Страница 15 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

2. Мальчик держит в руках мяч на высоте 1 м от поверхности Земли. Затем он подбрасывает мяч вертикально вверх. За некоторый промежуток времени t мяч успевает подняться на 2,4 м от своего первоначального положения, достигнув при этом точки наибольшего подъёма, и опуститься от этой точки на 1,25 м.

Пользуясь рисунком 5, определите: а) координату х₀ начального положения мяча; б) проекцию sₓ вектора перемещения s, совершённого мячом за время t; в) координату х₂, которую имел мяч через промежуток времени t после броска.

Дано:

Начальная высота мяча над поверхностью Земли, $h_0 = 1$ м.

Перемещение мяча вверх от начального положения до точки наибольшего подъема, $|s_1| = 2,4$ м.

Перемещение мяча вниз от точки наибольшего подъема, $|s_2| = 1,25$ м.

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

а) $x_0$ - координату начального положения мяча.

б) $s_x$ - проекцию вектора перемещения $\vec{s}$.

в) $x_2$ - конечную координату мяча.

Решение

а) Согласно условию задачи, мальчик держит мяч на высоте 1 м от поверхности Земли. В выбранной системе отсчета (см. Рис. 5) начало координат O совпадает с поверхностью Земли, а ось X направлена вертикально вверх. Таким образом, начальная координата мяча $x_0$ равна его начальной высоте над Землей.

$x_0 = h_0 = 1$ м.

Ответ: координата начального положения мяча $x_0 = 1$ м.

б) Полное перемещение мяча $\vec{s}$ за время $t$ складывается из перемещения вверх $\vec{s_1}$ и перемещения вниз $\vec{s_2}$. Проекция полного перемещения на ось X равна сумме проекций этих перемещений: $s_x = s_{1x} + s_{2x}$.

Мяч поднимается на 2,4 м. Это перемещение направлено вверх, так же как и ось X, поэтому его проекция положительна: $s_{1x} = |s_1| = 2,4$ м.

Затем мяч опускается на 1,25 м. Это перемещение направлено вниз, то есть в сторону, противоположную направлению оси X, поэтому его проекция отрицательна: $s_{2x} = -|s_2| = -1,25$ м.

Теперь найдем проекцию полного перемещения:

$s_x = s_{1x} + s_{2x} = 2,4 \text{ м} + (-1,25 \text{ м}) = 1,15$ м.

Ответ: проекция вектора перемещения $s_x = 1,15$ м.

в) Конечная координата тела $x_2$ связана с его начальной координатой $x_0$ и проекцией перемещения $s_x$ через определение перемещения: $s_x = x_2 - x_0$.

Отсюда выразим конечную координату: $x_2 = x_0 + s_x$.

Подставим значения, найденные в предыдущих пунктах: $x_0 = 1$ м и $s_x = 1,15$ м.

$x_2 = 1 \text{ м} + 1,15 \text{ м} = 2,15$ м.

Ответ: координата, которую имел мяч через промежуток времени t после броска, $x_2 = 2,15$ м.

3. Тело, начав движение из точки А с координатами х_A = 2 м, y_A = 3 м, переместилось в точку В с координатами х_в = 2 м, у_в = -2 м, затем в точку С с координатами х_с = -1 м, у_с = -2 м и закончило движение в точке D с координатами х_D -1 м, у_D = 3 м. Сделайте чертёж, выбрав масштаб: в двух клетках 1 м. Найдите проекции перемещения на оси координат и модули перемещения на участках АВ, ВС, СD, а также модуль результирующего перемещения тела.

Дано:

Координаты начальной точки A: $x_A = 2$ м, $y_A = 3$ м

Координаты точки B: $x_B = 2$ м, $y_B = -2$ м

Координаты точки C: $x_C = -1$ м, $y_C = -2$ м

Координаты конечной точки D: $x_D = -1$ м, $y_D = 3$ м

Масштаб чертежа: 2 клетки = 1 м

Все данные представлены в системе СИ (метры).

Найти:

1. Проекции перемещения на оси координат и модули перемещения на участках AB, BC, CD ($\Delta x_{AB}, \Delta y_{AB}, s_{AB}$; $\Delta x_{BC}, \Delta y_{BC}, s_{BC}$; $\Delta x_{CD}, \Delta y_{CD}, s_{CD}$).

2. Модуль результирующего перемещения тела ($s_{res}$).

Решение:

1. Чертёж

Построим траекторию движения тела в декартовой системе координат. Масштаб: 1 м соответствует двум клеткам.

2. Расчеты

Проекция перемещения на ось вычисляется как разность конечной и начальной координат: $\Delta x = x_{кон} - x_{нач}$, $\Delta y = y_{кон} - y_{нач}$.

Модуль перемещения вычисляется по теореме Пифагора: $s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$.

Участок AB

Найдем проекции перемещения на оси координат:

$\Delta x_{AB} = x_B - x_A = 2 \text{ м} - 2 \text{ м} = 0 \text{ м}$

$\Delta y_{AB} = y_B - y_A = -2 \text{ м} - 3 \text{ м} = -5 \text{ м}$

Найдем модуль перемещения на этом участке:

$s_{AB} = \sqrt{(\Delta x_{AB})^2 + (\Delta y_{AB})^2} = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$

Ответ: Проекции перемещения на участке AB: $\Delta x_{AB} = 0$ м, $\Delta y_{AB} = -5$ м. Модуль перемещения $s_{AB} = 5$ м.

Участок BC

Найдем проекции перемещения на оси координат:

$\Delta x_{BC} = x_C - x_B = -1 \text{ м} - 2 \text{ м} = -3 \text{ м}$

$\Delta y_{BC} = y_C - y_B = -2 \text{ м} - (-2 \text{ м}) = 0 \text{ м}$

Найдем модуль перемещения на этом участке:

$s_{BC} = \sqrt{(\Delta x_{BC})^2 + (\Delta y_{BC})^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \text{ м}$

Ответ: Проекции перемещения на участке BC: $\Delta x_{BC} = -3$ м, $\Delta y_{BC} = 0$ м. Модуль перемещения $s_{BC} = 3$ м.

Участок CD

Найдем проекции перемещения на оси координат:

$\Delta x_{CD} = x_D - x_C = -1 \text{ м} - (-1 \text{ м}) = 0 \text{ м}$

$\Delta y_{CD} = y_D - y_C = 3 \text{ м} - (-2 \text{ м}) = 5 \text{ м}$

Найдем модуль перемещения на этом участке:

$s_{CD} = \sqrt{(\Delta x_{CD})^2 + (\Delta y_{CD})^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$

Ответ: Проекции перемещения на участке CD: $\Delta x_{CD} = 0$ м, $\Delta y_{CD} = 5$ м. Модуль перемещения $s_{CD} = 5$ м.

Модуль результирующего перемещения тела

Результирующее перемещение — это вектор, соединяющий начальную точку (A) и конечную точку (D) движения. Найдем его проекции:

$\Delta x_{res} = x_D - x_A = -1 \text{ м} - 2 \text{ м} = -3 \text{ м}$

$\Delta y_{res} = y_D - y_A = 3 \text{ м} - 3 \text{ м} = 0 \text{ м}$

Теперь найдем модуль результирующего перемещения:

$s_{res} = \sqrt{(\Delta x_{res})^2 + (\Delta y_{res})^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \text{ м}$

Ответ: Модуль результирующего перемещения тела равен $s_{res} = 3$ м.