Страница 36 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. По каким формулам рассчитываются проекция и модуль вектора перемещения тела при его равноускоренном движении из состояния покоя?

Равноускоренное движение — это движение с постоянным по модулю и направлению вектором ускорения $\vec{a}$. Вектор перемещения $\vec{s}$ для такого движения в общем случае находится по формуле:

$\vec{s} = \vec{v}_0 t + \frac{\vec{a} t^2}{2}$

где $\vec{v}_0$ — начальная скорость, а $t$ — время движения.

Условие "движение из состояния покоя" означает, что начальная скорость тела равна нулю: $\vec{v}_0 = 0$. Подставив это значение в общую формулу, мы получим формулу для вектора перемещения в данном конкретном случае:

$\vec{s} = \frac{\vec{a} t^2}{2}$

Проекция вектора перемещения.

Чтобы найти проекцию вектора перемещения на координатную ось, например, ось OX, необходимо спроецировать на нее полученное векторное уравнение. Формула для проекции перемещения $s_x$ будет выглядеть так:

$s_x = \frac{a_x t^2}{2}$

где $a_x$ — это проекция вектора ускорения $\vec{a}$ на ось OX.

Модуль вектора перемещения.

Модуль вектора перемещения $s$ (обозначается как $|\vec{s}|$) — это его длина. Поскольку движение начинается из состояния покоя, оно является прямолинейным, и направление перемещения совпадает с направлением ускорения. В этом случае модуль перемещения равен пройденному пути и вычисляется по формуле:

$s = \frac{a t^2}{2}$

где $a$ — это модуль вектора ускорения, то есть $a = |\vec{a}|$.

Ответ: Проекция вектора перемещения рассчитывается по формуле $s_x = \frac{a_x t^2}{2}$, а модуль вектора перемещения — по формуле $s = \frac{a t^2}{2}$.

2. Поскольку вторая часть вопроса на изображении обрезана, предположим, что она звучит следующим образом: «Во сколько раз увеличится модуль вектора перемещения тела при увеличении времени его движения в n раз?»

Дано:

Движение равноускоренное, из состояния покоя

$v_0 = 0$

$a = \text{const}$

$t_1$ — начальный промежуток времени

$s_1$ — модуль перемещения за время $t_1$

$t_2 = n \cdot t_1$ — новый промежуток времени

$s_2$ — модуль перемещения за время $t_2$

Найти:

Отношение модулей перемещения $\frac{s_2}{s_1}$.

Решение:

Как было установлено в ответе на первый вопрос, модуль вектора перемещения при равноускоренном движении из состояния покоя вычисляется по формуле:

$s = \frac{at^2}{2}$

Запишем это выражение для перемещений $s_1$ и $s_2$ за соответствующие промежутки времени $t_1$ и $t_2$:

$s_1 = \frac{at_1^2}{2}$

$s_2 = \frac{at_2^2}{2}$

Теперь подставим в выражение для $s_2$ зависимость $t_2$ от $t_1$ из условия ($t_2 = n \cdot t_1$):

$s_2 = \frac{a(n \cdot t_1)^2}{2} = \frac{a \cdot n^2 \cdot t_1^2}{2}$

Чтобы определить, во сколько раз увеличился модуль перемещения, найдем отношение $s_2$ к $s_1$:

$\frac{s_2}{s_1} = \frac{\frac{a n^2 t_1^2}{2}}{\frac{a t_1^2}{2}}$

Сократив общие множители ($a$, $t_1^2$ и $2$) в числителе и знаменателе дроби, получим:

$\frac{s_2}{s_1} = n^2$

Результат показывает, что модуль перемещения находится в квадратичной зависимости от времени.

Ответ: При увеличении времени движения в n раз, модуль вектора перемещения увеличится в $n^2$ раз.

2. Во сколько раз увеличится модуль вектора перемещения тела при увеличении времени его движения из состояния покоя в n раз?

Дано:

Начальная скорость тела $v_0 = 0$ (движение из состояния покоя).

Движение равноускоренное, ускорение $a = \text{const}$.

Начальное время движения $t_1$.

Конечное время движения $t_2 = n \cdot t_1$.

Найти:

Отношение модулей векторов перемещения $\frac{s_2}{s_1}$.

Решение:

Модуль вектора перемещения тела при равноускоренном прямолинейном движении определяется по формуле:

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Так как тело начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$. Формула упрощается:

$s = \frac{at^2}{2}$

Запишем выражения для модуля перемещения в двух случаях.

