Страница 37 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

3. Поезд метрополитена разгоняется с ускорением 1 м/с². Через какое время после отхода от станции скорость поезда достигнет предельной — 75 км/ч? Какой путь пройдёт поезд за это время?

Дано:

Начальная скорость поезда $v_0 = 0$ (так как поезд отходит от станции).

Ускорение поезда $a = 1 \text{ м/с}^2$.

Конечная скорость поезда $v = 75 \text{ км/ч}$.

Для согласования единиц измерения переведем конечную скорость в систему СИ (метры в секунду):

$v = 75 \text{ км/ч} = 75 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{750}{36} \text{ м/с} = \frac{125}{6} \text{ м/с} \approx 20.83 \text{ м/с}$.

Найти:

1. Время $t$, за которое поезд достигнет предельной скорости.

2. Путь $S$, который поезд пройдет за это время.

Решение:

Движение поезда с постоянным ускорением является равноускоренным.

Через какое время после отхода от станции скорость поезда достигнет предельной — 75 км/ч?

Воспользуемся формулой для скорости при равноускоренном движении: $v = v_0 + at$

Поскольку поезд начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$. Тогда формула упрощается до: $v = at$

Из этой формулы выразим время $t$: $t = \frac{v}{a}$

Подставим числовые значения в системе СИ: $t = \frac{125/6 \text{ м/с}}{1 \text{ м/с}^2} = \frac{125}{6} \text{ с} \approx 20.833... \text{ с}$

Округляя до десятых, получаем $t \approx 20.8 \text{ с}$.

Ответ: Время, за которое скорость поезда достигнет 75 км/ч, составляет примерно 20.8 с.

Какой путь пройдёт поезд за это время?

Для нахождения пути, пройденного поездом, можно использовать формулу, связывающую путь, скорость и ускорение: $S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Так как $v_0 = 0$, формула принимает вид: $S = \frac{v^2}{2a}$

Подставим значения: $S = \frac{(\frac{125}{6} \text{ м/с})^2}{2 \cdot 1 \text{ м/с}^2} = \frac{15625/36 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2 \text{ м/с}^2} = \frac{15625}{72} \text{ м} \approx 217.013... \text{ м}$

В качестве проверки можно использовать другую формулу пути: $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$. Учитывая $v_0=0$ и используя точное значение $t = \frac{125}{6} \text{ с}$, получим: $S = \frac{1 \text{ м/с}^2 \cdot (\frac{125}{6} \text{ с})^2}{2} = \frac{15625/36 \text{ м}}{2} = \frac{15625}{72} \text{ м} \approx 217.013... \text{ м}$

Округляя результат до целого числа, получаем $S \approx 217 \text{ м}$.

Ответ: За это время поезд пройдёт путь примерно 217 м.

4*. Автомобиль, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, за пятую секунду разгона проходит 6,3 м. Какую скорость развил автомобиль к концу пятой секунды от начала движения?

Дано:

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

$\Delta S_5 = 6.3 \text{ м}$

$t_5 = 5 \text{ с}$

$t_4 = 4 \text{ с}$

Найти:

$v_5 - ?$

Решение:

Автомобиль движется равноускоренно из состояния покоя. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении, определяется формулой:

$S(t) = v_0t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку начальная скорость равна нулю ($v_0=0$), формула упрощается до:

$S(t) = \frac{at^2}{2}$

Путь, пройденный за пятую секунду ($\Delta S_5$), — это разность между путем, пройденным за 5 секунд ($S_5$), и путем, пройденным за 4 секунды ($S_4$).

