Страница 33 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Пользуясь рисунком 20, а, докажите, что проекция вектора перемещения при прямолинейном равноускоренном движении численно равна площади фигуры ОАСВ.

Рассмотрим график зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ для прямолинейного равноускоренного движения. При таком движении ускорение постоянно ($a_x = \text{const}$), поэтому зависимость скорости от времени является линейной: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$, где $v_{0x}$ — проекция начальной скорости. Графиком этой функции в осях $v_x(t)$ является прямая линия.

Фигура OACB, упомянутая в задаче, представляет собой площадь под графиком скорости в интервале времени от $t=0$ до некоторого момента времени $t$. Эта фигура является трапецией. Основаниями этой трапеции служат отрезки, параллельные оси скорости, соответствующие начальной скорости $v_{0x}$ (при $t=0$) и конечной скорости $v_x$ (при $t$). Высотой трапеции является промежуток времени $t$.

Площадь этой трапеции $S$ вычисляется по формуле как произведение полусуммы оснований на высоту:

$S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$

Теперь получим формулу для проекции перемещения $s_x$ при прямолинейном равноускоренном движении. По определению, перемещение равно произведению средней скорости на время движения:

$s_x = \langle v_x \rangle \cdot t$

Для равноускоренного движения средняя скорость за промежуток времени $t$ равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей:

$\langle v_x \rangle = \frac{v_{0x} + v_x}{2}$

Подставив выражение для средней скорости в формулу для перемещения, получаем:

$s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$

Сравнивая полученное выражение для проекции перемещения $s_x$ с выражением для площади трапеции $S$, мы видим, что они идентичны. Следовательно, проекция вектора перемещения при прямолинейном равноускоренном движении численно равна площади фигуры под графиком зависимости проекции скорости от времени.

Ответ: Доказательство основано на сравнении формулы для площади трапеции под графиком $v_x(t)$, $S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} t$, и формулы для проекции перемещения при равноускоренном движении, $s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} t$. Поскольку правые части формул совпадают, $s_x$ численно равна $S$.

2. Основными уравнениями, позволяющими определить кинематические величины (скорость, перемещение, координату) тела при прямолинейном равноускоренном движении, являются:

1. Уравнение зависимости проекции скорости от времени. Оно позволяет определить проекцию мгновенной скорости $v_x$ в любой момент времени $t$:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

2. Уравнение зависимости проекции перемещения от времени. Оно позволяет определить проекцию вектора перемещения $s_x$ за промежуток времени $t$:

$s_x(t) = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$

3. Уравнение движения, или закон изменения координаты тела со временем. Оно позволяет определить координату тела $x$ в любой момент времени $t$, зная его начальную координату $x_0$:

$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$

Эти уравнения являются фундаментальными для описания прямолинейного равноускоренного движения.

Ответ: Уравнения для определения кинематических величин при прямолинейном равноускоренном движении:

Зависимость проекции скорости от времени: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Зависимость проекции перемещения от времени: $s_x(t) = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$

Зависимость координаты от времени (уравнение движения): $x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$

2. Запишите уравнения для определения проекции вектора перемещения и координаты тела при его прямолинейном равноускоренном движении.

Решение

Прямолинейным равноускоренным движением называют движение тела вдоль прямой линии, при котором его ускорение остается постоянным по величине и направлению ($\vec{a} = \text{const}$). Для описания такого движения обычно выбирают систему отсчета, одна из осей которой (например, ось Ox) совпадает с прямой, по которой движется тело. В этом случае кинематические величины (перемещение, скорость, ускорение) рассматриваются в виде их проекций на эту ось.

Уравнения для определения проекции вектора перемещения

Проекция вектора перемещения $s_x$ на ось Ox показывает, насколько изменилась координата тела за время движения. Существует несколько основных уравнений для ее вычисления.

1. Если известны проекция начальной скорости $v_{0x}$, проекция ускорения $a_x$ и время движения $t$, то проекция перемещения находится по формуле:

$s_x(t) = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Это уравнение показывает зависимость перемещения от времени.

2. Если время движения $t$ неизвестно, но известны проекции начальной $v_{0x}$ и конечной $v_x$ скоростей, а также проекция ускорения $a_x$, используется формула, не содержащая времени:

$s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$

Ответ: $s_x(t) = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$; $s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$.

Уравнение для определения координаты тела

Координата тела $x$ в любой момент времени $t$ определяет его положение на координатной оси. Она равна сумме начальной координаты $x_0$ (положение тела в момент времени $t=0$) и проекции перемещения $s_x$, совершенного за время $t$.

$x(t) = x_0 + s_x(t)$

Подставив в это общее выражение формулу для проекции перемещения как функции времени, мы получаем закон движения (или уравнение координаты) для прямолинейного равноускоренного движения:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Это уравнение позволяет найти положение тела в любой момент времени, зная его начальные условия ($x_0$, $v_{0x}$) и ускорение ($a_x$).

Ответ: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

1. Велосипедист съехал с горки за 5 с, двигаясь с постоянным ускорением 0,5 м/с². Определите длину горки, если в начале спуска скорость велосипедиста была равна 18 км/ч.

Дано:

Время спуска, $t = 5$ с

Ускорение, $a = 0,5$ м/с²

Начальная скорость, $v_0 = 18$ км/ч

$v_0 = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

Найти:

Длина горки, $s$ - ?

Решение:

Движение велосипедиста с горы является равноускоренным, так как по условию задачи он движется с постоянным ускорением. Для определения длины горки, которая равна пройденному пути $s$, воспользуемся формулой пути при равноускоренном прямолинейном движении:

$s = v_0 t + \frac{a t^2}{2}$

Все величины даны в условии или переведены в систему СИ. Подставим числовые значения в формулу:

$s = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 5 \text{ с} + \frac{0,5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (5 \text{ с})^2}{2}$

Выполним последовательно вычисления:

$s = 25 \text{ м} + \frac{0,5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 25 \text{ с}^2}{2} = 25 \text{ м} + \frac{12,5 \text{ м}}{2} = 25 \text{ м} + 6,25 \text{ м} = 31,25 \text{ м}$

Ответ: 31,25 м.

2. Поезд, идущий со скоростью 15 м/с, остановился через 20 с после начала торможения. Считая, что торможение происходило с постоянным ускорением, определите перемещение поезда за 20 с.

Дано:

Начальная скорость поезда $v_0 = 15$ м/с

Конечная скорость поезда $v = 0$ м/с

Время торможения $t = 20$ с

Найти:

Перемещение поезда $S$

Решение:

По условию задачи, торможение поезда происходило с постоянным ускорением. Это означает, что движение является равнозамедленным. Для нахождения перемещения тела при равноускоренном (или равнозамедленном) движении можно воспользоваться формулой, которая связывает перемещение со средней скоростью и временем:

$S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

где $S$ — перемещение, $v_0$ — начальная скорость, $v$ — конечная скорость, а $t$ — время движения.

Подставим данные из условия задачи в эту формулу:

$S = \frac{15 \text{ м/с} + 0 \text{ м/с}}{2} \cdot 20 \text{ с}$

Выполним вычисления:

$S = \frac{15}{2} \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 7,5 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 150 \text{ м}$

Таким образом, перемещение поезда за 20 секунд торможения составило 150 метров.

Ответ: перемещение поезда за 20 с равно 150 м.