Страница 27 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что называют средней путевой скоростью; средней скоростью перемещения?

Что называют средней путевой скоростью; средней скоростью перемещения?

Эти два понятия, хотя и связаны со скоростью, описывают разные характеристики движения тела, и важно их различать.

Средняя путевая скорость — это скалярная физическая величина, которая показывает, какой путь в среднем проходило тело за единицу времени. Она определяется как отношение всего пройденного пути $S$ ко всему времени движения $t$.

Формула для расчета средней путевой скорости:

$v_{ср. пут.} = \frac{S}{t}$

Здесь $S$ — это длина траектории, то есть полное расстояние, которое преодолело тело. Средняя путевая скорость не имеет направления и всегда является неотрицательной величиной. Например, если автомобиль проехал 100 км за 2 часа, его средняя путевая скорость составит 50 км/ч, независимо от того, сколько раз он менял направление.

Средняя скорость перемещения (или средняя векторная скорость) — это векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения тела $\Delta\vec{r}$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло.

Формула для расчета средней скорости перемещения:

$\vec{v}_{ср. пер.} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

Вектор перемещения $\Delta\vec{r}$ — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения. Модуль средней скорости перемещения равен $|\vec{v}_{ср. пер.}| = \frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}$. В отличие от пути, модуль перемещения может быть меньше пройденного пути (например, при движении по криволинейной траектории) или даже равен нулю (если тело вернулось в исходную точку). В последнем случае средняя скорость перемещения также будет равна нулю, в то время как средняя путевая скорость будет положительной.

Ответ: Средняя путевая скорость — это скалярная величина, равная отношению всего пройденного пути ко всему времени движения ($v_{ср. пут.} = S/t$). Средняя скорость перемещения — это векторная величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое это перемещение совершено ($\vec{v}_{ср. пер.} = \Delta\vec{r}/\Delta t$).

2. Что называют мгновенной скоростью?

Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории. Это векторная физическая величина, которая характеризует как быстроту движения, так и его направление в конкретный момент.

Формально, мгновенную скорость определяют как предел, к которому стремится средняя скорость перемещения при бесконечно малом промежутке времени $\Delta t$. Математически это выражается через производную радиус-вектора $\vec{r}$ (описывающего положение тела) по времени $t$:

$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$

Ключевые свойства мгновенной скорости:

• Это векторная величина.
• Ее направление всегда касательно к траектории движения в той точке, где находится тело в данный момент времени.
• Ее модуль (величина) $|\vec{v}|$ называется мгновенной путевой скоростью и показывает, насколько быстро тело движется в данный момент. Именно ее показывает спидометр автомобиля.

В отличие от средней скорости, которая описывает движение на некотором отрезке времени, мгновенная скорость дает характеристику движения "здесь и сейчас".

Ответ: Мгновенная скорость — это векторная величина, равная скорости тела в данный момент времени (или в данной точке траектории), определяемая как предел отношения перемещения к промежутку времени, когда этот промежуток стремится к нулю ($\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$).

3. К какому ви...

Вопрос является неполным и обрывается. Из-за этого невозможно дать точный и развернутый ответ. Для полного ответа необходимо знать окончание вопроса.

Ответ: Вопрос представлен в неполном виде, поэтому дать на него ответ не представляется возможным.

2. Что называют мгновенной скоростью?

Что называют мгновенной скоростью?

Мгновенная скорость – это векторная физическая величина, характеризующая движение материальной точки в конкретный момент времени и в конкретной точке траектории. Она показывает, с какой скоростью и в каком направлении двигалось бы тело, если бы его движение с этого момента стало равномерным и прямолинейным.

В отличие от средней скорости, которая рассчитывается для некоторого конечного промежутка времени, мгновенная скорость определяется для бесконечно малого промежутка времени. Чтобы найти мгновенную скорость, нужно рассмотреть среднюю скорость на всё уменьшающихся интервалах времени $\Delta t$. Предел, к которому стремится средняя скорость, когда промежуток времени $\Delta t$ стремится к нулю, и есть мгновенная скорость.