$\Delta S_5 = S_5 - S_4$

Найдем путь, пройденный за 5 секунд:

$S_5 = \frac{a \cdot t_5^2}{2} = \frac{a \cdot 5^2}{2} = \frac{25a}{2} = 12.5a$

Найдем путь, пройденный за 4 секунды:

$S_4 = \frac{a \cdot t_4^2}{2} = \frac{a \cdot 4^2}{2} = \frac{16a}{2} = 8a$

Теперь можем выразить путь за пятую секунду через ускорение:

$\Delta S_5 = 12.5a - 8a = 4.5a$

Из условия задачи мы знаем, что $\Delta S_5 = 6.3 \text{ м}$. Подставим это значение в полученное уравнение и найдем ускорение $a$:

$6.3 = 4.5a$

$a = \frac{6.3}{4.5} = \frac{63}{45} = \frac{7}{5} = 1.4 \text{ м/с}^2$

Теперь, зная ускорение, мы можем найти скорость автомобиля к концу пятой секунды. Формула скорости при равноускоренном движении:

$v(t) = v_0 + at$

Так как $v_0 = 0$, то $v_5 = a \cdot t_5$.

Подставим известные значения:

$v_5 = 1.4 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ с} = 7 \text{ м/с}$

Ответ: скорость, которую развил автомобиль к концу пятой секунды от начала движения, составляет 7 м/с.

Экспериментальная установка, которой пользовался Галилей, такова. Вдоль деревянной доски прорезан прямой канал, оклеенный изнутри полированным пергаментом. По каналу скользил гладкий бронзовый шарик. Угол наклона доски можно было менять. Для измерения времени Галилей использовал ведро с водой, в дне которого было проделано маленькое отверстие. Вода, вылившаяся из отверстия за время соскальзывания шарика, взвешивалась на точных весах.

«Повторяя опыты сотни раз, мы постоянно находили, что отношение пройденных путей равно отношению квадратов времени их прохождения» — так описывал Галилей выводы из экспериментов.

Спланируйте и проведите опыт, аналогичный опыту Галилея. Проверьте, выполняются ли закономерности (1) и (2).

Для проверки выводов Галилея, описанных в задаче, спланируем и опишем проведение аналогичного опыта с использованием современного оборудования. Галилей установил законы равноускоренного движения. Основной вывод, цитируемый в задаче, касается пропорциональности пройденного пути квадрату времени ($S \propto t^2$). Однако с этим связан и другой важный закон — о путях, проходимых за последовательные равные промежутки времени. Проверим обе эти закономерности.

1. Проверка закономерности: отношение пройденных путей равно отношению квадратов времени их прохождения ($S \propto t^2$).

Цель: Экспериментально проверить, что путь, пройденный телом при равноускоренном движении из состояния покоя, прямо пропорционален квадрату времени движения.

Оборудование: Длинный наклонный желоб (или доска с желобком), небольшой тяжелый шарик (например, стальной), измерительная лента, электронный секундомер, штатив для фиксации желоба под углом.

Ход эксперимента:

1. Собрать установку: закрепить желоб на штативе под небольшим, но фиксированным углом к горизонту. Чем меньше угол, тем медленнее будет движение и тем точнее можно измерить время.
2. На желобе отметить стартовую позицию (примем ее за 0). С помощью измерительной ленты разметить несколько участков пути различной длины. Например, $S_1 = 0,2 \text{ м}$, $S_2 = 0,4 \text{ м}$, $S_3 = 0,6 \text{ м}$ и $S_4 = 0,8 \text{ м}$.
3. Поместить шарик в стартовую позицию. Отпустить шарик без начального толчка, одновременно запустив секундомер.
4. Остановить секундомер, когда центр шарика пересечет отметку конца первого участка ($S_1$). Записать время $t_1$.
5. Для повышения точности и уменьшения влияния случайных ошибок, повторить измерение времени для пути $S_1$ еще 2-3 раза, после чего найти среднее арифметическое значение времени $\langle t_1 \rangle$.
6. Повторить пункты 3-5 для остальных участков пути ($S_2, S_3, S_4$), измерив соответствующие средние времена $\langle t_2 \rangle, \langle t_3 \rangle, \langle t_4 \rangle$.
7. Результаты всех измерений и вычислений занести в таблицу.

