Страница 8 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. В чём заключается основная задача механики?

1. Основная задача механики заключается в определении положения (координат) и скорости тела в любой произвольный момент времени. Зная эти величины, можно полностью описать механическое движение тела, то есть предсказать его поведение в будущем или восстановить его движение в прошлом.

Для решения этой задачи необходимо располагать следующей информацией:

а) Начальные условия: это положение и скорость тела в некоторый начальный момент времени, который обычно принимают за $t=0$. Положение задается начальным радиус-вектором $\vec{r}(0) = \vec{r}_0$, а скорость — вектором начальной скорости $\vec{v}(0) = \vec{v}_0$.

б) Действующие силы: необходимо знать все силы, которые действуют на тело. Эти силы могут зависеть от положения тела, его скорости и времени. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, называется равнодействующей силой $\vec{F}$.

Зная массу тела $m$ и равнодействующую всех сил $\vec{F}$, можно применить основной закон динамики — второй закон Ньютона:

$\vec{F} = m\vec{a}$

где $\vec{a}$ — это ускорение тела. Поскольку ускорение является второй производной от радиус-вектора по времени ($\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$), а скорость — первой производной ($\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$), второй закон Ньютона представляет собой дифференциальное уравнение движения второго порядка:

$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{F}(\vec{r}, \frac{d\vec{r}}{dt}, t)$

Решение этого уравнения с учетом заданных начальных условий ($\vec{r}_0$ и $\vec{v}_0$) позволяет найти явную зависимость радиус-вектора тела от времени, то есть получить закон движения $\vec{r}(t)$. Эта функция и является полным решением основной задачи механики.

Ответ: Основная задача механики — это нахождение закона движения тела, то есть определение его координат и скорости в любой момент времени по известным начальным условиям (начальному положению и начальной скорости) и действующим на тело силам.

2. С какой целью используется понятие «материальная точка»?

1. В чём заключается основная задача механики?

Основная (или главная) задача механики заключается в определении положения тела (его координат) в пространстве в любой произвольный момент времени. Чтобы решить эту задачу, необходимо знать законы, по которым происходит движение, и так называемые начальные условия: положение и скорость тела в начальный момент времени, а также все силы, которые действуют на тело. Используя законы динамики, например, второй закон Ньютона ($ \vec{F} = m\vec{a} $), можно найти ускорение тела. Зная начальные условия и ускорение, с помощью математических методов можно найти зависимость координат тела от времени, то есть $ x(t), y(t), z(t) $. Это и является решением основной задачи механики.

Ответ: Основная задача механики — это определение положения тела в любой момент времени.

2. С какой целью используется понятие «материальная точка»?

Понятие «материальная точка» — это физическая модель, то есть упрощенное представление реального объекта. Оно используется с целью значительного упрощения описания движения. Реальные тела имеют размеры, форму и могут двигаться сложным образом: не только перемещаться в пространстве (поступательное движение), но и вращаться вокруг своей оси. Описание такого сложного движения требует громоздких вычислений. Модель материальной точки, то есть тела, обладающего массой, но не имеющего размеров, позволяет пренебречь вращением и формой и рассматривать только его поступательное движение. Таким образом, сложная задача описания движения протяженного тела сводится к более простой задаче описания движения одной точки.

Ответ: Понятие «материальная точка» используется для упрощения описания движения реальных тел, когда их размеры, форма и вращение не важны для решения конкретной задачи.

3. В каких случаях тело можно считать материальной точкой?

Тело можно считать материальной точкой (то есть пренебречь его размерами и формой) в двух основных случаях:

1. Когда размеры тела много меньше, чем расстояния, которые оно проходит, или расстояния до других тел. Классический пример — движение планет вокруг Солнца. Диаметр Земли (около 13 000 км) пренебрежимо мал по сравнению с расстоянием до Солнца (около 150 000 000 км), поэтому при изучении ее орбитального движения Землю можно считать материальной точкой. Другой пример: самолет, летящий из Москвы в Нью-Йорк.

