Страница 19 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что называют скоростью равномерного прямолинейного движения?

1. Что называют скоростью равномерного прямолинейного движения?

Скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную физическую величину, которая показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени. При таком виде движения тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения, а траекторией движения является прямая линия.

Скорость является векторной величиной, то есть характеризуется не только числовым значением (модулем), но и направлением. В случае равномерного прямолинейного движения вектор скорости постоянен, то есть не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Направление вектора скорости совпадает с направлением движения тела.

Математически скорость равномерного прямолинейного движения определяется как отношение вектора перемещения $\vec{s}$ ко времени $t$, в течение которого это перемещение произошло:

$\vec{v} = \frac{\vec{s}}{t}$

где $\vec{v}$ — вектор скорости, $\vec{s}$ — вектор перемещения, $t$ — время движения.

Ответ: Скоростью равномерного прямолинейного движения называют постоянную векторную величину, равную отношению перемещения тела ко времени, за которое это перемещение совершено.

2. Как найти проекцию вектора перемещения тела, движущегося...

Для нахождения проекции вектора перемещения тела, движущегося равномерно и прямолинейно, необходимо знать проекцию его скорости на ту же координатную ось и время движения.

Основное уравнение, связывающее перемещение, скорость и время для такого движения, имеет вид: $\vec{s} = \vec{v} \cdot t$. Чтобы найти проекцию вектора перемещения на какую-либо ось (например, ось Ox), нужно спроецировать на эту ось обе части данного векторного равенства.

Проекция вектора перемещения на ось Ox, обозначаемая как $s_x$, вычисляется по формуле:

$s_x = v_x \cdot t$

Здесь $v_x$ — это проекция вектора скорости на ось Ox, а $t$ — время движения. Проекция скорости $v_x$ является скалярной величиной и может быть:

• положительной ($v_x > 0$), если вектор скорости направлен вдоль оси Ox;
• отрицательной ($v_x < 0$), если вектор скорости направлен против оси Ox;
• равной нулю ($v_x = 0$), если вектор скорости перпендикулярен оси Ox.

Знак проекции перемещения $s_x$ определяется знаком проекции скорости $v_x$.

Также стоит помнить, что проекция перемещения на ось равна разности конечной и начальной координат тела вдоль этой оси: $s_x = x - x_0$.

Ответ: Проекцию вектора перемещения на координатную ось ($s_x$) находят путем умножения проекции вектора скорости на эту же ось ($v_x$) на время движения ($t$): $s_x = v_x \cdot t$.

2. Как найти проекцию вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равномерно, если известны проекция вектора скорости и время движения?

Решение

При прямолинейном и равномерном движении вектор скорости тела $\vec{v}$ является постоянной величиной (константой). Вектор перемещения $\vec{s}$, совершенный телом за промежуток времени $t$, определяется по основной формуле кинематики для такого вида движения:

$\vec{s} = \vec{v} \cdot t$

Чтобы найти проекцию вектора перемещения на какую-либо координатную ось (например, ось OX), необходимо спроецировать на эту ось обе части данного векторного уравнения. Проекция вектора на ось — это скалярная величина. Обозначим проекцию вектора перемещения на ось OX как $s_x$, а проекцию вектора скорости на ту же ось — как $v_x$. Время $t$ является скалярной величиной, поэтому при проецировании оно не изменяется.

Выполнив проецирование, мы переходим от векторного уравнения к скалярному:

$s_x = v_x \cdot t$

Следовательно, для нахождения проекции вектора перемещения тела необходимо умножить проекцию вектора его скорости на ту же координатную ось на время движения.

Ответ: Проекцию вектора перемещения $s_x$ можно найти, умножив известную проекцию вектора скорости $v_x$ на время движения $t$. Расчет производится по формуле $s_x = v_x \cdot t$.

3. При каком условии модуль вектора перемещения, совершённого телом за некоторый промежуток времени, равен пути, пройденному телом за тот же промежуток времени?