Математически мгновенная скорость $\vec{v}$ определяется как предел отношения малого перемещения $\Delta \vec{r}$ к малому промежутку времени $\Delta t$, за который это перемещение произошло:

$$ \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $$

В курсе математического анализа такой предел называется производной. Таким образом, мгновенная скорость является первой производной от радиус-вектора $\vec{r}$ (который определяет положение тела) по времени $t$:

$$ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} $$

Мгновенная скорость – это векторная величина, то есть она имеет и модуль (численное значение), и направление. Направление вектора мгновенной скорости всегда совпадает с направлением касательной к траектории движения в данной точке. Модуль мгновенной скорости (который часто называют просто "скоростью" или "мгновенной путевой скоростью") показывает, насколько быстро тело движется

3. К какому виду движения — равномерному или неравномерному — относится прямолинейное равноускоренное движение?

Средняя путевая скорость — это скалярная физическая величина, которая определяется как отношение всего пройденного телом пути ко всему времени движения. Она показывает, какой путь в среднем проходило тело за единицу времени на всем участке.

Формула для расчета средней путевой скорости:

$v_{ср.пут.} = \frac{S}{t}$

где $S$ — весь пройденный путь, а $t$ — полное время движения.

Средняя скорость перемещения (или средняя векторная скорость) — это векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения тела к промежутку времени, за который это перемещение произошло.

Формула для расчета средней скорости перемещения:

$\vec{v}_{ср.пер.} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

где $\Delta \vec{r}$ — вектор перемещения (вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела), а $\Delta t$ — промежуток времени. Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения. Модуль средней скорости перемещения не всегда равен средней путевой скорости.

Ответ: Средняя путевая скорость – это отношение всего пройденного пути ко времени движения ($v_{ср.пут.} = S/t$), является скалярной величиной. Средняя скорость перемещения – это отношение вектора перемещения ко времени, за которое оно совершено ($\vec{v}_{ср.пер.} = \Delta \vec{r} / \Delta t$), является векторной величиной.

2. Мгновенной скоростью называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории. Это векторная величина, характеризующая как быстроту, так и направление движения в каждый конкретный момент.

Мгновенная скорость является пределом, к которому стремится средняя скорость перемещения, когда промежуток времени $\Delta t$ стремится к нулю. Математически это первая производная радиус-вектора по времени.

$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории движения в данной точке. Модуль мгновенной скорости — это то, что в быту называют скоростью (например, показания спидометра).

Ответ: Мгновенная скорость – это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории. Она определяется как предел отношения перемещения ко времени при стремлении промежутка времени к нулю.

3. Движение классифицируют как равномерное или неравномерное. Равномерным движением называют движение с постоянной по модулю и направлению скоростью ($\vec{v} = \text{const}$). Неравномерным движением называют движение с изменяющейся скоростью ($\vec{v} \neq \text{const}$), то есть когда меняется либо ее модуль, либо направление, либо и то и другое.

Прямолинейное равноускоренное движение — это движение, при котором тело движется вдоль прямой, а его скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Это означает, что ускорение тела постоянно и не равно нулю ($\vec{a} = \text{const} \neq 0$). Поскольку скорость в таком движении изменяется (увеличивается или уменьшается), оно является частным случаем неравномерного движения.

Ответ: Прямолинейное равноускоренное движение относится к неравномерному движению, так как его скорость изменяется с течением времени.

4. (Вопрос в источнике обрывается. Наиболее вероятно, что он звучит так: "Дайте определение прямолинейного равноускоренного движения".)

Прямолинейным равноускоренным движением называют движение тела (материальной точки) по прямой линии, при котором его ускорение остается постоянным по модулю и направлению ($\vec{a} = \text{const}$).

Это определение означает, что вектор скорости тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же векторную величину. Скорость при таком движении описывается линейной функцией времени: $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$, где $\vec{v}_0$ — начальная скорость, $\vec{a}$ — постоянное ускорение, $t$ — время.

Ответ: Прямолинейное равноускоренное движение — это движение тела вдоль прямой линии с постоянным ускорением.

