Страница 11 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Всегда ли можно определить положение тела в заданный момент времени $\text{t}$, зная начальное положение этого тела (при $t_0 = 0$) и путь, пройденный им за промежуток времени $\text{t}$? Ответ подтвердите примерами.

1. Нет, не всегда. Знания начального положения тела и пройденного им пути недостаточно для однозначного определения его конечного положения. Это связано с тем, что путь — это скалярная величина, равная длине траектории, и она не содержит информации о направлении движения. Положение же тела в пространстве описывается радиус-вектором, и для его нахождения нужно знать вектор перемещения, а не скалярную величину пути.

Рассмотрим несколько примеров, подтверждающих это.

Пример 1: Прямолинейное движение. Пусть тело начинает движение из точки на координатной прямой с координатой $x_0 = 10$ м. За некоторое время $t$ оно прошло путь $s = 5$ м. Его конечное положение неоднозначно:

• Если тело двигалось всё время в положительном направлении оси $X$, его конечная координата будет $x = x_0 + s = 10 + 5 = 15$ м.
• Если тело двигалось в отрицательном направлении, его конечная координата будет $x = x_0 - s = 10 - 5 = 5$ м.
• Тело также могло двигаться, меняя направление. Например, пройти 4 м вперед и 1 м назад. Путь при этом составит $4+1 = 5$ м, а конечная координата будет $x = 10 + 4 - 1 = 13$ м.

Как видно из примера, при одном и том же начальном положении и пройденном пути возможно несколько разных конечных положений.

Пример 2: Криволинейное движение. Представим, что тело вышло из точки А и прошло путь $s = 10$ м. Если оно двигалось по прямой, то окажется в точке Б, на расстоянии 10 м от А. Если же оно двигалось по дуге окружности, оно окажется в точке В, которая находится на меньшем расстоянии от А, чем 10 м. Если тело двигалось по замкнутой траектории (например, прошло 5 м от точки А и вернулось обратно), то его конечным положением снова будет точка А, хотя пройденный путь равен 10 м.

Ответ: Нет, не всегда можно определить положение тела, зная его начальное положение и пройденный путь, так как путь является скалярной величиной и не содержит информации о направлении движения тела.

2. Перемещением тела (или материальной точки) называют вектор, который соединяет начальное положение тела с его конечным положением. Перемещение — это векторная физическая величина, которая характеризует изменение положения тела в пространстве. Обычно его обозначают как $\Delta\vec{r}$ или $\vec{s}$.

Если $\vec{r_0}$ — это радиус-вектор начального положения тела (в момент времени $t_0$), а $\vec{r}$ — радиус-вектор его конечного положения (в момент времени $t$), то вектор перемещения равен их разности: $\Delta\vec{r} = \vec{r} - \vec{r_0}$.

Важно отличать перемещение от пути. Путь ($L$ или $s$) — это скалярная величина, равная длине участка траектории, пройденного телом за данный промежуток времени. Модуль вектора перемещения $|\Delta\vec{r}|$ равен расстоянию между начальной и конечной точками по прямой. Модуль перемещения равен пройденному пути только в частном случае прямолинейного движения без изменения направления. Во всех остальных случаях модуль перемещения меньше пройденного пути: $|\Delta\vec{r}| \le L$.

Ответ: Перемещение тела (материальной точки) — это направленный отрезок прямой (вектор), проведенный из начального положения тела в его конечное положение.

2. Что называют перемещением тела (материальной точки)?

2. Перемещение тела (или материальной точки) — это физическая векторная величина, которая характеризует изменение положения тела в пространстве. В отличие от пройденного пути, который является скаляром и равен длине траектории, перемещение учитывает направление движения.

Перемещение представляет собой вектор (направленный отрезок), проведенный из начальной точки положения тела в его конечную точку. Таким образом, перемещение полностью определяется:

• Модулем (длиной), который равен кратчайшему расстоянию между начальной и конечной точками.
• Направлением, которое указывает от начального положения к конечному.

Обозначается перемещение чаще всего как $\vec{s}$ или $\Delta\vec{r}$. Если начальное положение точки описывается радиус-вектором $\vec{r_1}$, а конечное — радиус-вектором $\vec{r_2}$, то вектор перемещения находится как их разность:

$\Delta\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$

Например, если человек прошел 50 метров на восток, а затем вернулся на 20 метров на запад, то пройденный им путь составит $50 + 20 = 70$ метров. Однако его перемещение будет равно $50 - 20 = 30$ метров на восток, так как это вектор, соединяющий самую первую и самую последнюю точки его движения. Если тело возвращается в исходную точку, его перемещение равно нулю, в то время как пройденный путь будет больше нуля (если тело двигалось).

Модуль вектора перемещения $|\vec{s}|$ всегда меньше или равен пройденному пути $L$: $|\vec{s}| \le L$. Равенство выполняется только для случая прямолинейного движения в одном направлении.

Ответ: Перемещением тела (материальной точки) называют вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением.

