Страница 20 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Проекция на ось X перемещения тела, движущегося параллельно этой оси, может быть равна модулю перемещения или модулю перемещения с обратным знаком. Объясните, от чего это зависит.

Перемещение — это векторная величина, то есть она имеет и модуль (числовое значение), и направление в пространстве. Обозначим вектор перемещения как $\vec{s}$, а его модуль (длину) как $s$.

Проекция вектора на координатную ось — это скалярная величина. По условию, тело движется параллельно оси X, это означает, что вектор перемещения $\vec{s}$ коллинеарен оси X (лежит на прямой, параллельной оси X). В этом случае возможны два варианта взаимного расположения вектора перемещения и оси X:

1. Вектор перемещения сонаправлен с осью X.

   Это происходит, когда тело движется в положительном направлении оси X. Угол между вектором перемещения и положительным направлением оси равен $0^\circ$. Проекция вектора на ось, $s_x$, в этом случае положительна и равна модулю самого вектора:

   $s_x = s \cdot \cos(0^\circ) = s \cdot 1 = s$.

   Таким образом, проекция равна модулю перемещения.

2. Вектор перемещения направлен противоположно оси X.

   Это происходит, когда тело движется в отрицательном направлении оси X. Угол между вектором перемещения и положительным направлением оси равен $180^\circ$. Проекция вектора на ось в этом случае отрицательна, а ее значение равно модулю вектора, взятому со знаком «минус»:

   $s_x = s \cdot \cos(180^\circ) = s \cdot (-1) = -s$.

   Таким образом, проекция равна модулю перемещения с обратным знаком.

Следовательно, будет ли проекция перемещения равна модулю перемещения или модулю перемещения с обратным знаком, зависит от направления движения тела относительно выбранного положительного направления оси X.

Ответ: Это зависит от направления движения тела относительно положительного направления оси X. Если направление движения совпадает с положительным направлением оси, то проекция перемещения на эту ось равна модулю перемещения ($s_x = s$). Если направление движения противоположно положительному направлению оси, то проекция перемещения равна модулю перемещения с обратным знаком ($s_x = -s$).

2. Два мотоцикла движутся прямолинейно и равномерно. Скорость движения первого мотоцикла больше скорости движения второго. Чем будут отличаться их графики зависимости: а) путей от времени; б) скоростей от времени?

Дано:

Движение мотоцикла 1: прямолинейное, равномерное.

Движение мотоцикла 2: прямолинейное, равномерное.

Скорость первого мотоцикла: $v_1$

Скорость второго мотоцикла: $v_2$

Условие: $v_1 > v_2$

Найти:

Чем отличаются графики зависимости:

а) пути от времени $s(t)$?

б) скорости от времени $v(t)$?

Решение:

Поскольку оба мотоцикла движутся прямолинейно и равномерно, их скорости являются постоянными величинами.

а) путей от времени

При равномерном движении пройденный путь $s$ за время $t$ вычисляется по формуле $s = v \cdot t$. Эта зависимость является прямой пропорциональностью. Графиком зависимости пути от времени $s(t)$ является прямая линия, которая начинается в начале координат (если в начальный момент времени $t=0$ пройденный путь $s=0$).

Скорость $v$ в этой формуле является угловым коэффициентом, который определяет угол наклона графика к оси времени. Чем больше скорость, тем больше угол наклона и тем "круче" идет прямая.

По условию скорость первого мотоцикла больше скорости второго ($v_1 > v_2$), следовательно, график пути для первого мотоцикла будет иметь больший угол наклона к оси времени, чем график для второго.

Ответ: Оба графика — это прямые линии, выходящие из начала координат. График для первого мотоцикла будет расположен круче (под большим углом к оси времени), чем график для второго.

б) скоростей от времени

Так как движение равномерное, скорость каждого мотоцикла постоянна и не меняется с течением времени. Зависимость скорости от времени описывается функцией $v(t) = \text{const}$.