2. Когда тело движется поступательно. При поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и с одинаковыми скоростями в любой момент времени. В этом случае движение всего тела можно описать движением любой его точки, например, центра масс. Пример: шкаф, который передвигают по полу комнаты, не поворачивая.

Ответ: Тело можно считать материальной точкой, если его размеры пренебрежимо малы по сравнению с характерными для данной задачи расстояниями, или если оно движется поступательно.

3. В каких случаях к движущемуся телу можно применить модель материальной точки?

3. Модель «материальная точка» является одной из фундаментальных идеализаций в механике. Материальная точка — это тело, размерами и формой которого в данных условиях задачи можно пренебречь. Вся масса тела при этом считается сосредоточенной в одной точке.

Применить модель материальной точки к движущемуся телу можно в следующих основных случаях:

1. Когда размеры тела пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит. Это наиболее общий и часто встречающийся критерий. Если тело проходит расстояние $L$, а его характерный размер (например, длина или диаметр) равен $l$, то модель материальной точки применима, если выполняется условие $L \gg l$.
   • Пример: движение Земли вокруг Солнца. Диаметр Земли (~12 700 км) ничтожно мал по сравнению с радиусом её орбиты (~150 000 000 км). Поэтому при изучении орбитального движения Землю можно считать материальной точкой.
   • Пример: автомобиль, едущий из одного города в другой. Размеры автомобиля (несколько метров) не имеют значения по сравнению с расстоянием в сотни километров.
   • Контрпример: тот же автомобиль при парковке. Здесь его габариты сопоставимы с размерами парковочного места, и пренебречь ими нельзя.
2. Когда размеры тела пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями до других тел, с которыми оно взаимодействует. Этот случай является частным случаем первого, но его удобно выделять при рассмотрении, например, гравитационного взаимодействия.
   • Пример: изучение взаимодействия звёзд в галактике. Размеры звёзд малы по сравнению с расстояниями между ними.
3. Когда тело движется поступательно. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, по одинаковым траекториям и с одинаковыми скоростями и ускорениями в любой момент времени. В этом случае для описания движения всего тела достаточно описать движение одной любой его точки (например, центра масс). Поэтому при изучении поступательного движения любое тело можно рассматривать как материальную точку, даже если проходимые расстояния невелики.
   • Пример: кабина лифта, движущаяся вверх или вниз, совершает поступательное движение. Для описания её кинематики (положения, скорости, ускорения) достаточно следить за одной точкой.
   • Контрпример: при вращательном движении (например, вращение колеса автомобиля или планеты вокруг своей оси) разные точки тела движутся по разным траекториям и с разными скоростями. В этом случае модель материальной точки неприменима для описания самого вращения.

Таким образом, возможность применения модели материальной точки всегда зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи. Это не свойство самого тела, а результат выбора физической модели для упрощения описания его движения.

Ответ: Модель материальной точки можно применить к движущемуся телу, если его размеры и форма не являются существенными для описания данного движения. Это возможно в случаях, когда: 1) размеры тела пренебрежимо малы по сравнению с проходимым им расстоянием или с расстояниями до других тел; 2) тело движется поступательно, то есть все его точки движутся одинаково.

4. Приведите пример, показывающий, что одно и то же тело в одной ситуации можно считать материальной точкой, а в другой — нет.

Материальная точка — это физическая модель, представляющая собой тело, размерами, формой и вращением которого можно пренебречь в конкретных условиях рассматриваемой задачи. Применимость этой модели определяется не свойствами самого тела, а характером его движения и масштабами, на которых это движение изучается. Одно и то же тело может быть представлено как материальная точка в одной задаче, и как протяженное тело — в другой.

Рассмотрим в качестве примера обычный автомобиль.

