Лабораторная работа 4, страница 326 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

№ 4 Исследование зависимости периода и частоты свободных колебаний нитяного маятника от его длины

Цель работы Выяснить, как зависят период и частота свободных колебаний нитяного маятника от его длины.

Приборы и материалы Штатив с муфтой и лапкой, шарик с прикреплённой к нему нитью длиной 130 см, протянутой сквозь кусочек резины¹, линейка, часы с секундной стрелкой или секундомер мобильного телефона.

Указания к работе

1. Соберите установку по рисунку 214. При этом длина маятника I (измеряйте от точки подвеса до середины шарика) должна быть равна 5 см, как указано в таблице 6 для первого опыта. Штатив следует ставить на край стола, чтобы колебания маятника происходили над полом.

2. Отклоните шарик от положения равновесия на 1—2 см (амплитуда колебаний) и отпустите. Измерьте промежуток времени I, за который маятник совершит 30 полных колебаний.

3. Обработка результатов измерений. Результаты прямых измерений с учётом абсолютной погрешности, равной цене деления шкалы прибора (линейки и секундомера²), и вычислений записывайте в таблицу 6.

4. Проведите ещё четыре опыта, каждый раз устанавливая длину I маятника в соответствии с её значением, указанным в таблице 6 для данного опыта.

5. Для каждого опыта вычислите период Т колебаний маятника.

6. Для каждого опыта рассчитайте частоту v колебаний маятника по формуле: v =$\frac{1}{T}$ или v =$\frac{N}{t}$.

7. Сделайте выводы о том, как зависят период и частота свободных колебаний маятника от его длины.

Дополнительное задание

Выясните, какая математическая зависимость существует между длиной маятника и периодом его колебаний.

1. Пользуясь данными таблицы 6, вычислите отношения периодов колебаний (округляйте результаты до целых чисел) и длин маятников.

2. Обработка результатов измерений. Результаты вычислений запишите в таблицу 7.

3. Сравните результаты всех четырёх столбцов таблицы 7 и сделайте вывод о зависимости между периодом колебаний маятника Т и его длиной l.

Для выполнения работы необходимо провести измерения и вычисления, которые затем заносятся в таблицу. Поскольку реальный эксперимент невозможен, ниже приведены смоделированные результаты измерений и все последующие вычисления на их основе.

Таблица 6. Результаты измерений и вычислений

Дано:

Число колебаний во всех опытах: $N = 30$.

Длины маятника: $l_1 = 5 \text{ см}, l_2 = 20 \text{ см}, l_3 = 45 \text{ см}, l_4 = 80 \text{ см}, l_5 = 125 \text{ см}$.

Результаты измерений времени: $t_1 = 13,5 \text{ с}, t_2 = 26,9 \text{ с}, t_3 = 40,4 \text{ с}, t_4 = 53,9 \text{ с}, t_5 = 67,3 \text{ с}$.

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0.05 \text{ м}$

$l_2 = 0.20 \text{ м}$

$l_3 = 0.45 \text{ м}$

$l_4 = 0.80 \text{ м}$

$l_5 = 1.25 \text{ м}$

Найти:

Периоды колебаний $T_1, T_2, T_3, T_4, T_5$.

Частоты колебаний $\nu_1, \nu_2, \nu_3, \nu_4, \nu_5$.

Зависимости $T(l)$ и $\nu(l)$.

Решение:

5. Для каждого опыта вычислите период T колебаний маятника.

Период колебаний $T$ вычисляется по формуле $T = t/N$, где $t$ – время колебаний, $N$ – число колебаний.

Опыт 1: $T_1 = \frac{13,5 \text{ с}}{30} = 0,45 \text{ с}$

Опыт 2: $T_2 = \frac{26,9 \text{ с}}{30} \approx 0,90 \text{ с}$

Опыт 3: $T_3 = \frac{40,4 \text{ с}}{30} \approx 1,35 \text{ с}$

Опыт 4: $T_4 = \frac{53,9 \text{ с}}{30} \approx 1,80 \text{ с}$

Опыт 5: $T_5 = \frac{67,3 \text{ с}}{30} \approx 2,24 \text{ с}$

Ответ: Периоды колебаний для каждого опыта соответственно равны 0,45 с; 0,90 с; 1,35 с; 1,80 с; 2,24 с.