1. В начальный момент времени $t_1$ модуль перемещения равен:

$s_1 = \frac{at_1^2}{2}$

2. В конечный момент времени $t_2$, который в $n$ раз больше начального ($t_2 = n t_1$), модуль перемещения равен:

$s_2 = \frac{at_2^2}{2} = \frac{a(n t_1)^2}{2} = \frac{a n^2 t_1^2}{2}$

Теперь найдем, во сколько раз увеличился модуль перемещения, для этого найдем отношение $s_2$ к $s_1$:

$\frac{s_2}{s_1} = \frac{\frac{a n^2 t_1^2}{2}}{\frac{a t_1^2}{2}}$

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе ($\frac{a t_1^2}{2}$), получим:

$\frac{s_2}{s_1} = n^2$

Таким образом, при увеличении времени движения в $n$ раз, модуль вектора перемещения увеличивается в $n^2$ раз.

Ответ: модуль вектора перемещения тела увеличится в $n^2$ раз.

3. Запишите, как относятся друг к другу модули векторов перемещений тела, движущегося равноускоренно из состояния покоя, при увеличении времени его движения в целое число раз по сравнению с t₁.

Дано:

Движение равноускоренное, $a = \text{const}$

Начальная скорость, $v_0 = 0$ (из состояния покоя)

Начальное время движения, $t_1$

Новое время движения, $t_2 = n \cdot t_1$, где $n$ - целое число ($n \in \mathbb{Z}, n \ge 1$)

Модуль перемещения за время $t_1$ - $s_1$

Модуль перемещения за время $t_2$ - $s_2$

Найти:

Отношение модулей векторов перемещений $\frac{s_2}{s_1}$

Решение:

Модуль вектора перемещения тела при равноускоренном движении определяется по формуле: $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку тело начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$. Формула для модуля перемещения упрощается до: $s = \frac{at^2}{2}$

Запишем выражение для модуля перемещения $s_1$ за время $t_1$: $s_1 = \frac{at_1^2}{2}$

Теперь запишем выражение для модуля перемещения $s_2$ за время $t_2 = n \cdot t_1$: $s_2 = \frac{a t_2^2}{2} = \frac{a (n \cdot t_1)^2}{2} = \frac{a n^2 t_1^2}{2}$

Чтобы найти, как соотносятся перемещения, найдем их отношение $\frac{s_2}{s_1}$: $\frac{s_2}{s_1} = \frac{\frac{a n^2 t_1^2}{2}}{\frac{at_1^2}{2}}$

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем: $\frac{s_2}{s_1} = n^2$

Из этого соотношения следует, что $s_2 = n^2 \cdot s_1$. Таким образом, при увеличении времени движения в $n$ раз, модуль вектора перемещения тела, движущегося равноускоренно из состояния покоя, увеличивается в $n^2$ раз.

Ответ: Модули векторов перемещений относятся как квадрат целого числа, показывающего, во сколько раз увеличилось время движения. Если время увеличилось в $n$ раз, то модуль перемещения увеличился в $n^2$ раз. Отношение нового модуля перемещения к исходному равно $n^2$.

4. Запишите, как относятся друг к другу модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени, если это тело движется равноускоренно из состояния покоя.

Дано:

Движение тела — равноускоренное, прямолинейное.

Начальная скорость — $v_0 = 0$ м/с.

Рассматриваются последовательные равные промежутки времени, обозначим их $\Delta t$.

Найти:

Отношение модулей перемещений $\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots$ за эти промежутки времени.

Решение:

Перемещение тела при равноускоренном движении из состояния покоя определяется формулой, связывающей перемещение $s$ со временем $t$ и ускорением $a$:

$s(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку тело начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), формула упрощается:

$s(t) = \frac{at^2}{2}$

Эта формула описывает полное перемещение от начального момента времени $t=0$ до момента $t$.

Чтобы найти перемещение за конкретный промежуток времени, нужно найти разность перемещений в конце и в начале этого промежутка.

1. Перемещение за первый промежуток времени (от $t=0$ до $t=\Delta t$):

$\Delta s_1 = s(\Delta t) - s(0) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} - 0 = \frac{a(\Delta t)^2}{2}$.

2. Перемещение за второй промежуток времени (от $t=\Delta t$ до $t=2\Delta t$):

$\Delta s_2 = s(2\Delta t) - s(\Delta t) = \frac{a(2\Delta t)^2}{2} - \frac{a(\Delta t)^2}{2} = \frac{a}{2}(4(\Delta t)^2 - (\Delta t)^2) = 3 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$.