Графиком такой зависимости является прямая линия, параллельная оси времени (оси абсцисс). Положение этой линии по оси скоростей (оси ординат) определяется значением скорости.

Поскольку скорость первого мотоцикла больше скорости второго ($v_1 > v_2$), то горизонтальная прямая, соответствующая скорости первого мотоцикла, будет расположена на графике выше, чем прямая для второго мотоцикла.

Ответ: Оба графика — это прямые линии, параллельные оси времени. График скорости для первого мотоцикла будет расположен выше графика скорости для второго.

1. Тело движется вдоль оси X. Определите по графику движения (рис. 10) путь, пройденный телом за 5 с, и скорость движения тела. Запишите закон движения тела.

Дано:

График зависимости координаты тела $x$ от времени $t$.

Промежуток времени $\Delta t = 5$ с.

Все величины на графике представлены в единицах системы СИ (координата $x$ в метрах (м), время $t$ в секундах (с)).

1. Путь $s$ за 5 с — ?

2. Скорость движения тела $v$ — ?

3. Закон движения тела $x(t)$ — ?

На графике представлена зависимость координаты $x$ от времени $t$. Так как график является прямой линией, движение тела является равномерным (с постоянной скоростью). Прямая проходит через начало координат, следовательно, начальная координата тела $x_0 = 0$. Движение происходит вдоль оси X в положительном направлении.

Путь, пройденный телом за 5 с

Поскольку движение равномерное и прямолинейное в одном направлении, пройденный путь $s$ равен изменению координаты $\Delta x$. Путь можно найти по формуле $s = v \cdot t$. Для этого сначала нужно определить скорость $v$.

Скорость движения определим из графика. Возьмем любую удобную точку на графике, например, $t = 4$ с, которой соответствует координата $x = 20$ м.

Скорость $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x - x_0}{t - t_0} = \frac{20 \text{ м} - 0 \text{ м}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 5$ м/с.

Теперь можем рассчитать путь за 5 секунд:

$s = v \cdot t = 5 \text{ м/с} \cdot 5 \text{ с} = 25 \text{ м}$.

Также можно определить координату в момент времени $t=5$ с непосредственно по графику. Эта точка времени находится посередине между 4 с и 6 с, значит и координата будет находиться посередине между 20 м и 30 м, то есть $x(5 \text{ с}) = 25$ м. Так как $x_0=0$, то путь $s = x(5 \text{ с}) = 25$ м.

Ответ: 25 м.

Скорость движения тела

Скорость при равномерном движении постоянна. Мы уже вычислили ее в предыдущем пункте. Для проверки возьмем другой интервал, например, от $t_1 = 2$ с (где $x_1 = 10$ м) до $t_2 = 6$ с (где $x_2 = 30$ м).

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{30 \text{ м} - 10 \text{ м}}{6 \text{ с} - 2 \text{ с}} = \frac{20 \text{ м}}{4 \text{ с}} = 5$ м/с.

Скорость тела постоянна и равна 5 м/с.

Ответ: 5 м/с.

Закон движения тела

Общий вид уравнения (закона) равномерного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$.

Из графика определяем начальную координату: при $t=0$, $x_0 = 0$ м.

Проекция скорости на ось Х $v_x$ равна скорости тела $v$, так как тело движется в положительном направлении оси Х. Мы ее рассчитали: $v_x = 5$ м/с.

Подставляем найденные значения в общую формулу:

$x(t) = 0 + 5 \cdot t$

Таким образом, закон движения тела имеет вид $x(t) = 5t$ (где $x$ в метрах, $t$ в секундах).

Ответ: $x(t) = 5t$.

2. Охарактеризуйте движение тел, графики движения которых представлены на рисунке 11. По графикам определите начальные координаты тел, направление движения тел, проекции скоростей. Что означает точка пересечения графиков? Напишите закон движения для каждого тела.

Дано:

На рисунке представлены графики зависимости координаты $x$ от времени $t$ для двух тел (I и II). Все данные представлены в системе СИ (координата в метрах, время в секундах).

