Страница 14 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. При каком условии проекция вектора на ось будет положительной, а при каком — отрицательной?

1. Проекция вектора на ось — это скалярная величина, знак которой зависит от направления вектора относительно оси. Направление определяется углом $\alpha$ между вектором и положительным направлением оси.

Проекция вектора на ось будет положительной, если угол $\alpha$ между вектором и положительным направлением оси является острым, то есть $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$. В этом случае вектор и ось сонаправлены (или, по крайней мере, составляющая вектора вдоль оси направлена так же, как и ось).

Проекция вектора на ось будет отрицательной, если угол $\alpha$ между вектором и положительным направлением оси является тупым, то есть $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$. В этом случае составляющая вектора вдоль оси направлена в сторону, противоположную направлению оси.

Если вектор перпендикулярен оси ($\alpha = 90^\circ$), его проекция на эту ось равна нулю.

Ответ: Проекция вектора на ось положительна, если угол между вектором и положительным направлением оси острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$), и отрицательна, если этот угол тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$).

2. Текст вопроса на изображении обрывается. Предположим, что полный вопрос звучит так: «Запишите уравнение, с помощью которого можно найти проекцию вектора на ось».

Существует две основные формулы для вычисления проекции вектора.

1. Через модуль вектора и угол. Если известен модуль (длина) вектора $|\vec{a}|$ и угол $\alpha$ между вектором и положительным направлением оси (например, оси $Ox$), то проекция $a_x$ вычисляется по формуле:

$a_x = |\vec{a}| \cos\alpha$

2. Через координаты. Если известны координаты начала вектора ($x_1$) и его конца ($x_2$) на данной оси, то проекция вектора на эту ось равна разности этих координат:

$a_x = x_2 - x_1$

Ответ: Уравнение для нахождения проекции вектора на ось: $a_x = |\vec{a}| \cos\alpha$ (где $|\vec{a}|$ — модуль вектора, $\alpha$ — угол между вектором и осью) или $a_x = x_2 - x_1$ (где $x_1$ и $x_2$ — координаты начала и конца вектора на оси).

2. Запишите уравнение, с помощью которого можно определить координату тела, зная координату его начального положения и проекцию вектора перемещения.

$x = x_0 + \Delta x$

2. Решение

Положение тела в пространстве в любой момент времени можно определить с помощью радиус-вектора $\vec{r}$, проведенного из начала отсчета в точку, где находится тело. Перемещение тела — это вектор $\vec{s}$, соединяющий его начальное и конечное положения.

Если $\vec{r}_0$ — радиус-вектор начального положения, а $\vec{r}$ — радиус-вектор конечного положения, то вектор перемещения определяется как их разность: $\vec{s} = \vec{r} - \vec{r}_0$.

Из этого определения можно выразить конечный радиус-вектор через начальный радиус-вектор и вектор перемещения:

$\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{s}$

Это уравнение записано в векторной форме. Чтобы получить уравнение для координат, необходимо спроецировать это векторное равенство на координатную ось (например, ось Ox). Проекция радиус-вектора на ось является соответствующей координатой. Обозначим проекцию начального радиус-вектора $\vec{r}_0$ на ось Ox как $x_0$ (начальная координата), проекцию конечного радиус-вектора $\vec{r}$ на ось Ox как $x$ (конечная координата), а проекцию вектора перемещения $\vec{s}$ на ось Ox как $s_x$.

В результате проецирования мы получаем искомое уравнение для координат:

$x = x_0 + s_x$

Данное уравнение показывает, что конечная координата тела равна сумме его начальной координаты и проекции вектора перемещения на ту же координатную ось.

Ответ: $x = x_0 + s_x$, где $x$ — конечная координата, $x_0$ — начальная координата, а $s_x$ — проекция вектора перемещения на соответствующую ось.