4. Дайте определение ускорения равноускоренного движения. Какова единица ускорения?

Решение

Прямолинейное равноускоренное движение относится к неравномерному движению. Основным признаком равномерного движения является постоянство скорости ($v = \text{const}$). При равноускоренном движении скорость тела изменяется с течением времени, что и является определением неравномерного движения. Особенность равноускоренного движения заключается в том, что это изменение скорости происходит постоянно, то есть ускорение остается неизменным ($a = \text{const}$).

Ускорение равноускоренного движения — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела и равная отношению изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло. Так как движение равноускоренное, это отношение постоянно. Формула для расчёта ускорения: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t}$, где $a$ — ускорение, $\Delta v = v - v_0$ — изменение скорости ($v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость), а $\Delta t = t$ — промежуток времени.

Единицей измерения ускорения в Международной системе единиц (СИ) является метр на секунду в квадрате (обозначается как $м/с^2$). Физический смысл этой единицы заключается в том, что она показывает, на сколько метров в секунду ($м/с$) изменяется скорость движущегося тела за каждую секунду ($с$).

Ответ: Прямолинейное равноускоренное движение относится к неравномерному движению. Ускорение равноускоренного движения — это векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости тела к промежутку времени, за который это изменение произошло. Единица измерения ускорения в СИ — метр на секунду в квадрате ($м/с^2$).

5. Что такое равноускоренное движение?

Равноускоренное движение — это вид механического движения, при котором тело движется с постоянным по модулю и направлению ускорением. Это означает, что за любые равные промежутки времени скорость тела изменяется на одну и ту же величину. Вектор ускорения при таком движении остаётся неизменным: `$\vec{a} = \text{const}$`.

Ускорение `$\vec{a}$` определяется как отношение изменения скорости `$\Delta\vec{v}$` ко времени `$\Delta t$`, за которое это изменение произошло: `$\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$`. Постоянство ускорения является ключевой характеристикой равноускоренного движения.

Различают два частных случая равноускоренного движения:

• Собственно равноускоренное движение: скорость тела увеличивается. Это происходит, когда векторы скорости `$\vec{v}$` и ускорения `$\vec{a}$` сонаправлены (`$\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{v}$`).
• Равнозамедленное движение: скорость тела уменьшается. Это происходит, когда векторы скорости `$\vec{v}$` и ускорения `$\vec{a}$` направлены в противоположные стороны (`$\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{v}$`).

Равноускоренное движение описывается следующими основными кинематическими уравнениями (для прямолинейного движения вдоль оси OX):

• Зависимость скорости от времени: `$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$`

  где `$v_x(t)$` — проекция скорости в момент времени `$t$`, `$v_{0x}$` — проекция начальной скорости, `$a_x$` — проекция ускорения.

• Зависимость координаты от времени (закон движения): `$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$`

  где `$x(t)$` — координата в момент времени `$t$`, `$x_0$` — начальная координата.

• Зависимость перемещения от времени: `$s_x(t) = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$`

  где `$s_x(t)$` — проекция перемещения за время `$t$`.

• Связь между перемещением и скоростью (при отсутствии времени): `$s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$`

  Эта формула удобна, когда время движения неизвестно.

Примеры равноускоренного движения:

• Свободное падение тел вблизи поверхности Земли (при пренебрежении сопротивлением воздуха). Ускорение равно ускорению свободного падения `$g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$` и направлено вертикально вниз.
• Движение автомобиля, который разгоняется или тормозит с постоянным ускорением по прямой дороге.
• Скольжение тела по наклонной плоскости без трения.

Графики равноускоренного движения:

• График ускорения `$a_x(t)$`: прямая линия, параллельная оси времени, так как `$a_x = \text{const}$`.
• График скорости `$v_x(t)$`: наклонная прямая линия. Тангенс угла наклона этой прямой к оси времени равен ускорению.
• График координаты `$x(t)$` или перемещения `$s_x(t)$`: парабола. Ветви параболы направлены вверх, если `$a_x > 0$`, и вниз, если `$a_x < 0$`.