Из графика можно определить следующие точки:

• Для тела I: в момент времени $t_1 = 0$ с, координата $x_1 = 300$ м; в момент времени $t_2 = 20$ с, координата $x_2 = 200$ м.
• Для тела II: в момент времени $t_1 = 0$ с, координата $x_1 = 150$ м; в момент времени $t_2 = 20$ с, координата $x_2 = 200$ м.

Найти:

• Характеристику движения тел.
• Начальные координаты тел.
• Направление движения тел.
• Проекции скоростей.
• Значение точки пересечения графиков.
• Закон движения для каждого тела.

Решение:

Охарактеризуйте движение тел

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для обоих тел представляют собой прямые линии. Это означает, что оба тела движутся прямолинейно и равномерно, то есть с постоянной скоростью.

Определите начальные координаты тел

Начальная координата — это значение координаты $x$ в момент времени $t=0$.

• Для тела I (синий график): при $t=0$, координата $x_{01} = 300$ м.
• Для тела II (красный график): при $t=0$, координата $x_{02} = 150$ м.

Ответ: начальная координата тела I равна 300 м, начальная координата тела II равна 150 м.

Определите направление движения тел

Направление движения можно определить по изменению координаты с течением времени.

• Для тела I: с течением времени его координата $x$ уменьшается (график идет вниз). Следовательно, тело I движется в направлении, противоположном положительному направлению оси Ох.
• Для тела II: с течением времени его координата $x$ увеличивается (график идет вверх). Следовательно, тело II движется в положительном направлении оси Ох.

Ответ: тело I движется против направления оси Ох, тело II движется по направлению оси Ох.

Определите проекции скоростей

Проекция скорости на ось Ох для равномерного движения равна тангенсу угла наклона графика $x(t)$ к оси времени и вычисляется по формуле: $v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$.

• Для тела I: возьмем точки $(0 \text{ с}; 300 \text{ м})$ и $(20 \text{ с}; 200 \text{ м})$.

  $v_{x1} = \frac{200 \text{ м} - 300 \text{ м}}{20 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{-100 \text{ м}}{20 \text{ с}} = -5$ м/с.

• Для тела II: возьмем точки $(0 \text{ с}; 150 \text{ м})$ и $(20 \text{ с}; 200 \text{ м})$.

  $v_{x2} = \frac{200 \text{ м} - 150 \text{ м}}{20 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{50 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 2.5$ м/с.

Ответ: проекция скорости тела I равна -5 м/с, проекция скорости тела II равна 2.5 м/с.

Что означает точка пересечения графиков?

Точка пересечения графиков показывает момент времени, когда координаты обоих тел совпадают. Это означает, что в данный момент времени в данной точке пространства тела встречаются. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты $t = 20$ с и $x = 200$ м.

Ответ: точка пересечения графиков означает встречу тел. Встреча произойдет через 20 с после начала наблюдения в точке с координатой 200 м.

Напишите закон движения для каждого тела

Закон (уравнение) движения для равномерного прямолинейного движения имеет вид $x(t) = x_0 + v_x t$. Подставим найденные значения начальных координат и проекций скоростей для каждого тела.

• Для тела I: $x_0 = 300$ м, $v_x = -5$ м/с.

  Уравнение движения: $x_1(t) = 300 - 5t$.

• Для тела II: $x_0 = 150$ м, $v_x = 2.5$ м/с.

  Уравнение движения: $x_2(t) = 150 + 2.5t$.

(где $x$ измеряется в метрах, $t$ – в секундах).

Ответ: закон движения для тела I: $x_1(t) = 300 - 5t$; для тела II: $x_2(t) = 150 + 2.5t$.

3. Может ли график зависимости модуля вектора скорости от времени располагаться под осью Ot (т. е. в области отрицательных значений оси скорости)?

Нет, график зависимости модуля вектора скорости от времени не может располагаться под осью $Ot$.