Ситуация, когда автомобиль можно считать материальной точкой:

Представим, что автомобиль совершает поездку из одного города в другой, например, на расстояние в несколько сотен километров. В этом случае его собственные размеры (например, 5 метров в длину) ничтожно малы по сравнению с общим пройденным путем. Для расчета времени поездки, средней скорости или расхода топлива на всю дистанцию нам не важны его точные габариты или форма. Движение автомобиля можно описать как движение одной точки в пространстве. Таким образом, при изучении его движения на больших расстояниях автомобиль является материальной точкой.

Ситуация, когда автомобиль нельзя считать материальной точкой:

Теперь рассмотрим тот же автомобиль в процессе парковки в ограниченном пространстве, например, в гараже или между двумя другими машинами. В этой ситуации его размеры (длина, ширина) и способность маневрировать (радиус поворота) имеют решающее значение. Чтобы успешно припарковаться, водитель должен точно соотносить габариты автомобиля с размерами парковочного места. Если пренебречь размерами автомобиля, то сама задача парковки теряет всякий смысл. Следовательно, в данном контексте автомобиль нельзя считать материальной точкой, и он должен рассматриваться как протяженное тело.

Ответ: Примером тела, которое в одной ситуации можно считать материальной точкой, а в другой — нет, является автомобиль. При описании его движения между городами (на больших расстояниях) его размерами можно пренебречь, и он выступает как материальная точка. Однако при парковке его размеры и форма являются критически важными, и модель материальной точки неприменима.

5. В каком случае положение движущегося тела можно задать с помощью одной координатной оси?

5. Положение движущегося тела можно задать с помощью одной координатной оси в том случае, если движение тела является прямолинейным. Прямолинейное движение — это движение, траектория которого представляет собой прямую линию. В этом случае достаточно выбрать начало отсчета (точку с координатой ноль) на этой прямой и задать положительное направление. Тогда положение тела в любой момент времени будет однозначно определяться одной числовой координатой, например, $x$.

Примерами такого движения служат:

– движение лифта в шахте;

– движение автомобиля по длинному прямому мосту;

– движение поезда на прямолинейном участке пути;

– движение спортсмена на стометровой дистанции.

Во всех этих ситуациях для описания положения достаточно одной оси, направленной вдоль траектории движения.

Ответ: Положение движущегося тела можно задать с помощью одной координатной оси, если тело движется прямолинейно (по прямой линии).

6. Система отсчета в физике — это условная система, относительно которой описывается движение тел. Она необходима для того, чтобы можно было определить положение тела в пространстве в любой момент времени. Любая система отсчета состоит из трех обязательных компонентов:

1. Тело отсчета. Это реальный или воображаемый объект, который условно принимается за неподвижный. Относительно этого тела и рассматривается движение других объектов. Например, при описании движения планет телом отсчета часто выбирают Солнце.

2. Система координат. Она жестко связана с телом отсчета и служит для определения положения (координат) тела в пространстве. В зависимости от задачи может использоваться одномерная (ось $OX$), двумерная (плоскость $XOY$) или трехмерная (пространство $OXYZ$) система координат.

3. Часы (прибор для измерения времени). Они необходимы для того, чтобы каждому положению тела можно было сопоставить определенный момент времени. Это позволяет описывать движение как изменение координат тела с течением времени.

Таким образом, выбор системы отсчета является первым шагом при решении любой задачи на движение.

Ответ: Система отсчета — это совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и прибора для измерения времени (часов).

6. Что такое система отсчёта?

Система отсчёта — это фундаментальное понятие в механике, которое используется для количественного описания движения тел. Чтобы определить положение тела в пространстве и его изменение с течением времени, необходимо выбрать точку отсчёта и способ измерения координат и времени.