Ответ: Равноускоренное движение — это движение, при котором вектор ускорения тела остаётся постоянным по величине и направлению (`$\vec{a} = \text{const}$`).

6. Что показывает модуль вектора ускорения?

Равноускоренное движение — это вид механического движения, при котором вектор ускорения тела $\vec{a}$ остаётся неизменным по величине и направлению в течение всего времени движения. Это означает, что $\vec{a} = \text{const}$. Вследствие постоянства ускорения, вектор мгновенной скорости тела $\vec{v}$ изменяется линейно со временем по закону $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$, где $\vec{v}_0$ — начальная скорость. Траекторией такого движения в общем случае является парабола. Если начальная скорость равна нулю или её вектор параллелен вектору ускорения, то траектория представляет собой прямую линию.

Ответ: Равноускоренное движение – это движение, при котором вектор ускорения тела постоянен по модулю и направлению.

6. Вектор ускорения $\vec{a}$ характеризует изменение вектора скорости $\vec{v}$ со временем. Модуль вектора ускорения $|\vec{a}|$ (часто обозначается просто $a$) показывает, насколько быстро изменяется величина (модуль) скорости. Это скалярная величина, которая измеряется в системе СИ в метрах на секунду в квадрате (м/с²). Например, если модуль ускорения тела равен $3 \text{ м/с}^2$, это означает, что за каждую секунду модуль его скорости изменяется на $3 \text{ м/с}$. Важно отметить, что модуль ускорения не всегда совпадает с тангенциальным ускорением, которое отвечает исключительно за изменение величины скорости. Полное ускорение также включает нормальное (центростремительное) ускорение, отвечающее за изменение направления скорости. Однако, в контексте общего вопроса, модуль полного ускорения является общей мерой интенсивности изменения скорости (и как вектора, и как скаляра).

Ответ: Модуль вектора ускорения показывает быстроту изменения скорости тела (как по величине, так и по направлению).

7. Модуль вектора скорости (то есть, скорость как скалярная величина) движущегося тела увеличивается тогда, когда проекция вектора ускорения $\vec{a}$ на направление вектора скорости $\vec{v}$ положительна. Это условие выполняется, если угол $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{v}$ является острым, то есть находится в диапазоне $0 \le \alpha < 90^\circ$. В этом случае говорят, что движение является ускоренным.

• Если $\alpha = 0$, векторы сонаправлены, и скорость растёт максимально быстро (прямолинейное ускоренное движение).
• Если $0 < \alpha < 90^\circ$, скорость растёт, а траектория искривляется (криволинейное ускоренное движение).

Если же угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$), модуль скорости уменьшается (замедленное движение). При $\alpha = 90^\circ$ модуль скорости в данный момент времени не меняется, изменяется только её направление.

Ответ: Модуль вектора скорости увеличивается при условии, что угол между вектором скорости и вектором ускорения является острым ($0 \le \alpha < 90^\circ$).

7. При каком условии модуль вектора скорости движущегося тела увеличивается; уменьшается?

При каком условии модуль вектора скорости движущегося тела увеличивается

Модуль вектора скорости (т.е. скорость по величине) увеличивается, когда проекция вектора ускорения $\vec{a}$ на направление вектора скорости $\vec{v}$ положительна. Это означает, что вектор ускорения направлен "вперед" относительно направления движения, сообщая телу дополнительную скорость. Математически это условие выполняется, когда угол $\alpha$ между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором ускорения $\vec{a}$ является острым.

Диапазон углов: $0 \le \alpha < 90^{\circ}$.

В этом случае скалярное произведение векторов скорости и ускорения положительно: $\vec{v} \cdot \vec{a} > 0$.

Ответ: Модуль вектора скорости увеличивается, если угол между вектором скорости и вектором ускорения острый ($0 \le \alpha < 90^{\circ}$).

