Номер 3, страница 11 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

3. Можно ли однозначно определить положение тела в заданный момент времени $t$, зная начальное положение этого тела и вектор перемещения, совершённого телом за промежуток времени $t$? Ответ подтвердите примерами.

Дано:

Начальное положение тела, заданное радиус-вектором $\vec{r}_0$.

Вектор перемещения $\Delta\vec{r}$, совершённый телом за промежуток времени $t$.

Найти:

Определить, является ли положение тела в момент времени $t$, заданное радиус-вектором $\vec{r}$, однозначно определённым.

Решение:

По определению, вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ — это вектор, проведённый из начального положения материальной точки в её конечное положение. Он равен изменению радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени. Математически это выражается как разность между конечным ($\vec{r}$) и начальным ($\vec{r}_0$) радиус-векторами:

$\Delta\vec{r} = \vec{r} - \vec{r}_0$

Из этого определения можно выразить радиус-вектор $\vec{r}$, который определяет конечное положение тела в момент времени $t$:

$\vec{r} = \vec{r}_0 + \Delta\vec{r}$

Это уравнение показывает, что конечное положение тела является результатом векторного сложения его начального положения и вектора перемещения. Так как операция сложения двух заданных векторов всегда даёт один и тот же, однозначно определённый результирующий вектор, то и конечное положение тела определяется однозначно. Промежуток времени $t$ важен, поскольку вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ был совершён именно за это время, но для самого вычисления конечного положения знание величины $t$ не требуется, если известен итоговый вектор перемещения.

Подтвердим этот вывод примерами.

Пример 1: Прямолинейное движение.

Пусть тело движется вдоль координатной оси $Ox$. Его начальное положение (координата) в момент времени $t_0=0$ составляет $x_0 = 10$ м. За промежуток времени $t=5$ с тело совершило перемещение, проекция которого на ось $Ox$ равна $\Delta x = -4$ м. Тогда его конечное положение в момент времени $t$ будет: $x = x_0 + \Delta x = 10 \text{ м} + (-4 \text{ м}) = 6 \text{ м}.$ Конечное положение тела — точка с координатой 6 м. Это положение единственно возможное, то есть определено однозначно.

Пример 2: Движение на плоскости.

Пусть начальное положение тела в системе координат $Oxy$ задаётся радиус-вектором $\vec{r}_0$ с координатами $(x_0, y_0) = (3, 7)$. За время $t$ тело переместилось, и вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ имеет координаты $(\Delta x, \Delta y) = (4, -5)$. Найдём конечное положение тела, которое описывается вектором $\vec{r}$: $\vec{r} = \vec{r}_0 + \Delta\vec{r}$ Координаты конечного положения $(x, y)$ будут равны сумме соответствующих координат: $x = x_0 + \Delta x = 3 + 4 = 7$ $y = y_0 + \Delta y = 7 + (-5) = 2$ Таким образом, конечное положение тела — это точка с координатами $(7, 2)$. Это положение также является единственным и определяется однозначно.

Ответ: Да, зная начальное положение тела и вектор перемещения, совершённого за промежуток времени $t$, можно однозначно определить положение тела в заданный момент времени $t$. Конечное положение находится как векторная сумма начального положения и вектора перемещения, а результат этой операции всегда уникален.