Модуль вектора скорости, также известный как путевая скорость или просто скорость, по своему определению является неотрицательной скалярной величиной. Модуль любого вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$ и представляет собой его длину, которая не может быть отрицательной. Для вектора скорости $\vec{v}$ его модуль $v = |\vec{v}|$ характеризует, насколько быстро движется тело, без учёта направления движения.

Математически, если вектор скорости $\vec{v}$ в декартовой системе координат имеет проекции на оси $(v_x, v_y, v_z)$, то его модуль вычисляется по теореме Пифагора:

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Из этой формулы видно, что подкоренное выражение является суммой квадратов, а значит, оно всегда неотрицательно. Квадратный корень из неотрицательного числа также является неотрицательным. Таким образом, модуль скорости всегда удовлетворяет условию $v \ge 0$.

На графике зависимости модуля скорости от времени $v(t)$ по вертикальной оси откладываются значения модуля скорости $v$, а по горизонтальной — время $t$. Поскольку значения $v$ не могут быть отрицательными, весь график может располагаться только на оси времени $Ot$ (когда $v=0$) или над ней.

Важно отличать график модуля скорости от графика проекции скорости на ось (например, $v_x(t)$). Проекция скорости является скалярной величиной, которая может быть отрицательной, если направление движения тела противоположно положительному направлению выбранной оси. Поэтому график проекции скорости может располагаться как выше, так и ниже оси времени $Ot$.

Ответ: Нет, не может, так как модуль вектора скорости (скорость) по определению является неотрицательной величиной ($v \ge 0$), и, следовательно, его график не может находиться в области отрицательных значений.

4. Постройте графики зависимости проекций векторов скорости от времени для трёх автомобилей, движущихся прямолинейно и равномерно, если два из них едут в одном направлении, а третий — навстречу им. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, второго — 80 км/ч, а третьего — 90 км/ч.

Дано:

Движение трех автомобилей прямолинейное и равномерное.

Скорость первого автомобиля: $v_1 = 60$ км/ч.

Скорость второго автомобиля: $v_2 = 80$ км/ч.

Скорость третьего автомобиля: $v_3 = 90$ км/ч.

Первый и второй автомобили движутся в одном направлении. Третий автомобиль движется им навстречу.

Перевод в систему СИ (м/с):

$v_1 = 60 \text{ км/ч} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3} \text{ м/с} \approx 16,7 \text{ м/с}$

$v_2 = 80 \text{ км/ч} = 80 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{200}{9} \text{ м/с} \approx 22,2 \text{ м/с}$

$v_3 = 90 \text{ км/ч} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$

Найти:

Построить графики зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ для трёх автомобилей.

Решение:

По условию задачи, все три автомобиля движутся равномерно и прямолинейно. Это означает, что их скорости постоянны во времени. График зависимости проекции скорости от времени для равномерного движения представляет собой прямую линию, параллельную оси времени $t$.

Для построения графиков выберем систему отсчета. Направим ось координат $OX$ по направлению движения первого и второго автомобилей. В этом случае их проекции скорости на эту ось будут положительными. Третий автомобиль движется навстречу, то есть в направлении, противоположном оси $OX$, поэтому его проекция скорости будет отрицательной.

Определим проекции скоростей для каждого автомобиля (для удобства построения будем использовать единицы км/ч):

• Проекция скорости первого автомобиля: $v_{1x} = 60$ км/ч.
• Проекция скорости второго автомобиля: $v_{2x} = 80$ км/ч.
• Проекция скорости третьего автомобиля: $v_{3x} = -90$ км/ч.

Теперь можно построить графики в одной системе координат. По оси ординат (вертикальной) откладывается проекция скорости $v_x$ в км/ч, а по оси абсцисс (горизонтальной) — время $t$.

1. График для первого автомобиля (I) — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $v_x = 60$ на оси скоростей.
2. График для второго автомобиля (II) — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $v_x = 80$ на оси скоростей.
3. График для третьего автомобиля (III) — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $v_x = -90$ на оси скоростей.