3. Для ответа на данный вопрос необходимо различать физические понятия «путь» и «перемещение».

Путь ($s$) – это скалярная величина, равная длине траектории движения тела. Путь всегда неотрицателен.

Перемещение ($\vec{\Delta r}$) – это вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории. Модуль перемещения ($|\vec{\Delta r}|$) – это длина этого вектора, то есть расстояние по прямой между начальной и конечной точками.

Длина траектории (путь) всегда больше или равна расстоянию по прямой между её концами (модулю перемещения). Математически это выражается неравенством: $s \ge |\vec{\Delta r}|$

Равенство $s = |\vec{\Delta r}|$ выполняется тогда и только тогда, когда траектория движения является отрезком прямой, и движение происходит строго в одном направлении, без возвратов или разворотов. Такое движение называется прямолинейным и однонаправленным.

Например, если тело движется по кривой или если оно движется по прямой, но меняет направление (например, движется вперёд, а затем назад), то пройденный путь окажется больше модуля перемещения.

Ответ: Модуль вектора перемещения равен пройденному пути при условии, что движение тела является прямолинейным и однонаправленным (происходит вдоль одной прямой без изменения направления).

4. Может ли модуль вектора перемещения быть меньше пути, пройденного за тот же промежуток времени? Приведите примеры.

4. Решение

Да, модуль вектора перемещения может быть меньше пути, пройденного за тот же промежуток времени. Это происходит в любом случае, когда траектория движения тела не является прямой линией, или когда движение происходит вдоль прямой, но с изменением направления.

Сначала определим ключевые понятия. Путь ($S$) – это скалярная величина, равная длине траектории, которую прошло тело. Вектор перемещения ($\vec{\Delta r}$) – это вектор, направленный из начальной точки движения в конечную. Модуль вектора перемещения ($|\vec{\Delta r}|$) – это длина этого вектора, то есть расстояние по прямой между начальной и конечной точками.

Поскольку кратчайшее расстояние между двумя точками – это прямая, то путь, который является длиной реальной траектории, всегда больше или равен модулю перемещения: $S \ge |\vec{\Delta r}|$. Равенство ($S = |\vec{\Delta r}|$) выполняется только для прямолинейного движения в одном направлении. Во всех остальных случаях путь будет строго больше модуля перемещения.

Примеры:

Пример 1: Движение по криволинейной траектории.

Тело движется из точки А в точку Б по дуге полуокружности радиусом $R$. Путь $S$ равен длине дуги, то есть $S = \pi R$. Перемещение – это прямая, соединяющая А и Б, то есть диаметр. Модуль перемещения $|\vec{\Delta r}| = 2R$. Так как $\pi > 2$, то путь $S$ больше модуля перемещения $|\vec{\Delta r}|$.

Пример 2: Движение с изменением направления.

Человек прошел 10 метров на восток, а затем развернулся и прошел 3 метра на запад. Его общий путь $S = 10 \text{ м} + 3 \text{ м} = 13 \text{ м}$. Он начал в точке 0 и закончил в точке $10 - 3 = 7$ метров к востоку от старта. Таким образом, модуль его перемещения $|\vec{\Delta r}| = 7 \text{ м}$. Здесь также путь ($13 \text{ м}$) больше модуля перемещения ($7 \text{ м}$).

Пример 3: Возвращение в исходную точку.

Спортсмен пробежал полный круг по стадиону длиной 400 м. Путь $S = 400 \text{ м}$. Так как он вернулся в точку старта, его начальное и конечное положение совпадают. Следовательно, вектор перемещения равен нулю, и модуль перемещения $|\vec{\Delta r}| = 0 \text{ м}$. В этом случае путь значительно больше модуля перемещения.

Ответ: Да, модуль вектора перемещения может быть меньше пройденного пути. Это наблюдается при любом движении по криволинейной траектории, а также при прямолинейном движении, если меняется его направление.

5. Какую информацию о движении двух тел можно получить по графикам, изображённым на рисунке 9?

