x_C = -1 \text{ м} - (-1 \text{ м}) = 0 \text{ м}$

$s_{CDy} = y_D - y_C = 3 \text{ м} - (-2 \text{ м}) = 5 \text{ м}$

Модуль перемещения на участке CD:

$|\vec{s}_{CD}| = \sqrt{s_{CDx}^2 + s_{CDy}^2} = \sqrt{(0 \text{ м})^2 + (5 \text{ м})^2} = \sqrt{25 \text{ м}^2} = 5 \text{ м}$

Ответ: Проекции: $s_{CDx} = 0 \text{ м}$, $s_{CDy} = 5 \text{ м}$. Модуль: $|\vec{s}_{CD}| = 5 \text{ м}$.

Модуль результирующего перемещения тела

Результирующее перемещение $\vec{s}_{рез}$ — это вектор, соединяющий начальную точку A и конечную точку D. Его проекции можно найти двумя способами: как разность координат конечной и начальной точек, или как сумму проекций перемещений на отдельных участках.

Способ 1: по координатам A и D.

$s_{рез, x} = x_D - x_A = -1 \text{ м} - 2 \text{ м} = -3 \text{ м}$

$s_{рез, y} = y_D - y_A = 3 \text{ м} - 3 \text{ м} = 0 \text{ м}$

Способ 2: по сумме проекций.

$s_{рез, x} = s_{ABx} + s_{BCx} + s_{CDx} = 0 \text{ м} + (-3 \text{ м}) + 0 \text{ м} = -3 \text{ м}$

$s_{рез, y} = s_{ABy} + s_{BCy} + s_{CDy} = -5 \text{ м} + 0 \text{ м} + 5 \text{ м} = 0 \text{ м}$

Результаты совпадают.

Теперь найдем модуль результирующего перемещения:

$|\vec{s}_{рез}| = \sqrt{s_{рез, x}^2 + s_{рез, y}^2} = \sqrt{(-3 \text{ м})^2 + (0 \text{ м})^2} = \sqrt{9 \text{ м}^2} = 3 \text{ м}$

Ответ: Модуль результирующего перемещения тела равен $3 \text{ м}$.