Система отсчёта состоит из трёх ключевых компонентов:

• Тело отсчёта — это физическое тело, которое условно принимается за неподвижное. Относительно этого тела и изучается движение других объектов. Выбор тела отсчёта произволен и диктуется удобством. Например, при описании движения автомобиля можно выбрать в качестве тела отсчёта Землю, а при описании движения человека внутри автомобиля — сам автомобиль.
• Система координат, жёстко связанная с телом отсчёта. Она позволяет определять положение (координаты) тела в пространстве. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат с тремя осями $(Ox, Oy, Oz)$. Положение точки в этой системе задаётся тройкой чисел $(x, y, z)$.
• Часы — прибор для измерения времени, связанный с данной системой отсчёта. Время необходимо для того, чтобы зафиксировать, в какой момент тело находилось в определённой точке пространства.

Таким образом, описание движения тела сводится к определению его координат в каждый момент времени, то есть к нахождению зависимостей $x(t), y(t), z(t)$.

Важно отметить, что все механические движения относительны. Это означает, что траектория, скорость и ускорение тела зависят от того, в какой системе отсчёта они рассматриваются. Например, человек, сидящий в кресле самолета, неподвижен в системе отсчёта, связанной с самолетом, но движется с огромной скоростью в системе отсчёта, связанной с Землей.

Ответ: Система отсчёта — это совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат и прибора для измерения времени (часов), относительно которых рассматривается движение материальных тел.

Мимо стоящего автомобиля проезжает колонна велосипедистов, движущихся примерно с равной скоростью. Движется ли каждый из велосипедистов относительно автомобиля? Движется ли каждый велосипедист относительно соседнего велосипедиста? Движется ли автомобиль относительно велосипедиста?

Движется ли каждый из велосипедистов относительно автомобиля?

Да, движется. Чтобы определить, движется ли одно тело относительно другого, нужно выбрать систему отсчета, связанную с одним из тел. Если выбрать систему отсчета, связанную с автомобилем, то автомобиль в ней будет неподвижен. Велосипедисты проезжают мимо, следовательно, их положение (координаты) относительно автомобиля изменяется с течением времени. Это означает, что велосипедисты движутся относительно автомобиля.

Ответ: Да, движется.

Движется ли каждый велосипедист относительно соседнего велосипедиста?

Нет, не движется. В условии задачи сказано, что велосипедисты в колонне движутся примерно с равной скоростью. Это означает, что их скорости одинаковы как по величине, так и по направлению. Если выбрать систему отсчета, связанную с одним из велосипедистов, то его скорость в этой системе равна нулю. Скорость соседнего велосипедиста относительно первого будет равна разности их скоростей. Поскольку их скорости $v_1$ и $v_2$ равны ($v_1 \approx v_2$), их относительная скорость $v_{отн} = v_2 - v_1 \approx 0$. Таким образом, расстояние между соседними велосипедистами не изменяется, и они покоятся друг относительно друга.

Ответ: Нет, не движется.

Движется ли автомобиль относительно велосипедиста?

Да, движется. Движение относительно. Если велосипедист движется относительно автомобиля, то и автомобиль движется относительно велосипедиста. Если выбрать систему отсчета, связанную с любым из велосипедистов, то в этой системе отсчета велосипедист будет неподвижен. А стоящий на обочине автомобиль будет двигаться мимо него со скоростью, равной по модулю скорости велосипедиста, но направленной в противоположную сторону.

Ответ: Да, движется.

1. Можно ли считать автомобиль материальной точкой при определении пути, который он прошёл за 2 ч, двигаясь со средней скоростью, равной 80 км/ч; при обгоне им другого автомобиля?

при определении пути, который он прошёл за 2 ч, двигаясь со средней скоростью, равной 80 км/ч

Дано:

Время движения, $t = 2$ ч

Средняя скорость, $v_{ср} = 80$ км/ч

Перевод в систему СИ:

$t = 2 \cdot 3600 \text{ с} = 7200 \text{ с}$

$v_{ср} = 80 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 22.22 \text{ м/с}$

Найти:

Можно ли считать автомобиль материальной точкой в данном случае.

Решение:

Материальной точкой можно считать тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Это возможно, если размеры тела значительно меньше, чем расстояния, которые оно проходит, или расстояния до других тел.