При каком условии модуль вектора скорости движущегося тела уменьшается

Модуль вектора скорости уменьшается, когда проекция вектора ускорения $\vec{a}$ на направление вектора скорости $\vec{v}$ отрицательна. Это означает, что вектор ускорения направлен "назад" относительно направления движения, создавая тормозящий эффект. Математически это условие выполняется, когда угол $\alpha$ между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором ускорения $\vec{a}$ является тупым.

Диапазон углов: $90^{\circ} < \alpha \le 180^{\circ}$.

В этом случае скалярное произведение векторов скорости и ускорения отрицательно: $\vec{v} \cdot \vec{a} < 0$.

Ответ: Модуль вектора скорости уменьшается, если угол между вектором скорости и вектором ускорения тупой ($90^{\circ} < \alpha \le 180^{\circ}$).

Дополнительное замечание: Если угол $\alpha = 90^{\circ}$, то проекция ускорения на направление скорости равна нулю. В этом случае модуль скорости не изменяется, а ускорение (называемое нормальным или центростремительным) меняет только направление вектора скорости, заставляя тело двигаться по криволинейной траектории.

Что вы можете сказать о движении тела, если модуль средней скорости перемещения оказался равен: а) средней путевой скорости; б) начальной скорости?

а) Модуль средней скорости перемещения $|\vec{v}_{ср.пер.}|$ определяется как отношение модуля вектора перемещения $|\Delta\vec{r}|$ (расстояния между начальной и конечной точками) ко времени движения $\Delta t$: $|\vec{v}_{ср.пер.}| = \frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}$. Средняя путевая скорость $v_{ср.пут.}$ — это отношение всего пройденного пути $L$ (длины траектории) ко времени движения $\Delta t$: $v_{ср.пут.} = \frac{L}{\Delta t}$.

Из условия равенства $|\vec{v}_{ср.пер.}| = v_{ср.пут.}$ следует, что $\frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t} = \frac{L}{\Delta t}$, что эквивалентно равенству $|\Delta\vec{r}| = L$.

Модуль перемещения равен пройденному пути только в том случае, когда траектория движения является прямой линией, и тело движется вдоль этой прямой, не меняя направления.

Ответ: Тело движется прямолинейно и в одном направлении.

б) По условию, модуль средней скорости перемещения равен начальной скорости $v_0$: $|\vec{v}_{ср.пер.}| = v_0$.

Используя определение модуля средней скорости перемещения $|\vec{v}_{ср.пер.}| = \frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}$, получаем: $\frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t} = v_0$, откуда модуль перемещения равен $|\Delta\vec{r}| = v_0 \Delta t$.

Рассмотрим общий случай прямолинейного равноускоренного движения. Перемещение тела за время $\Delta t$ описывается формулой: $\Delta r = v_0 \Delta t + \frac{a (\Delta t)^2}{2}$.

Чтобы выполнялось условие $|\Delta r| = v_0 \Delta t$, необходимо, чтобы слагаемое, содержащее ускорение, было равно нулю: $\frac{a (\Delta t)^2}{2} = 0$. Так как время движения $\Delta t \ne 0$, это возможно только при условии, что ускорение $a = 0$.

Если ускорение равно нулю, то скорость тела не изменяется со временем и всегда равна начальной скорости ($\vec{v} = \vec{v}_0 = \text{const}$). Такое движение является равномерным и прямолинейным.

Ответ: Тело движется равномерно и прямолинейно.

1. Тело за 2 с прошло 2 м в положительном направлении оси X, а затем за 3 с — 1 м в противоположном направлении. Определите среднюю путевую скорость и модуль средней скорости перемещения за промежуток времени: а) 2 с; б) 5 с.

Дано:

Первый участок движения:

Время $t_1 = 2$ с

Пройденный путь $S_1 = 2$ м

Проекция перемещения на ось X: $\Delta x_1 = +2$ м

Второй участок движения:

Время $t_2 = 3$ с

Пройденный путь $S_2 = 1$ м

Проекция перемещения на ось X: $\Delta x_2 = -1$ м

Рассматриваемые промежутки времени:

$t_a = 2$ с

$t_b = 5$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) среднюю путевую скорость $v_{пут, a}$ и модуль средней скорости перемещения $|v_{ср, a}|$ за время $t_a$.