4. Решение

Путь (обозначается $s$) — это скалярная величина, равная длине траектории, которую описывает тело при своем движении. Путь всегда является неотрицательной величиной. Перемещение ($\vec{r}$) — это вектор, который соединяет начальное и конечное положение тела. Модуль вектора перемещения, обозначаемый $|\vec{r}|$, — это длина этого вектора, то есть кратчайшее расстояние по прямой между начальной и конечной точками.

Модуль вектора перемещения может быть меньше пути, но никогда не может быть больше. Это соотношение выражается неравенством: $|\vec{r}| \le s$. Равенство $|\vec{r}| = s$ справедливо только для прямолинейного движения в одном направлении без возвратов. Во всех остальных случаях, когда траектория движения — кривая линия или когда тело меняет направление своего движения, модуль перемещения будет строго меньше пройденного пути.

Пример 1: Движение по криволинейной траектории.

Представим, что автомобиль движется по дуге окружности радиусом $R$, которая составляет четверть полной окружности (центральный угол $90^\circ$). Пройденный путь в этом случае будет равен длине дуги: $s = \frac{1}{4} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{2}$. Перемещение — это прямая линия (хорда), соединяющая начальную и конечную точки. Его модуль можно найти по теореме Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами $R$: $|\vec{r}| = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$. Сравнивая числовые значения, получаем: $s \approx 1,57 R$, а $|\vec{r}| \approx 1,41 R$. Таким образом, путь больше модуля перемещения: $s > |\vec{r}|$.

Пример 2: Движение с изменением направления.

Человек выходит из дома, проходит 100 метров на север, а затем возвращается обратно домой по тому же пути. Общий пройденный путь составляет $s = 100 \text{ м} + 100 \text{ м} = 200 \text{ м}$. Так как начальная и конечная точки совпадают, вектор перемещения является нулевым, и его модуль равен $|\vec{r}| = 0 \text{ м}$. В этом примере путь значительно больше модуля перемещения.

Ответ: Да, модуль вектора перемещения может быть меньше пройденного пути. Это происходит всегда, когда траектория движения не является отрезком прямой, то есть при любом криволинейном движении или при движении, включающем изменение направления на противоположное.

5. Решение

Так как рисунок 9 не предоставлен, рассмотрим в общем виде, какую информацию о движении двух тел можно получить из стандартных графиков движения: графика зависимости координаты от времени ($x(t)$) и графика зависимости проекции скорости от времени ($v_x(t)$).

При анализе графиков зависимости координаты от времени $x(t)$ для двух тел можно определить:

– Их положения в любой момент времени, включая начальные положения (в $t=0$).

– Характер движения каждого тела: покоится (горизонтальная линия), движется равномерно (наклонная прямая) или равноускоренно (парабола).

– Проекцию скорости тел в любой момент времени (по тангенсу угла наклона касательной к графику). Можно сравнить их скорости по крутизне графиков.

– Направление движения (вдоль оси $Ox$ или против нее).

– Время и место их встречи (координаты точки пересечения графиков).

При анализе графиков зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ для двух тел можно определить:

– Их скорости в любой момент времени, включая начальные скорости (в $t=0$).

– Характер движения: равномерное (горизонтальная линия) или равноускоренное (наклонная прямая).

– Ускорения тел (по тангенсу угла наклона графика).

– Перемещение каждого тела за промежуток времени (как площадь фигуры под графиком).

– Моменты времени, когда их скорости равны (координаты точки пересечения графиков).

Ответ: По графикам движения двух тел можно определить их начальные положения и скорости, характер их движения (покой, равномерное, равноускоренное), найти их скорости и ускорения в любой момент времени, определить моменты и места их встречи (из графиков $x(t)$), а также моменты времени, когда их скорости были равны (из графиков $v(t)$).

6. Является ли движение тела прямолинейным равномерным, если за любые равные промежутки времени оно проходит одинаковые пути?