6. Для каждого опыта рассчитайте частоту ν колебаний маятника по формуле: $\nu = \frac{1}{T}$ или $\nu = \frac{N}{t}$.

Частота колебаний $\nu$ – величина, обратная периоду.

Опыт 1: $\nu_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{0,45 \text{ с}} \approx 2,22 \text{ Гц}$

Опыт 2: $\nu_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{0,90 \text{ с}} \approx 1,11 \text{ Гц}$

Опыт 3: $\nu_3 = \frac{1}{T_3} = \frac{1}{1,35 \text{ с}} \approx 0,74 \text{ Гц}$

Опыт 4: $\nu_4 = \frac{1}{T_4} = \frac{1}{1,80 \text{ с}} \approx 0,56 \text{ Гц}$

Опыт 5: $\nu_5 = \frac{1}{T_5} = \frac{1}{2,24 \text{ с}} \approx 0,45 \text{ Гц}$

Ответ: Частоты колебаний для каждого опыта соответственно равны 2,22 Гц; 1,11 Гц; 0,74 Гц; 0,56 Гц; 0,45 Гц.

7. Сделайте выводы о том, как зависят период и частота свободных колебаний маятника от его длины.

Анализируя данные из Таблицы 6, можно сделать следующие выводы:

1. При увеличении длины нити маятника $l$ (от 5 см до 125 см) период его свободных колебаний $T$ также увеличивается (от 0,45 с до 2,24 с).
2. При увеличении длины нити маятника $l$ частота его свободных колебаний $\nu$ уменьшается (от 2,22 Гц до 0,45 Гц).

Ответ: Период колебаний нитяного маятника увеличивается с увеличением его длины, а частота колебаний уменьшается с увеличением его длины.

Дополнительное задание

1. Пользуясь данными таблицы 6, вычислите отношения периодов колебаний (округляйте результаты до целых чисел) и длин маятников.

2. Обработка результатов измерений. Результаты вычислений запишите в таблицу 7.

Вычислим отношения длин маятников $\frac{l_i}{l_1}$ и периодов колебаний $\frac{T_i}{T_1}$ для $i=2, 3, 4, 5$.

Отношения длин:

$\frac{l_2}{l_1} = \frac{20}{5} = 4$; $\frac{l_3}{l_1} = \frac{45}{5} = 9$; $\frac{l_4}{l_1} = \frac{80}{5} = 16$; $\frac{l_5}{l_1} = \frac{125}{5} = 25$.

Отношения периодов (с округлением до целых чисел):

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{0,90}{0,45} = 2$; $\frac{T_3}{T_1} = \frac{1,35}{0,45} = 3$; $\frac{T_4}{T_1} = \frac{1,80}{0,45} = 4$; $\frac{T_5}{T_1} = \frac{2,24}{0,45} \approx 4,98 \approx 5$.

Заполненная Таблица 7:

Ответ: Результаты вычислений занесены в таблицу.

3. Сравните результаты всех четырёх столбцов таблицы 7 и сделайте вывод о зависимости между периодом колебаний маятника T и его длиной l.

Сравним верхнюю и нижнюю строки Таблицы 7. Обозначим отношение периодов как $k_T = \frac{T_i}{T_1}$ и отношение длин как $k_l = \frac{l_i}{l_1}$.

Видно, что для каждого столбца $k_l = (k_T)^2$. Например, для второго опыта $4 = 2^2$, для третьего $9 = 3^2$, и так далее.

Это означает, что отношение длин равно квадрату отношения периодов: $\frac{l_i}{l_1} = \left(\frac{T_i}{T_1}\right)^2$.

Из этого соотношения следует, что $\frac{T_i^2}{l_i} = \frac{T_1^2}{l_1} = \text{const}$. То есть квадрат периода колебаний прямо пропорционален длине маятника ($T^2 \propto l$). Следовательно, сам период прямо пропорционален квадратному корню из длины маятника ($T \propto \sqrt{l}$).

Ответ: Период колебаний нитяного маятника прямо пропорционален квадратному корню из его длины ($T \propto \sqrt{l}$).