3. Перемещение за третий промежуток времени (от $t=2\Delta t$ до $t=3\Delta t$):

$\Delta s_3 = s(3\Delta t) - s(2\Delta t) = \frac{a(3\Delta t)^2}{2} - \frac{a(2\Delta t)^2}{2} = \frac{a}{2}(9(\Delta t)^2 - 4(\Delta t)^2) = 5 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$.

4. В общем виде, перемещение за n-й промежуток времени (от $t=(n-1)\Delta t$ до $t=n\Delta t$):

$\Delta s_n = s(n\Delta t) - s((n-1)\Delta t) = \frac{a(n\Delta t)^2}{2} - \frac{a((n-1)\Delta t)^2}{2}$

$\Delta s_n = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (n^2 - (n-1)^2) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = (2n - 1) \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$.

Из полученных выражений видно, что $\Delta s_2 = 3\Delta s_1$, $\Delta s_3 = 5\Delta s_1$, и в общем случае $\Delta s_n = (2n-1)\Delta s_1$.

Найдем отношение модулей перемещений:

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots : \Delta s_n = \frac{a(\Delta t)^2}{2} : 3\frac{a(\Delta t)^2}{2} : 5\frac{a(\Delta t)^2}{2} : \dots : (2n-1)\frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Сократив на общий множитель $\frac{a(\Delta t)^2}{2}$, получаем:

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Ответ: Модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени при равноускоренном движении из состояния покоя, относятся друг к другу как ряд последовательных нечетных чисел: $1 : 3 : 5 : 7 : \dots$.

5. Данная закономерность, известная как закон нечетных чисел Галилея, может быть использована для нескольких целей:

1. Для экспериментальной проверки характера движения. Если измерения показывают, что пути, пройденные телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как $1:3:5:\dots$, то можно сделать вывод, что тело движется равноускоренно и начало движение из состояния покоя. Исторически этот метод использовался Галилео Галилеем для изучения свободного падения тел.

2. Для определения ускорения тела. Измерив перемещение за первый промежуток времени $\Delta s_1$ и зная длительность этого промежутка $\Delta t$, можно вычислить ускорение по формуле $a = \frac{2\Delta s_1}{(\Delta t)^2}$.

3. Для упрощения расчетов и предсказания движения. Зная перемещение за один из промежутков, можно легко найти перемещения за любые другие промежутки, не вычисляя ускорение. Например, если известно, что за первую секунду тело прошло 2 метра, то за вторую секунду оно пройдет $3 \times 2 = 6$ метров, за третью — $5 \times 2 = 10$ метров и так далее.

Ответ: Эту закономерность можно использовать для экспериментального определения характера движения (является ли оно равноускоренным с нулевой начальной скоростью), для вычисления ускорения тела, а также для упрощенного расчета и прогнозирования перемещений тела на последующих этапах движения.

5. С какой целью можно использовать закономерности (1) и (2)?

Закономерности (1) и (2), о которых идет речь, описывают равноускоренное движение тела, начинающееся из состояния покоя (с нулевой начальной скоростью). Их можно использовать для экспериментальной проверки характера движения.

Предположительно, под закономерностями подразумеваются следующие соотношения, открытые Галилео Галилеем:

Закономерность (1): Отношение путей, проходимых телом за последовательные равные промежутки времени.

Если тело движется равноускоренно из состояния покоя, то пути, пройденные им за последовательные равные интервалы времени ($s_1, s_2, s_3, \dots$), относятся как ряд последовательных нечетных чисел:

$s_1 : s_2 : s_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Это следует из формулы пути $s = \frac{at^2}{2}$. Например, путь за первый промежуток времени $\Delta t$ равен $s_1 = \frac{a(\Delta t)^2}{2}$. Путь за второй такой же промежуток времени равен $s_2 = s(2\Delta t) - s(\Delta t) = \frac{a(2\Delta t)^2}{2} - \frac{a(\Delta t)^2}{2} = 3 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2} = 3s_1$, и так далее.

Закономерность (2): Отношение времен, за которые тело проходит последовательные равные отрезки пути.

Если тело движется равноускоренно из состояния покоя, то времена, затраченные на прохождение последовательных равных отрезков пути ($t_1, t_2, t_3, \dots$), соотносятся как:

$t_1 : t_2 : t_3 : \dots = 1 : (\sqrt{2}-1) : (\sqrt{3}-\sqrt{2}) : \dots$

Это также следует из формулы $s = \frac{at^2}{2}$, из которой $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$. Время прохождения первого отрезка $L$ равно $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{a}}$. Время прохождения второго отрезка $L$ равно $t_2 = t_{общ}(2L) - t_1 = \sqrt{\frac{2(2L)}{a}} - \sqrt{\frac{2L}{a}} = (\sqrt{2}-1)t_1$, и так далее.