Таким образом, мы получим три прямые линии, параллельные оси времени $t$: две в верхней полуплоскости (с положительными значениями $v_x$) и одна в нижней (с отрицательным значением $v_x$).

Ответ: Графики зависимости проекции скорости от времени для трех автомобилей представляют собой три горизонтальные прямые, параллельные оси времени $t$. Если направить ось $OX$ по движению первых двух автомобилей, то график для первого автомобиля — прямая на уровне $v_x = 60$ км/ч, для второго — на уровне $v_x = 80$ км/ч, а для третьего — на уровне $v_x = -90$ км/ч.

5. Координата тела, движущегося прямолинейно и равномерно, изменяется по закону х = 6 + 3t (м). Постройте графики зависимости от времени координаты и пути. Сравните полученные графики.

Дано:

Уравнение движения тела: $x = 6 + 3t$ (м)

Движение прямолинейное, равномерное.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Построить график зависимости координаты от времени $x(t)$.

Построить график зависимости пути от времени $s(t)$.

Сравнить полученные графики.

Решение:

Данное уравнение $x(t) = 6 + 3t$ является уравнением прямолинейного равномерного движения. Общий вид такого уравнения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где:

• $x_0$ — начальная координата;
• $v_x$ — проекция скорости на ось X;
• $t$ — время.

Сравнивая общее уравнение с данным, находим параметры движения тела:

Начальная координата: $x_0 = 6$ м.

Проекция скорости на ось X: $v_x = 3$ м/с.

Построение графика зависимости координаты от времени $x(t)$

Зависимость координаты от времени $x(t) = 6 + 3t$ является линейной функцией. Ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

1. При $t = 0$ с, начальная координата $x(0) = 6 + 3 \cdot 0 = 6$ м. Получаем точку с координатами (0; 6).
2. Выберем другой момент времени, например, $t = 2$ с. Координата в этот момент будет $x(2) = 6 + 3 \cdot 2 = 12$ м. Получаем точку с координатами (2; 12).

График $x(t)$ — это луч (так как время $t \ge 0$), выходящий из точки (0; 6) и проходящий через точку (2; 12).

Построение графика зависимости пути от времени $s(t)$

Путь, пройденный телом при прямолинейном равномерном движении, вычисляется по формуле $s = v \cdot t$, где $v$ — модуль скорости.

Так как $v_x = 3$ м/с, то модуль скорости $v = |v_x| = 3$ м/с.

Следовательно, уравнение зависимости пути от времени имеет вид: $s(t) = 3t$.

Эта зависимость также является линейной. Ее график — прямая линия. Найдем координаты двух точек для построения:

1. При $t = 0$ с, пройденный путь $s(0) = 3 \cdot 0 = 0$ м. Получаем точку (0; 0) — начало координат.
2. При $t = 2$ с, пройденный путь $s(2) = 3 \cdot 2 = 6$ м. Получаем точку (2; 6).

График $s(t)$ — это луч, выходящий из начала координат (0; 0) и проходящий через точку (2; 6).

Сравнение полученных графиков

Сравнивая графики зависимостей $x(t)$ и $s(t)$, можно сделать следующие выводы:

• Форма: Оба графика являются прямыми линиями (точнее, лучами, начинающимися при $t=0$), что характерно для равномерного движения.
• Наклон: Угловой коэффициент наклона обеих прямых одинаков и равен 3. Физический смысл углового коэффициента для этих графиков — скорость движения тела, которая составляет $v = 3$ м/с. Одинаковый наклон означает, что графики параллельны друг другу.
• Начальные точки: График координаты $x(t)$ начинается в точке (0; 6), так как тело начало движение из точки с координатой $x_0 = 6$ м. График пути $s(t)$ всегда начинается в начале координат (0; 0), так как в начальный момент времени пройденный путь равен нулю.
• Взаимное расположение: График зависимости координаты $x(t)$ смещен вверх по оси ординат на 6 единиц ($x_0$) по сравнению с графиком зависимости пути $s(t)$.