б) среднюю путевую скорость $v_{пут, b}$ и модуль средней скорости перемещения $|v_{ср, b}|$ за время $t_b$.

Решение:

Средняя путевая скорость — это скалярная величина, равная отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени: $v_{пут} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Средняя скорость перемещения — это векторная величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое это перемещение совершено: $\vec{v}_{ср} = \frac{\Delta \vec{r}}{t_{общ}}$. Модуль средней скорости перемещения равен $|v_{ср}| = \frac{|\Delta \vec{r}|}{t_{общ}}$.

Поскольку движение происходит вдоль оси X, вектор перемещения $\Delta \vec{r}$ можно заменить его проекцией на эту ось $\Delta x$.

а) 2 с

За промежуток времени $t_a = 2$ с рассматривается только первый участок движения.

Пройденный путь за это время равен $S_{общ, a} = S_1 = 2$ м.

Средняя путевая скорость: $v_{пут, a} = \frac{S_{общ, a}}{t_a} = \frac{2 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 1$ м/с.

Перемещение за это время равно $\Delta x_{общ, a} = \Delta x_1 = 2$ м.

Модуль средней скорости перемещения: $|v_{ср, a}| = \frac{|\Delta x_{общ, a}|}{t_a} = \frac{|2 \text{ м}|}{2 \text{ с}} = 1$ м/с.

Ответ: средняя путевая скорость 1 м/с, модуль средней скорости перемещения 1 м/с.

б) 5 с

За промежуток времени $t_b = 5$ с рассматривается всё движение тела (оба участка).

Общее время движения: $t_{общ, b} = t_1 + t_2 = 2 \text{ с} + 3 \text{ с} = 5$ с.

Общий пройденный путь — это сумма длин обоих участков, так как путь является скалярной величиной и всегда положителен: $S_{общ, b} = S_1 + S_2 = 2 \text{ м} + 1 \text{ м} = 3$ м.

Средняя путевая скорость: $v_{пут, b} = \frac{S_{общ, b}}{t_{общ, b}} = \frac{3 \text{ м}}{5 \text{ с}} = 0,6$ м/с.

Общее перемещение — это сумма проекций перемещений на каждом участке: $\Delta x_{общ, b} = \Delta x_1 + \Delta x_2 = 2 \text{ м} + (-1 \text{ м}) = 1$ м.

Модуль средней скорости перемещения: $|v_{ср, b}| = \frac{|\Delta x_{общ, b}|}{t_{общ, b}} = \frac{|1 \text{ м}|}{5 \text{ с}} = 0,2$ м/с.

Ответ: средняя путевая скорость 0,6 м/с, модуль средней скорости перемещения 0,2 м/с.

2. За один и тот же промежуток времени t модуль вектора скорости первого автомобиля изменился от v₁ до v', а второго — от v₂ до v' (векторы скорости изображены в одинаковом масштабе на рисунке 14). Какой из автомобилей двигался в указанный промежуток с большим ускорением?

Дано:

Промежуток времени для обоих автомобилей: $t$

Начальная скорость первого автомобиля: $\vec{v}_1$

Конечная скорость первого автомобиля: $\vec{v}'$

Начальная скорость второго автомобиля: $\vec{v}_2$

Конечная скорость второго автомобиля: $\vec{v}'$

Векторы скоростей изображены на рисунке в одинаковом масштабе.

Найти:

Какой из автомобилей двигался с большим ускорением? (Сравнить модули ускорений $a_1$ и $a_2$).

Решение:

Ускорение является векторной физической величиной, которая характеризует быстроту изменения скорости тела. Среднее ускорение $\vec{a}$ за промежуток времени $t$ определяется по формуле: $$ \vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{t} = \frac{\vec{v}_{конечная} - \vec{v}_{начальная}}{t} $$ Так как по условию задачи промежуток времени $t$ для обоих автомобилей одинаков, то модуль ускорения будет больше у того автомобиля, у которого больше модуль изменения скорости $|\Delta\vec{v}|$.