Найдем путь, который прошел автомобиль:

$S = v_{ср} \cdot t$

$S = 80 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 160 \text{ км}$

Длина среднего легкового автомобиля составляет примерно $L = 5$ м.

Сравним пройденный путь с размерами автомобиля:

$S = 160 \text{ км} = 160 000 \text{ м}$.

Отношение длины автомобиля к пройденному пути: $\frac{L}{S} = \frac{5 \text{ м}}{160000 \text{ м}} \approx 0.000031$.

Так как размеры автомобиля ничтожно малы по сравнению с пройденным расстоянием, то в данном случае его можно считать материальной точкой.

Ответ: да, можно, так как размеры автомобиля (около 5 м) пренебрежимо малы по сравнению с пройденным путем (160 км).

при обгоне им другого автомобиля

Решение:

При выполнении маневра обгона важны размеры обоих автомобилей, а также расстояние между ними. Длина обгоняющего и обгоняемого автомобилей напрямую влияет на расчет времени и безопасного расстояния, необходимого для завершения маневра. Например, чтобы обогнать другой автомобиль, нужно преодолеть расстояние, равное как минимум сумме длин обоих автомобилей. Эти расстояния соизмеримы с размерами самих автомобилей.

Поскольку в данной ситуации размеры и форма автомобиля являются определяющими факторами, пренебречь ими нельзя.

Ответ: нет, нельзя, так как при обгоне размеры автомобиля сопоставимы с расстояниями, которые проходятся в процессе маневра, и играют ключевую роль.

2. Самолёт совершает перелёт из Москвы во Владивосток. Может ли рассматривать самолёт как материальную точку диспетчер, наблюдающий за его движением; пассажир этого самолёта?

Для начала определим, что такое материальная точка. В физике материальной точкой называют тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях рассматриваемой задачи. Возможность применения этой модели зависит от того, с чем сопоставляются размеры тела. Если размеры тела значительно меньше, чем характерные расстояния в задаче (например, расстояние, которое оно проходит), то тело можно считать материальной точкой.

диспетчер, наблюдающий за его движением

Диспетчер следит за полётом самолёта на огромном расстоянии — перелёт из Москвы во Владивосток составляет более 6400 км. Длина современного пассажирского самолёта (например, Boeing 777) составляет около 70 метров. Это значение ничтожно мало по сравнению с расстоянием перелёта. Для диспетчера, который отслеживает положение самолёта на карте, важны его координаты и траектория, а не его габариты, форма или ориентация в пространстве. Следовательно, в данной задаче (контроль движения по маршруту) диспетчер может считать самолёт материальной точкой.

Ответ: да, может.

пассажир этого самолёта

Пассажир находится внутри самолёта. Для него система отсчёта связана с самим самолётом. Размеры и форма салона, расположение кресел, окон, проходов — всё это имеет для пассажира первостепенное значение. Он может перемещаться от своего кресла к выходу или туалету, и эти перемещения соизмеримы с размерами самолёта. В этом случае пренебречь размерами самолёта невозможно, так как они определяют всю среду, в которой находится пассажир. Таким образом, для пассажира самолёт является протяжённым телом, а не материальной точкой.

Ответ: нет, не может.

3. Когда говорят о скорости машины, поезда и других транспортных средств, тело отсчёта обычно не указывают. Что подразумевают в этом случае под телом отсчёта?

Решение

Движение любого тела является относительным. Это означает, что для описания движения, в частности для определения скорости, необходимо выбрать тело отсчёта — тело, относительно которого это движение рассматривается. В повседневной жизни, говоря о скорости автомобиля, поезда или другого транспортного средства, мы почти всегда имеем в виду их движение в привычной для нас среде.

Наиболее естественной и удобной точкой отсчёта для всех земных объектов является сама планета Земля. Дороги, по которым едут машины, железнодорожные пути для поездов, здания и деревья — всё это неподвижно относительно поверхности Земли. Поэтому, когда говорят, что скорость машины составляет 90 км/ч, подразумевается её скорость именно относительно дороги, то есть относительно Земли.

