Страница 14 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. При каком условии проекция вектора на ось будет положительной, а при каком — отрицательной?

Знак проекции вектора на ось определяется углом между вектором и положительным направлением этой оси. Проекция вектора $\vec{a}$ на ось $l$ вычисляется по формуле $a_l = |\vec{a}| \cos \alpha$, где $|\vec{a}|$ — модуль вектора (всегда неотрицательная величина), а $\alpha$ — угол между вектором и осью.

Проекция вектора на ось будет положительной, если угол $\alpha$ между вектором и осью является острым, то есть находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$ (или в радианах $0 \le \alpha < \pi/2$). Для таких углов косинус положителен ($\cos \alpha > 0$), что и определяет положительный знак проекции.

Проекция вектора на ось будет отрицательной, если угол $\alpha$ между вектором и осью является тупым, то есть находится в диапазоне $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$ (или в радианах $\pi/2 < \alpha \le \pi$). Для таких углов косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$), что делает проекцию отрицательной.

В случае, когда вектор перпендикулярен оси ($\alpha = 90^\circ$ или $\alpha = \pi/2$), его проекция равна нулю, поскольку $\cos 90^\circ = 0$.

Ответ: Проекция вектора на ось положительна, если угол между вектором и положительным направлением оси острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$). Проекция отрицательна, если этот угол тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$).

2. Уравнение, с помощью которого можно вычислить проекцию вектора на ось, связывает модуль (длину) вектора и угол между вектором и осью.

Пусть есть вектор $\vec{a}$ и ось $l$. Проекция вектора $\vec{a}$ на ось $l$, обозначаемая как $a_l$, находится по следующей формуле:

$a_l = |\vec{a}| \cos \alpha$

В этом уравнении $|\vec{a}|$ — это модуль (длина) вектора $\vec{a}$, а $\alpha$ — это угол между направлением вектора $\vec{a}$ и положительным направлением оси $l$.

Ответ: $a_l = |\vec{a}| \cos \alpha$.

2. Запишите уравнение, с помощью которого можно определить координату тела, зная координату его начального положения и проекцию вектора перемещения.

2. Решение

Для нахождения уравнения, связывающего конечную координату тела с его начальной координатой и проекцией вектора перемещения, воспользуемся определением проекции вектора перемещения.

Пусть тело движется вдоль некоторой координатной оси, например, оси $OX$. Введем обозначения:

• $x_0$ – начальная координата тела (координата в начальный момент времени).
• $x$ – конечная координата тела (координата в момент времени, который нас интересует).
• $\vec{s}$ – вектор перемещения, который соединяет начальное и конечное положение тела.
• $s_x$ – проекция вектора перемещения $\vec{s}$ на ось $OX$.

По определению, проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению координаты тела вдоль этой оси. Изменение координаты – это разность между конечной и начальной координатами. Таким образом, можно записать:

$s_x = x - x_0$

Наша задача – найти уравнение, которое позволяет определить конечную координату $x$, зная $x_0$ и $s_x$. Для этого выразим $x$ из полученного выше равенства. Перенесем $x_0$ из правой части уравнения в левую, изменив знак на противоположный:

$x = x_0 + s_x$

Это и есть искомое уравнение. Оно гласит, что конечная координата тела равна сумме его начальной координаты и проекции вектора перемещения на эту же координатную ось.

Ответ: $x = x_0 + s_x$, где $x$ – конечная координата тела, $x_0$ – его начальная координата, а $s_x$ – проекция вектора перемещения на соответствующую координатную ось.

1. Мотоциклист, переехав через мост, движется по прямолинейному участку дороги. У светофора, находящегося на расстоянии 10 км от моста, мотоциклист встречает велосипедиста. За 0,1 ч с момента встречи мотоциклист перемещается на 6 км, а велосипедист — на 2 км от светофора (при этом оба они продолжают двигаться прямолинейно в противоположных направлениях).