Анализ результатов:

Представим, что в ходе мысленного эксперимента были получены следующие данные:

Из последнего столбца таблицы видно, что отношение $S/\langle t \rangle^2$ для всех измерений остается практически постоянным (с учетом погрешностей измерений) и равно примерно $0,20 \text{ м/с}^2$. Это доказывает, что путь пропорционален квадрату времени: $S = k \cdot t^2$. Из этой пропорциональности напрямую следует вывод Галилея: для двух любых пройденных путей $S_a$ и $S_b$ и соответствующих времен $t_a$ и $t_b$ справедливо $\frac{S_a}{S_b} = \frac{k \cdot t_a^2}{k \cdot t_b^2} = \frac{t_a^2}{t_b^2}$. Например, для 1-го и 4-го опытов: $\frac{S_4}{S_1} = \frac{0,8}{0,2} = 4$, а $\frac{\langle t_4 \rangle^2}{\langle t_1 \rangle^2} = \frac{4,00}{1,00} = 4$. Соотношение выполняется.

Ответ: Эксперимент подтверждает закономерность, открытую Галилеем: при равноускоренном движении из состояния покоя отношение пройденных путей равно отношению квадратов времени их прохождения. Это является следствием прямой пропорциональности между путем и квадратом времени ($S \propto t^2$).

2. Проверка закономерности о путях, проходимых за последовательные равные промежутки времени.

Цель: Экспериментально проверить, что пути, проходимые телом при равноускоренном движении за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд нечетных чисел ($1 : 3 : 5 : \dots$).

Ход эксперимента:

1. Используется та же экспериментальная установка.
2. Для фиксации равных промежутков времени можно использовать метроном или видеозапись движения шарика с последующим анализом кадров (зная частоту кадров).
3. Шарик отпускается из начальной точки. Отмечаются его положения через равные промежутки времени, например, через каждую секунду ($\Delta t = 1 \text{ с}$).
4. Измеряются полные пути от старта до каждой отметки: $S_1$ (за 1 с), $S_2$ (за 2 с), $S_3$ (за 3 с) и т.д.
5. Вычисляются пути, пройденные за каждый отдельный промежуток времени:
   • за 1-ю секунду: $\Delta S_1 = S_1$
   • за 2-ю секунду: $\Delta S_2 = S_2 - S_1$
   • за 3-ю секунду: $\Delta S_3 = S_3 - S_2$
6. Проверяется отношение $\Delta S_1 : \Delta S_2 : \Delta S_3$.

Анализ результатов:

Воспользуемся данными из предыдущего эксперимента, чтобы сделать теоретический расчет. Мы нашли, что $S(t) \approx 0,2 \cdot t^2$.

• Путь за первую секунду ($t=1 \text{ с}$): $S_1 = 0,2 \cdot 1^2 = 0,2 \text{ м}$. Таким образом, $\Delta S_1 = 0,2 \text{ м}$.
• Полный путь за две секунды ($t=2 \text{ с}$): $S_2 = 0,2 \cdot 2^2 = 0,2 \cdot 4 = 0,8 \text{ м}$.
• Путь, пройденный за вторую секунду: $\Delta S_2 = S_2 - S_1 = 0,8 - 0,2 = 0,6 \text{ м}$.
• Полный путь за три секунды ($t=3 \text{ с}$): $S_3 = 0,2 \cdot 3^2 = 0,2 \cdot 9 = 1,8 \text{ м}$.
• Путь, пройденный за третью секунду: $\Delta S_3 = S_3 - S_2 = 1,8 - 0,8 = 1,0 \text{ м}$.

Теперь найдем отношение путей, пройденных за каждый последовательный секундный интервал:

$\Delta S_1 : \Delta S_2 : \Delta S_3 = 0,2 : 0,6 : 1,0$

Разделив все члены отношения на первый ($\Delta S_1 = 0,2$), получим:

$1 : 3 : 5$

Таким образом, теоретический расчет и реальный эксперимент (при достаточной точности) должны подтвердить эту закономерность.

Ответ: Эксперимент подтверждает вторую закономерность равноускоренного движения, установленную Галилеем: пути, проходимые телом из состояния покоя за последовательные равные промежутки времени, относятся друг к другу как ряд последовательных нечетных чисел ($1 : 3 : 5 : 7 : \dots$).