3. Можно ли однозначно определить положение тела в заданный момент времени $t$, зная начальное положение этого тела и вектор перемещения, совершённого телом за промежуток времени $t$? Ответ подтвердите примерами.

Дано:

Начальное положение тела, заданное радиус-вектором $\vec{r}_0$.

Вектор перемещения $\Delta\vec{r}$, совершённый телом за промежуток времени $t$.

Найти:

Определить, является ли положение тела в момент времени $t$, заданное радиус-вектором $\vec{r}$, однозначно определённым.

Решение:

По определению, вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ — это вектор, проведённый из начального положения материальной точки в её конечное положение. Он равен изменению радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени. Математически это выражается как разность между конечным ($\vec{r}$) и начальным ($\vec{r}_0$) радиус-векторами:

$\Delta\vec{r} = \vec{r} - \vec{r}_0$

Из этого определения можно выразить радиус-вектор $\vec{r}$, который определяет конечное положение тела в момент времени $t$:

$\vec{r} = \vec{r}_0 + \Delta\vec{r}$

Это уравнение показывает, что конечное положение тела является результатом векторного сложения его начального положения и вектора перемещения. Так как операция сложения двух заданных векторов всегда даёт один и тот же, однозначно определённый результирующий вектор, то и конечное положение тела определяется однозначно. Промежуток времени $t$ важен, поскольку вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ был совершён именно за это время, но для самого вычисления конечного положения знание величины $t$ не требуется, если известен итоговый вектор перемещения.

Подтвердим этот вывод примерами.

Пример 1: Прямолинейное движение.

Пусть тело движется вдоль координатной оси $Ox$. Его начальное положение (координата) в момент времени $t_0=0$ составляет $x_0 = 10$ м. За промежуток времени $t=5$ с тело совершило перемещение, проекция которого на ось $Ox$ равна $\Delta x = -4$ м. Тогда его конечное положение в момент времени $t$ будет: $x = x_0 + \Delta x = 10 \text{ м} + (-4 \text{ м}) = 6 \text{ м}.$ Конечное положение тела — точка с координатой 6 м. Это положение единственно возможное, то есть определено однозначно.

Пример 2: Движение на плоскости.

Пусть начальное положение тела в системе координат $Oxy$ задаётся радиус-вектором $\vec{r}_0$ с координатами $(x_0, y_0) = (3, 7)$. За время $t$ тело переместилось, и вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ имеет координаты $(\Delta x, \Delta y) = (4, -5)$. Найдём конечное положение тела, которое описывается вектором $\vec{r}$: $\vec{r} = \vec{r}_0 + \Delta\vec{r}$ Координаты конечного положения $(x, y)$ будут равны сумме соответствующих координат: $x = x_0 + \Delta x = 3 + 4 = 7$ $y = y_0 + \Delta y = 7 + (-5) = 2$ Таким образом, конечное положение тела — это точка с координатами $(7, 2)$. Это положение также является единственным и определяется однозначно.

Ответ: Да, зная начальное положение тела и вектор перемещения, совершённого за промежуток времени $t$, можно однозначно определить положение тела в заданный момент времени $t$. Конечное положение находится как векторная сумма начального положения и вектора перемещения, а результат этой операции всегда уникален.

1. Какую физическую величину определяет водитель автомобиля по показаниям одометра — пройденный путь или модуль перемещения?

1. Решение

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо понимать разницу между физическими величинами «пройденный путь» и «модуль перемещения».

Пройденный путь ($S$) – это скалярная величина, равная длине траектории, по которой двигалось тело. Путь представляет собой сумму длин всех участков, пройденных телом, независимо от направления движения. Он всегда является неотрицательной величиной ($S \ge 0$). Одометр автомобиля измеряет количество оборотов колес и, зная их длину окружности, вычисляет общее расстояние, которое проехал автомобиль. Таким образом, он суммирует длину всей траектории движения.

Модуль перемещения ($|\vec{s}|$) – это длина вектора перемещения, то есть кратчайшее расстояние по прямой между начальной и конечной точками траектории. Перемещение, в свою очередь, это вектор ($\vec{s}$), соединяющий начальное положение тела с его конечным. Модуль перемещения может быть равен пройденному пути только в том случае, если тело движется прямолинейно и в одном направлении. Во всех остальных случаях пройденный путь всегда больше модуля перемещения ($S \ge |\vec{s}|$).

Рассмотрим простой пример. Автомобиль выезжает из дома, доезжает до магазина, который находится на расстоянии 5 км, и возвращается обратно домой.

В этом случае пройденный путь составит 5 км + 5 км = 10 км. Именно это значение увеличения пробега покажет одометр.

Перемещение автомобиля будет равно нулю, так как его начальная и конечная точки совпадают (дом). Соответственно, и модуль перемещения также равен нулю.

Одометр не отслеживает начальное и конечное положение автомобиля в пространстве, а лишь непрерывно суммирует пройденное расстояние. Следовательно, показания одометра соответствуют пройденному пути.