Цель использования данных закономерностей — экспериментальное подтверждение того, что движение тела является равноускоренным и начинается из состояния покоя.

• Проведя эксперимент (например, скатывая шарик по наклонному желобу), можно измерить пути, пройденные за равные промежутки времени. Если их отношение будет близко к $1:3:5:\dots$, это подтвердит, что движение шарика было равноускоренным с нулевой начальной скоростью.
• В качестве альтернативы можно измерить время прохождения шариком равных отрезков пути. Если отношение этих времен будет близко к $1 : (\sqrt{2}-1) : (\sqrt{3}-\sqrt{2}) : \dots$ (приблизительно $1 : 0.414 : 0.318 : \dots$), это также будет свидетельствовать о равноускоренном характере движения из состояния покоя.

Таким образом, эти закономерности служат инструментом для качественного и количественного анализа движения, позволяя установить его тип без непосредственного измерения ускорения.

Ответ: Закономерности (1) и (2) используются с целью экспериментальной проверки и подтверждения того, что движение тела является равноускоренным и начинается из состояния покоя. Это позволяет определить характер движения на основе измерений либо путей за равные промежутки времени, либо времен прохождения равных отрезков пути.

1. Отходящий от станции поезд в течение первых 20 с движется равноускоренно. Известно, что за третью секунду от начала движения поезд прошёл 2 м. Определите модуль вектора перемещения, совершённого поездом за первую секунду, и модуль вектора ускорения, с которым он двигался.

Дано:

Движение равноускоренное, $a = \text{const}$

Начальная скорость, $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (поскольку поезд отходит от станции)

Перемещение за третью секунду, $\Delta s_3 = 2 \text{ м}$

Общее время движения, $t_{общ} = 20 \text{ с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль вектора перемещения за первую секунду, $\Delta s_1$ - ?

Модуль вектора ускорения, $a$ - ?

Решение:

Поскольку движение поезда прямолинейное и равноускоренное, а начальная скорость равна нулю, то путь (модуль вектора перемещения), пройденный за время $t$, можно найти по формуле:

$s(t) = v_0t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Перемещение за третью секунду ($\Delta s_3$) — это разность между перемещением за первые три секунды ($s(3)$) и перемещением за первые две секунды ($s(2)$).

$\Delta s_3 = s(3) - s(2)$

Подставим формулу перемещения:

$\Delta s_3 = \frac{a \cdot (3)^2}{2} - \frac{a \cdot (2)^2}{2} = \frac{a}{2} (9 - 4) = \frac{5a}{2}$

По условию $\Delta s_3 = 2 \text{ м}$, тогда можем найти ускорение $a$:

$2 = \frac{5a}{2}$

$a = \frac{2 \cdot 2}{5} = \frac{4}{5} = 0.8 \text{ м/с}^2$

Теперь определим модуль вектора перемещения за первую секунду ($\Delta s_1$). Это перемещение, совершенное телом от момента времени $t=0$ до $t=1 \text{ с}$.

$\Delta s_1 = s(1) = \frac{a \cdot (1)^2}{2} = \frac{a}{2}$

Подставим найденное значение ускорения $a$:

$\Delta s_1 = \frac{0.8}{2} = 0.4 \text{ м}$

Ответ: модуль вектора ускорения, с которым двигался поезд, равен $0.8 \text{ м/с}^2$; модуль вектора перемещения, совершённого поездом за первую секунду, равен $0.4 \text{ м}$.

2. Шарик, скатываясь по наклонному жёлобу равноускоренно без начальной скорости, за 5 с прошёл 75 см. Найдите ускорение шарика.

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 0$ м/с

Время движения $t = 5$ с

Пройденный путь $S = 75$ см

Перевод в систему СИ:

$S = 75 \text{ см} = 0.75 \text{ м}$

Найти:

Ускорение шарика $a$ — ?

Решение:

Поскольку шарик скатывается равноускоренно, мы можем использовать формулу для пути при равноускоренном движении:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

В условии сказано, что шарик начинает движение без начальной скорости, следовательно, $v_0 = 0$. Подставив это значение в формулу, получим:

$S = 0 \cdot t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Теперь из этой формулы нужно выразить ускорение $a$. Для этого умножим обе части уравнения на 2 и разделим на $t^2$:

$2S = at^2$

$a = \frac{2S}{t^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$a = \frac{2 \cdot 0.75 \text{ м}}{(5 \text{ с})^2} = \frac{1.5 \text{ м}}{25 \text{ с}^2} = 0.06 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение шарика равно $0.06$ м/с².