6. Решение

Прямолинейным равномерным движением называется движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Постоянство перемещения за равные промежутки времени означает, что вектор скорости тела постоянен как по модулю, так и по направлению ($ \vec{v} = \text{const} $). Это, в свою очередь, означает, что траектория движения является прямой линией.

В условии задачи говорится, что тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути. Путь — это скалярная величина, равная длине участка траектории, пройденного телом. Условие, что за равные промежутки времени $\Delta t$ тело проходит одинаковый путь $\Delta s$, означает, что постоянной является путевая скорость тела: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \text{const}$.

Однако постоянство модуля скорости (путевой скорости) не гарантирует постоянства ее направления. Рассмотрим пример: равномерное движение по окружности. Тело, движущееся по круговой траектории с постоянной по модулю скоростью, за любые равные промежутки времени будет проходить дуги одинаковой длины (т.е. одинаковые пути). Однако направление вектора скорости, который всегда направлен по касательной к траектории, будет непрерывно изменяться. Такое движение является равномерным, но не прямолинейным, а криволинейным.

Следовательно, для того чтобы движение было прямолинейным равномерным, недостаточно условия прохождения одинаковых путей за равные промежутки времени. Необходимо, чтобы траектория движения была прямой.

Ответ: Нет, не обязательно. Данное условие означает лишь, что движение является равномерным, то есть модуль скорости тела постоянен. Однако траектория движения может быть криволинейной (например, движение по окружности). Для того чтобы движение было прямолинейным равномерным, необходимо, чтобы и модуль, и направление скорости были постоянными, что эквивалентно движению по прямой линии с постоянной скоростью.

Два мотоцикла движутся прямолинейно и равномерно. Скорость движения первого мотоцикла больше скорости движения второго. Чем будут отличаться их графики зависимости:

а) путей от времени;

б) скоростей от времени?

Решение

По условию задачи, оба мотоцикла движутся прямолинейно и равномерно. Это означает, что их скорости постоянны во времени, а ускорение равно нулю. Обозначим скорость первого мотоцикла как $v_1$, а второго — как $v_2$. Из условия следует, что $v_1 > v_2$.

а) путей от времени

Для равномерного прямолинейного движения пройденный путь $s$ связан со временем $t$ и скоростью $v$ формулой:

$s = v \cdot t$

Эта формула описывает линейную зависимость, где путь прямо пропорционален времени. Графиком такой зависимости $s(t)$ является прямая линия, выходящая из начала координат (если считать, что в начальный момент времени $t=0$ пройденный путь $s=0$).

Коэффициент пропорциональности в этой формуле — это скорость $v$. В графическом представлении скорость определяет угол наклона прямой к оси времени. Чем больше скорость, тем больше угол наклона (тем "круче" идет график).

Поскольку скорость первого мотоцикла $v_1$ больше скорости второго $v_2$, то график зависимости пути от времени для первого мотоцикла будет представлять собой прямую линию с большим углом наклона к оси времени, чем у второго мотоцикла.

Ответ: Графики зависимости путей от времени для обоих мотоциклов — это прямые линии, выходящие из начала координат. График для первого мотоцикла будет расположен круче (под большим углом к оси времени), чем график для второго мотоцикла.

б) скоростей от времени

Так как движение обоих мотоциклов равномерное, их скорости не изменяются с течением времени. То есть, $v_1 = \text{const}$ и $v_2 = \text{const}$.

График зависимости скорости от времени $v(t)$ для такого движения представляет собой прямую линию, параллельную оси времени (оси абсцисс). Высота этой линии над осью времени соответствует значению скорости.

Поскольку по условию $v_1 > v_2$, то график скорости для первого мотоцикла будет прямой линией, параллельной оси времени и расположенной выше, чем аналогичная прямая для второго мотоцикла.

Ответ: Графики зависимости скоростей от времени для обоих мотоциклов — это прямые линии, параллельные оси времени. Линия, соответствующая скорости первого мотоцикла, будет расположена выше линии, соответствующей скорости второго мотоцикла.