Хотя скорость можно измерить и относительно других объектов (например, скорость одной машины относительно другой), для общего употребления и стандартизации (например, для дорожных знаков или показаний спидометра) используется система отсчёта, связанная с Землёй.

Ответ: Под телом отсчёта в этом случае подразумевают Землю (её поверхность).

4. Мальчик стоял на земле и наблюдал, как его младшая сестра каталась на карусели. После катания девочка сказала брату, что и он сам, и дома, и деревья быстро проносились мимо неё. Мальчик же стал утверждать, что он вместе с домами и деревьями был неподвижен, а двигалась сестра. Относительно каких тел отсчёта рассматривали движение девочка и мальчик? Объясните, кто прав в споре.

В основе этого спора лежит физический принцип относительности движения. Состояние движения или покоя тела можно определить только относительно другого тела, которое называется телом отсчёта.

Девочка, катаясь на карусели, выбрала в качестве тела отсчёта саму карусель. В этой системе отсчёта она неподвижна, а всё, что находится за пределами карусели — её брат, дома, деревья, — движется мимо неё по окружности. Её описание ситуации является верным для этой выбранной системы отсчёта.

Мальчик, стоя на земле, выбрал в качестве тела отсчёта Землю. В этой системе отсчёта он, дома и деревья находятся в состоянии покоя, а его сестра вместе с каруселью совершает вращательное движение. Его описание также является верным, но уже для другой системы отсчёта.

Таким образом, в споре правы оба ребёнка. С точки зрения физики, не существует единственно правильной, «абсолютной» системы отсчёта. Любое движение является относительным, и его описание зависит от того, какая система отсчёта выбрана. Оба описания — и девочки, и мальчика — являются физически корректными.

Ответ: Девочка рассматривала движение относительно карусели, а мальчик — относительно Земли. В споре правы оба, так как понятие движения и покоя относительно и зависит от выбранной системы отсчёта. Каждый из них дал верное описание движения в своей системе отсчёта.

5. Относительно какого тела отсчёта рассматривают движение, когда говорят:

а) скорость ветра равна 5 м/с;

б) бревно плывёт по течению реки, поэтому его скорость равна нулю;

в) скорость плывущего по реке дерева равна скорости течения воды в реке;

г) любая точка колеса движущегося велосипеда описывает окружность;

д) солнце утром восходит на востоке, в течение дня движется по небу, а вечером заходит на западе?

а) Когда говорят, что скорость ветра равна $5~м/с$, движение рассматривают относительно Земли или неподвижных на ней объектов (например, зданий, деревьев, поверхности земли). Именно с этими объектами мы интуитивно сравниваем движение воздуха.

Ответ: относительно Земли (или объектов, неподвижных на ней).

б) Утверждение, что скорость плывущего по течению бревна равна нулю, справедливо только в системе отсчёта, связанной с водой в реке. Для наблюдателя, который сам плывёт вместе с течением (например, на плоту), бревно будет казаться неподвижным.

Ответ: относительно воды в реке.

в) Когда скорость плывущего дерева сравнивают со скоростью течения воды и находят их равными, измерение скоростей обоих объектов (дерева и воды) происходит относительно неподвижного наблюдателя. Таким наблюдателем может быть человек, стоящий на берегу реки.

Ответ: относительно берега реки (Земли).

г) Точка на ободе колеса велосипеда, который едет по дороге, описывает сложную кривую — циклоиду — относительно земли. Окружность она описывает только в том случае, если мы рассматриваем движение относительно оси колеса или рамы велосипеда. В этой системе отсчёта колесо совершает только вращательное движение.

Ответ: относительно рамы велосипеда (или его оси).

д) Движение Солнца по небу (восход на востоке, закат на западе) — это наблюдаемая картина с точки зрения человека, находящегося на Земле. Следовательно, система отсчёта связана с Землёй.

Ответ: относительно Земли.