1. Мотоциклист, переехав через мост, движется по прямолинейному участку дороги. У светофора, находящегося на расстоянии 10 км от моста, мотоциклист встречает велосипедиста. За 0,1 ч с момента встречи мотоциклист перемещается на 6 км, а велосипедист — на 2 км от светофора (при этом оба они продолжают двигаться прямолинейно в противоположных направлениях).

Определите координаты мотоциклиста и велосипедиста и расстояние между ними спустя 0,1 ч после их встречи.

Указание: начертите ось Х, направив её в сторону движения мотоциклиста и приняв за тело отсчёта мост. Обозначьте координату светофора ($x_c$), координаты велосипедиста ($x_B$) и мотоциклиста ($x_M$), которые они имели через 0,1 ч после встречи. Над осью начертите и обозначьте векторы перемещений велосипедиста ($\vec{s}_B$) и мотоциклиста ($\vec{s}_M$), а на оси — проекции этих векторов ($s_{Bx}$ и $s_{Mx}$).

Дано:

Расстояние от моста до светофора, $L = 10 \text{ км}$

Промежуток времени, $\Delta t = 0.1 \text{ ч}$

Перемещение мотоциклиста, $s_м = 6 \text{ км}$

Перемещение велосипедиста, $s_в = 2 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$L = 10 \text{ км} = 10 \times 1000 \text{ м} = 10000 \text{ м}$

$\Delta t = 0.1 \text{ ч} = 0.1 \times 3600 \text{ с} = 360 \text{ с}$

$s_м = 6 \text{ км} = 6 \times 1000 \text{ м} = 6000 \text{ м}$

$s_в = 2 \text{ км} = 2 \times 1000 \text{ м} = 2000 \text{ м}$

(Для удобства вычислений будем использовать километры, так как все данные предоставлены в этих единицах)

Найти:

Координату мотоциклиста через 0,1 ч после встречи, $x_м$ - ?

Координату велосипедиста через 0,1 ч после встречи, $x_в$ - ?

Расстояние между ними, $d$ - ?

Решение:

В соответствии с указанием, выберем систему отсчета. За тело отсчета (начало координат, $x=0$) примем мост. Ось $X$ направим в сторону движения мотоциклиста.

Мотоциклист и велосипедист встречаются у светофора, который находится на расстоянии $L = 10 \text{ км}$ от моста. Так как ось $X$ направлена от моста, координата точки встречи (светофора) будет $x_c = 10 \text{ км}$. В этот момент времени, который мы принимаем за начальный, координаты мотоциклиста и велосипедиста совпадают и равны $x_c$.

Найдем координату мотоциклиста ($x_м$) через $\Delta t = 0.1 \text{ ч}$ после встречи. Мотоциклист продолжает движение в положительном направлении оси $X$. Его перемещение за это время составило $s_м = 6 \text{ км}$. Проекция его перемещения на ось $X$ положительна: $s_{мx} = +6 \text{ км}$. Конечная координата мотоциклиста определяется по формуле: $x_м = x_c + s_{мx}$ $x_м = 10 \text{ км} + 6 \text{ км} = 16 \text{ км}$

Найдем координату велосипедиста ($x_в$) через $\Delta t = 0.1 \text{ ч}$ после встречи. Велосипедист движется в направлении, противоположном движению мотоциклиста, то есть против направления оси $X$. Его перемещение составило $s_в = 2 \text{ км}$. Проекция его перемещения на ось $X$ отрицательна: $s_{вx} = -2 \text{ км}$. Конечная координата велосипедиста: $x_в = x_c + s_{вx}$ $x_в = 10 \text{ км} - 2 \text{ км} = 8 \text{ км}$

Теперь определим расстояние $d$ между ними. Расстояние между двумя точками на прямой равно модулю разности их координат: $d = |x_м - x_в|$ $d = |16 \text{ км} - 8 \text{ км}| = 8 \text{ км}$

Ответ: через 0,1 ч после встречи координата мотоциклиста $x_м = 16 \text{ км}$, координата велосипедиста $x_в = 8 \text{ км}$, а расстояние между ними $d = 8 \text{ км}$.