Для нахождения модулей изменения скорости проанализируем рисунок. Поскольку все векторы скоростей направлены в одну сторону (движение прямолинейное), мы можем работать с их модулями (проекциями на ось движения). Введем условную единицу скорости $u$, равную длине одного деления на шкале.

Для первого автомобиля модуль начальной скорости (вектор $\vec{v}_1$) равен 2 делениям, то есть $v_1 = 2u$. Модуль конечной скорости (вектор $\vec{v}'$) равен 5 делениям, то есть $v' = 5u$. Тогда модуль изменения скорости для первого автомобиля равен: $$ |\Delta v_1| = v' - v_1 = 5u - 2u = 3u $$ Следовательно, модуль его ускорения: $$ a_1 = \frac{|\Delta v_1|}{t} = \frac{3u}{t} $$

Для второго автомобиля модуль начальной скорости (вектор $\vec{v}_2$) равен 4 делениям, то есть $v_2 = 4u$. Модуль конечной скорости (вектор $\vec{v}'$) такой же и равен 5 делениям, $v' = 5u$. Тогда модуль изменения скорости для второго автомобиля равен: $$ |\Delta v_2| = v' - v_2 = 5u - 4u = 1u = u $$ Следовательно, модуль его ускорения: $$ a_2 = \frac{|\Delta v_2|}{t} = \frac{u}{t} $$

Теперь сравним полученные модули ускорений $a_1$ и $a_2$: $$ a_1 = \frac{3u}{t} \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{u}{t} $$ Поскольку $3u > u$, то и $\frac{3u}{t} > \frac{u}{t}$, а значит $a_1 > a_2$.

Ответ: первый автомобиль двигался с большим ускорением. Это следует из того, что за один и тот же промежуток времени модуль его скорости увеличился на большую величину ($3u$) по сравнению со вторым автомобилем ($u$).

3. Самолёт, разгоняясь перед взлётом, в течение некоторого промежутка времени двигался равноускоренно. Каково было при этом ускорение самолёта, если за 30 с его скорость возросла от 10 до 55 м/с?

Дано:

Промежуток времени, $t = 30 \text{ с}$

Начальная скорость, $v_0 = 10 \text{ м/с}$

Конечная скорость, $v = 55 \text{ м/с}$

Найти:

Ускорение, $a$

Решение:

Согласно условию, самолёт двигался равноускоренно. Ускорение при равноускоренном движении – это физическая величина, равная отношению изменения скорости тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Формула для нахождения ускорения имеет вид:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t}$

Где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $t$ — промежуток времени.

Подставим данные из условия задачи в эту формулу:

$a = \frac{55 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{30 \text{ с}}$

Выполним вычисления:

$a = \frac{45 \text{ м/с}}{30 \text{ с}} = 1.5 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение самолёта было равно $1.5 \text{ м/с}^2$.

4. С каким ускорением двигался поезд на некотором участке пути, если за 12 с его скорость возросла на 6 м/с?

Дано:

Промежуток времени, $t = 12 \text{ с}$

Изменение скорости, $\Delta v = 6 \text{ м/с}$

Найти:

Ускорение, $a$

Решение:

Ускорение — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела. При прямолинейном равноускоренном движении ускорение постоянно и вычисляется по формуле:

$a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v - v_0}{t}$

где $a$ — ускорение, $\Delta v$ — изменение скорости ($v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость), а $t$ — промежуток времени, за который это изменение произошло.

В условии задачи уже дано изменение скорости $\Delta v = 6 \text{ м/с}$ за промежуток времени $t = 12 \text{ с}$. Подставим эти значения в формулу:

$a = \frac{6 \text{ м/с}}{12 \text{ с}} = 0,5 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение поезда составляло $0,5 \text{ м/с}^2$.

5. Тело, имеющее начальную скорость 20 м/с, движется с постоянным ускорением и останавливается через 10 с после начала движения. Чему равно ускорение тела?