Ответ: График зависимости координаты от времени $x(t)$ — это прямая линия, описываемая уравнением $x = 6 + 3t$, которая отсекает на оси ординат отрезок, равный начальной координате $x_0=6$ м. График зависимости пути от времени $s(t)$ — это прямая линия, описываемая уравнением $s = 3t$, которая проходит через начало координат. Оба графика параллельны друг другу, так как их наклон равен скорости тела ($v = 3$ м/с). График $x(t)$ смещен относительно графика $s(t)$ вверх на 6 единиц.

Возьмите высокую бутылку (удобна пластиковая бутылка вместимостью 1,5—2 л). Наклейте на неё по всей высоте вертикальную бумажную полоску с сантиметровыми делениями. Бросьте на дно бутылки небольшой кусочек пробки или спички. (Это тело, движение которого вы будете исследовать.) Наполняйте бутылку водой, подставив её под очень тонкую струйку. Определите положение тела через 10, 20, 30 с и т. д. Запишите результаты в таблицу. Постройте график зависимости пути тела от времени. Рассчитайте скорость тела.

Данное задание представляет собой лабораторную работу по исследованию равномерного движения. Поскольку мы не можем провести реальный эксперимент, смоделируем его ход и результаты, предполагая, что вода в бутылку поступает с постоянной скоростью, а сама бутылка имеет одинаковую площадь поперечного сечения по всей высоте. В таких условиях тело (пробка), плавающее на поверхности, будет подниматься с постоянной скоростью.

Запишите результаты в таблицу

Предположим, что в ходе эксперимента мы измеряли положение пробки (пройденный ею путь от дна) каждые 10 секунд и получили следующие данные. Занесем их в таблицу:

Ответ: Результаты измерений положения тела в зависимости от времени занесены в таблицу.

Постройте график зависимости пути тела от времени

Для построения графика на оси абсцисс (горизонтальной) отложим время $t$ в секундах, а на оси ординат (вертикальной) — путь $S$ в сантиметрах. Отметим на координатной плоскости точки из таблицы и соединим их линией.

Из таблицы видно, что за одинаковые промежутки времени (10 с) тело проходит одинаковый путь (5 см). Такое движение называется равномерным. Графиком зависимости пути от времени при равномерном движении является прямая линия, выходящая из начала координат.

Ответ: График зависимости пути от времени представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, что подтверждает равномерный характер движения тела.

Рассчитайте скорость тела

Дано:

На основе данных из таблицы, переведем значения пути в систему СИ (метры):

$t_1 = 10$ с, $S_1 = 5$ см $= 0.05$ м

$t_2 = 20$ с, $S_2 = 10$ см $= 0.10$ м

$t_3 = 30$ с, $S_3 = 15$ см $= 0.15$ м

$t_4 = 40$ с, $S_4 = 20$ см $= 0.20$ м

Найти:

Скорость тела $v$.

Решение:

Скорость при равномерном движении вычисляется по формуле:

$v = \frac{S}{t}$

Для вычисления скорости можно использовать любую пару значений времени и соответствующего ему пути из таблицы (кроме начальной точки $t=0, S=0$). Чтобы убедиться в правильности выводов о равномерном движении, рассчитаем скорость для нескольких точек:

$v_1 = \frac{S_1}{t_1} = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ с}} = 0.5 \text{ см/с}$

$v_2 = \frac{S_2}{t_2} = \frac{10 \text{ см}}{20 \text{ с}} = 0.5 \text{ см/с}$

$v_3 = \frac{S_3}{t_3} = \frac{15 \text{ см}}{30 \text{ с}} = 0.5 \text{ см/с}$

Результаты совпадают, что подтверждает постоянство скорости. Теперь выразим скорость в единицах системы СИ (м/с).

$v = 0.5 \text{ см/с} = 0.5 \cdot 0.01 \text{ м/с} = 0.005 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость тела составляет $0.5$ см/с, что в системе СИ равно $0.005$ м/с.