Это любопытно, страница 320 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Глава 4. Строение атома и атомного ядра. Использование энергии атомных ядер. Параграф 67. Термоядерная реакция. Ответь на вопросы - страница 320.

Условие.

Рассмотрите ситуацию, когда при аннигиляции электрона и позитрона рождаются два фотона. Попробуйте доказать, воспользовавшись законом сохранения энергии, что это фотоны именно гамма-излучения (γ-кванты).

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим процесс аннигиляции электрона ($e^−$) и его античастицы, позитрона ($e^+$). В результате этого процесса масса частиц полностью превращается в энергию в виде двух фотонов ($\gamma$). Чтобы доказать, что эти фотоны являются гамма-квантами, необходимо рассчитать их энергию и сравнить ее с общепринятой шкалой электромагнитного излучения.

Дано:

Масса покоя электрона, $m_e = 9.109 \times 10^{-31}$ кг

Масса покоя позитрона, $m_p = m_e = 9.109 \times 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме, $c = 2.998 \times 10^8$ м/с

Элементарный заряд, $e = 1.602 \times 10^{-19}$ Кл (для перевода в электрон-вольты)

Найти:

Доказать, что фотоны, рождающиеся при аннигиляции, являются гамма-квантами ($\gamma$-квантами).

Решение:

Процесс аннигиляции можно записать в виде реакции:

$e^- + e^+ \rightarrow \gamma_1 + \gamma_2$

1. Используем закон сохранения энергии.

Полная энергия системы до аннигиляции должна быть равна полной энергии системы после аннигиляции. До аннигиляции, если пренебречь кинетической энергией сталкивающихся частиц (рассматривая их как покоящиеся), полная энергия системы равна сумме их энергий покоя. Энергия покоя каждой частицы определяется знаменитой формулой Эйнштейна $E_0 = mc^2$.

Энергия системы до аннигиляции:

$E_{до} = E_{e^-} + E_{e^+} = m_e c^2 + m_p c^2$

Поскольку массы электрона и позитрона равны ($m_e = m_p$), то:

$E_{до} = 2 m_e c^2$

После аннигиляции образуются два фотона, и вся начальная энергия переходит в их энергию:

$E_{после} = E_{\gamma_1} + E_{\gamma_2}$

По закону сохранения энергии:

$E_{до} = E_{после} \Rightarrow 2 m_e c^2 = E_{\gamma_1} + E_{\gamma_2}$

2. Используем закон сохранения импульса.

Если суммарный импульс электрона и позитрона до столкновения был равен нулю (что верно, если они двигались навстречу друг другу с одинаковыми скоростями или покоились), то суммарный импульс двух фотонов после аннигиляции также должен быть равен нулю. Это возможно только в том случае, если фотоны разлетаются в противоположных направлениях и имеют одинаковые по модулю импульсы. Поскольку импульс фотона связан с его энергией ($p = E/c$), равенство импульсов означает и равенство энергий:

$E_{\gamma_1} = E_{\gamma_2} = E_{\gamma}$

3. Находим энергию одного фотона.

Подставим это в уравнение сохранения энергии:

$2 m_e c^2 = E_{\gamma} + E_{\gamma} = 2 E_{\gamma}$

Отсюда энергия каждого из рожденных фотонов равна энергии покоя электрона:

$E_{\gamma} = m_e c^2$

4. Вычисляем численное значение энергии.

Подставим значения констант в систему СИ:

$E_{\gamma} = (9.109 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (2.998 \times 10^8 \text{ м/с})^2 \approx 8.187 \times 10^{-14} \text{ Дж}$

В ядерной физике энергию принято измерять в электрон-вольтах (эВ). Переведем полученное значение в мегаэлектрон-вольты (МэВ):

$1 \text{ эВ} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж}$

$E_{\gamma} = \frac{8.187 \times 10^{-14} \text{ Дж}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 511000 \text{ эВ} = 511 \text{ кэВ} = 0.511 \text{ МэВ}$

5. Классифицируем полученные фотоны.

Электромагнитное излучение принято классифицировать по энергии (или частоте/длине волны). Гамма-излучением (или гамма-квантами) называют фотоны с энергией, превышающей, как правило, 100 кэВ. Поскольку рассчитанная нами энергия фотона $E_{\gamma} = 511 \text{ кэВ}$, что значительно больше порогового значения в 100 кэВ, рожденные в результате аннигиляции фотоны действительно являются гамма-квантами.

Ответ: Энергия каждого фотона, рожденного при аннигиляции покоящихся электрона и позитрона, составляет приблизительно $0.511 \text{ МэВ}$. Согласно шкале электромагнитных волн, фотоны с такой высокой энергией относятся к гамма-излучению. Таким образом, доказано, что при аннигиляции рождаются гамма-кванты.