Определите координаты мотоциклиста и велосипедиста и расстояние между ними спустя 0,1 ч после их встречи.

Указание: начертите ось X, направив её в сторону движения мотоциклиста и приняв за тело отсчёта мост. Обозначьте координату светофора (x_с), координаты велосипедиста (x_в) и мотоциклиста (x_м), которые они имели через 0,1 ч после встречи. Над осью начертите и обозначьте векторы перемещений велосипедиста (s_в) и мотоциклиста (s_м), а на оси — проекции этих векторов (s_вх и s_мх).

Дано:

Расстояние от моста до светофора, $d = 10 \text{ км}$

Время движения после встречи, $\Delta t = 0,1 \text{ ч}$

Путь, пройденный мотоциклистом, $s_м = 6 \text{ км}$

Путь, пройденный велосипедистом, $s_в = 2 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$d = 10 \text{ км} = 10 \cdot 10^3 \text{ м} = 10000 \text{ м}$

$\Delta t = 0,1 \text{ ч} = 0,1 \cdot 3600 \text{ с} = 360 \text{ с}$

$s_м = 6 \text{ км} = 6000 \text{ м}$

$s_в = 2 \text{ км} = 2000 \text{ м}$

Найти:

Координату мотоциклиста $x_м$

Координату велосипедиста $x_в$

Расстояние между ними $L$

Решение:

В соответствии с указанием к задаче, выберем систему отсчета. За тело отсчета (начало координат, $x=0$) примем мост. Ось координат $X$ направим в сторону движения мотоциклиста.

Мотоциклист и велосипедист встречаются у светофора, который находится на расстоянии $d = 10 \text{ км}$ от моста. Следовательно, в момент встречи их начальная координата $x_0$ совпадает с координатой светофора $x_c$:

$x_0 = x_c = 10 \text{ км}$

Рассмотрим их положение через $\Delta t = 0,1 \text{ ч}$ после встречи.

Координата мотоциклиста ($x_м$)

Мотоциклист движется по направлению оси $X$. За 0,1 ч он проехал путь $s_м = 6 \text{ км}$. Так как направление его движения совпадает с направлением оси $X$, проекция его перемещения на ось $X$ будет положительной: $s_{мx} = +s_м = +6 \text{ км}$.

Конечная координата мотоциклиста $x_м$ определяется по формуле:

$x_м = x_0 + s_{мx}$

Подставим числовые значения:

$x_м = 10 \text{ км} + 6 \text{ км} = 16 \text{ км}$

Ответ: координата мотоциклиста спустя 0,1 ч после встречи равна 16 км.

Координата велосипедиста ($x_в$)

Велосипедист движется в направлении, противоположном движению мотоциклиста, то есть против направления оси $X$. За 0,1 ч он проехал путь $s_в = 2 \text{ км}$. Так как направление его движения противоположно направлению оси $X$, проекция его перемещения на ось $X$ будет отрицательной: $s_{вx} = -s_в = -2 \text{ км}$.

Конечная координата велосипедиста $x_в$ определяется по формуле:

$x_в = x_0 + s_{вx}$

Подставим числовые значения:

$x_в = 10 \text{ км} + (-2 \text{ км}) = 8 \text{ км}$

Ответ: координата велосипедиста спустя 0,1 ч после встречи равна 8 км.

Расстояние между ними ($L$)

Расстояние между мотоциклистом и велосипедистом можно найти как модуль разности их конечных координат:

$L = |x_м - x_в|$

$L = |16 \text{ км} - 8 \text{ км}| = 8 \text{ км}$

Другой способ: так как они движутся в противоположных направлениях из одной точки, расстояние между ними будет равно сумме пройденных ими путей:

$L = s_м + s_в = 6 \text{ км} + 2 \text{ км} = 8 \text{ км}$

Ответ: расстояние между мотоциклистом и велосипедистом спустя 0,1 ч после встречи равно 8 км.