Ответ: По показаниям одометра водитель определяет пройденный путь.

2. Как должен двигаться автомобиль в течение некоторого промежутка времени, чтобы по одометру можно было определить модуль перемещения, совершённого автомобилем за этот промежуток времени?

Для ответа на этот вопрос необходимо понимать разницу между пройденным путем и перемещением.

Пройденный путь ($S$) — это скалярная физическая величина, равная длине траектории, по которой двигалось тело. Именно пройденный путь измеряет одометр автомобиля. Эта величина всегда неотрицательна и увеличивается с движением.

Перемещение ($\vec{\Delta r}$) — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Модуль перемещения ($|\vec{\Delta r}|$) — это длина этого вектора, то есть кратчайшее расстояние между начальной и конечной точками.

Показания одометра (пройденный путь $S$) будут равны модулю перемещения $|\vec{\Delta r}|$ только в одном единственном случае: когда траектория движения представляет собой отрезок прямой, и движение по этому отрезку происходит без изменения направления.

Если автомобиль будет двигаться по криволинейной траектории (например, на повороте), то пройденный им путь (длина дуги) будет больше, чем модуль перемещения (длина хорды, соединяющей начало и конец поворота). То есть, $S > |\vec{\Delta r}|$.

Если автомобиль будет двигаться по прямой, но изменит направление (например, проедет вперед, а затем вернется в исходную точку), то одометр покажет некоторое положительное значение пройденного пути, а модуль перемещения будет равен нулю, так как начальная и конечная точки совпадают. В этом случае также $S > |\vec{\Delta r}|$.

Таким образом, для того чтобы по одометру можно было определить модуль перемещения, движение должно быть прямолинейным и однонаправленным.

Ответ: Автомобиль должен двигаться прямолинейно, не меняя направления своего движения.

3. Турист прошёл 2 км строго на север, затем 3 км на восток и 2 км на юг. Сделайте чертёж, выбрав масштаб: в двух клетках 0,5 км, и найдите путь, пройденный телом и перемещение тела.

Дано:

$s_1 = 2 \text{ км}$ (на север)

$s_2 = 3 \text{ км}$ (на восток)

$s_3 = 2 \text{ км}$ (на юг)

Масштаб: 2 клетки = 0,5 км

$s_1 = 2 \times 10^3 \text{ м}$

$s_2 = 3 \times 10^3 \text{ м}$

$s_3 = 2 \times 10^3 \text{ м}$

Найти:

Путь $L - ?$

Перемещение $|\vec{s}| - ?$

Решение:

Чертёж

1. Определим, сколько клеток соответствует 1 км. Согласно масштабу, в 2 клетках 0,5 км, следовательно, в 1 км будет $2 \text{ клетки} / 0,5 \text{ км} = 4$ клетки.

2. Выберем начальную точку A (точка старта).

3. От точки А отложим вектор первого движения на север. Длина этого отрезка на чертеже составит $2 \text{ км} \times 4 \text{ клетки/км} = 8$ клеток. Направим его вертикально вверх. Конечную точку этого отрезка назовем В.

4. От точки В отложим вектор второго движения на восток. Длина этого отрезка составит $3 \text{ км} \times 4 \text{ клетки/км} = 12$ клеток. Направим его горизонтально вправо. Конечную точку назовем С.

5. От точки С отложим вектор третьего движения на юг. Длина этого отрезка составит $2 \text{ км} \times 4 \text{ клетки/км} = 8$ клеток. Направим его вертикально вниз. Конечную точку назовем D.

В результате получится траектория в виде незамкнутого прямоугольника. Точка D (конечная) будет находиться на одной горизонтальной линии с точкой A (начальной).

Путь, пройденный телом

Путь — это скалярная величина, равная сумме длин всех участков траектории, пройденных телом. $L = s_1 + s_2 + s_3$ $L = 2 \text{ км} + 3 \text{ км} + 2 \text{ км} = 7 \text{ км}$

Ответ: путь, пройденный телом, равен 7 км.

Перемещение тела

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения — это длина этого вектора.

Введем систему координат, где ось OY направлена на север, а ось OX — на восток. Начальная точка A будет иметь координаты (0; 0).

1. Движение на 2 км на север: координаты изменяются на (0; +2). Положение тела — точка B(0; 2).

2. Движение на 3 км на восток: координаты изменяются на (+3; 0). Положение тела — точка C(0+3; 2+0) = C(3; 2).

3. Движение на 2 км на юг: координаты изменяются на (0; -2). Положение тела — точка D(3+0; 2-2) = D(3; 0).

Таким образом, начальные координаты A(0; 0), конечные координаты D(3; 0).

Вектор перемещения $\vec{s}$ имеет координаты $(3-0; 0-0) = (3; 0)$.

Модуль вектора перемещения равен: $|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \text{ км}$

Вектор перемещения направлен строго на восток.

Ответ: перемещение тела равно 3 км на восток.