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 20$ м/с

Конечная скорость $v = 0$ м/с (тело останавливается)

Время движения $t = 10$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Ускорение тела $a$

Решение:

По условию задачи, тело движется с постоянным ускорением, то есть равноускоренно. Связь между начальной скоростью, конечной скоростью, ускорением и временем при таком движении описывается формулой:

$v = v_0 + at$

где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение, а $t$ — время движения.

Чтобы найти ускорение $a$, выразим его из этой формулы:

$at = v - v_0$

$a = \frac{v - v_0}{t}$

Подставим известные значения в полученное выражение:

$a = \frac{0 \text{ м/с} - 20 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = \frac{-20}{10} \text{ м/с}^2 = -2 \text{ м/с}^2$

Отрицательное значение ускорения указывает на то, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору начальной скорости. Это означает, что тело замедлялось (тормозило).

Ответ: ускорение тела равно $-2 \text{ м/с}^2$.

6. Шайба после удара клюшкой движется с начальной скоростью 10 м/с по льду. Лёд уже не гладкий, и шайба тормозит с ускорением 2 м/с². Через какое время после удара шайба остановится?

Дано:

Начальная скорость ($v_0$) = 10 м/с

Ускорение ($a$) = 2 м/с² (ускорение отрицательное, так как это торможение)

Конечная скорость ($v$) = 0 м/с (шайба останавливается)

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Время движения до остановки ($t$)

Решение:

Данная задача описывает прямолинейное равнозамедленное движение. Для нахождения времени, через которое шайба остановится, можно использовать основную кинематическую формулу для скорости:

$v = v_0 + at$

где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение, $t$ — время.

Примем направление движения шайбы за положительное направление оси координат. В этом случае начальная скорость будет положительной: $v_0 = 10$ м/с. Поскольку шайба тормозит, ее ускорение направлено в противоположную сторону, значит, его значение будет отрицательным: $a = -2$ м/с². Конечная скорость шайбы равна нулю, так как по условию она останавливается: $v = 0$ м/с.

Подставим известные значения в формулу:

$0 = 10 + (-2) \cdot t$

Теперь решим полученное уравнение относительно времени $t$:

$0 = 10 - 2t$

Перенесем член с неизвестной в левую часть уравнения:

$2t = 10$

Найдем время, разделив обе части на 2:

$t = \frac{10}{2}$

$t = 5$ c

Ответ: шайба остановится через 5 с.

7*¹. Средняя путевая скорость автомобиля на первой половине пути равна 60 км/ч, а на второй половине пути — 40 км/ч. Определите среднюю путевую скорость на всём пути.

Дано:

$v_1 = 60 \text{ км/ч} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 16,67 \text{ м/с}$

$v_2 = 40 \text{ км/ч} = 40 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 11,11 \text{ м/с}$

Первая половина пути: $S_1 = S/2$

Вторая половина пути: $S_2 = S/2$

Найти:

$v_{ср}$ - ?

Решение:

Средняя путевая скорость $v_{ср}$ вычисляется по формуле как отношение всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему времени движения $t_{общ}$:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Обозначим весь путь, пройденный автомобилем, как $S$. Согласно условию, путь разделен на две равные части. Таким образом, $S_1 = S_2 = \frac{S}{2}$.

Общий пройденный путь равен $S_{общ} = S_1 + S_2 = \frac{S}{2} + \frac{S}{2} = S$.

Время, затраченное на прохождение первой половины пути, равно:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

Время, затраченное на прохождение второй половины пути, равно:

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$

Общее время движения равно сумме времени на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}}$

Можно вынести $S$ за скобки в знаменателе и сократить:

$v_{ср} = \frac{S}{S(\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2})} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{v_2 + v_1}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 60 \text{ км/ч} \cdot 40 \text{ км/ч}}{60 \text{ км/ч} + 40 \text{ км/ч}} = \frac{2 \cdot 2400 \text{ (км/ч)}^2}{100 \text{ км/ч}} = \frac{4800}{100} \text{ км/ч} = 48 \text{ км/ч}$

Ответ: $48 \text{ км/ч}$.