Страница 42 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Опишите опыт, с помощью которого можно убедиться в том, что мгновенная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, в любой точке этой окружности направлена по касательной к ней.

Опишите опыт, с помощью которого можно убедиться в том, что мгновенная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, в любой точке этой окружности направлена по касательной к ней.

Для демонстрации того, что мгновенная скорость тела при движении по окружности направлена по касательной, можно провести следующий простой опыт. Возьмем небольшой предмет, например, шарик, и привяжем его к прочной нити. Начнем вращать шарик на нити в горизонтальной или вертикальной плоскости так, чтобы он двигался по окружности с постоянной по модулю скоростью. Нить в данном случае обеспечивает центростремительную силу, которая постоянно изменяет направление скорости тела, заставляя его двигаться по кругу.

Если в некоторый момент времени, когда шарик находится в определенной точке своей круговой траектории, отпустить нить (или если она оборвется), то центростремительная сила перестанет действовать на шарик. Согласно первому закону Ньютона (закону инерции), тело, на которое не действуют силы, будет двигаться прямолинейно и равномерно. Мы увидим, что шарик полетит по прямой линии. Эта прямая линия будет касательной к окружности в той точке, в которой находился шарик в момент прекращения действия силы. Направление движения шарика по этой прямой как раз и будет соответствовать направлению его мгновенной скорости в тот момент.

Другой пример — искры, летящие от вращающегося точильного камня. Маленькие раскаленные частицы металла, отрываясь от камня, продолжают свое движение по инерции и летят по касательной к поверхности камня в точке отрыва, наглядно рисуя в воздухе траектории, соответствующие направлению мгновенной скорости.

Ответ: Провести опыт с вращением шарика на нити. В момент, когда нить отпускают, шарик летит по прямой, касательной к окружности в точке отрыва. Это доказывает, что мгновенная скорость направлена по касательной.

2. Что такое частота обращения; период обращения?

Период обращения — это физическая величина, которая показывает, за какой промежуток времени тело совершает один полный оборот, двигаясь по окружности. Период обращения обозначается буквой $T$. Он рассчитывается как отношение общего времени движения $t$ к числу совершенных за это время оборотов $N$:

$$T = \frac{t}{N}$$

Единицей измерения периода в Международной системе единиц (СИ) является секунда (с).

Частота обращения — это физическая величина, которая показывает, сколько полных оборотов совершает тело за единицу времени, двигаясь по окружности. Частота обращения обозначается греческой буквой $\nu$ (ню) или латинской $f$. Она рассчитывается как отношение числа оборотов $N$ ко времени $t$, за которое эти обороты были совершены:

$$\nu = \frac{N}{t}$$

Единицей измерения частоты в СИ является герц (Гц). $1$ Гц равен одному обороту в секунду ($1 \text{ Гц} = 1 \text{ с}^{-1}$).

Период и частота обращения — взаимно обратные величины. Их связь выражается формулами:

$$T = \frac{1}{\nu} \quad \text{и} \quad \nu = \frac{1}{T}$$

Ответ: Период обращения ($T$) — это время, за которое совершается один полный оборот. Частота обращения ($\nu$) — это число оборотов, совершаемых за единицу времени. Они связаны как $T = 1/\nu$.

2. Что такое частота обращения; период обращения?

частота обращения

Это физическая величина, которая равна числу полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности, за единицу времени. Частота показывает, как быстро происходит вращение. Она обозначается греческой буквой $\nu$ (ню) или латинской буквой $n$.

Формула для расчета частоты обращения: $n = \frac{N}{t}$

где $N$ — число полных оборотов, а $t$ — время, за которое эти обороты совершены.

В Международной системе единиц (СИ) частота измеряется в герцах (Гц). Один герц соответствует одному обороту в секунду: $1 \text{ Гц} = 1 \text{ с}^{-1}$.

Ответ: Частота обращения – это физическая величина, равная числу полных оборотов, совершаемых телом за единицу времени.

период обращения

Это физическая величина, равная промежутку времени, за который тело совершает один полный оборот, двигаясь по окружности. Период показывает, сколько времени длится один оборот. Он обозначается буквой $T$.

Формула для расчета периода обращения: $T = \frac{t}{N}$

где $t$ — общее время движения, а $N$ — число оборотов, совершенных за это время.

В системе СИ период измеряется в секундах (с).

Период и частота обращения — взаимно обратные величины. Их связь выражается формулами: $T = \frac{1}{n}$ и $n = \frac{1}{T}$

Ответ: Период обращения – это промежуток времени, в течение которого тело совершает один полный оборот.

3. Как связаны между собой период и частота обращения?

Что такое частота обращения; период обращения?

Частота обращения (обозначается греческой буквой $\nu$ (ню) или латинской $f$) — это физическая величина, которая показывает, сколько полных оборотов (циклов) совершает тело за единицу времени при движении по окружности. В Международной системе единиц (СИ) частота измеряется в герцах (Гц), где 1 Гц соответствует одному обороту в секунду ($1 \text{ с}^{-1}$). Частоту можно рассчитать по формуле: $ \nu = \frac{N}{t} $, где $N$ — число полных оборотов, а $t$ — время, за которое эти обороты были совершены.

Период обращения (обозначается буквой $T$) — это физическая величина, равная минимальному промежутку времени, за который тело, движущееся по окружности, совершает один полный оборот и возвращается в исходное положение. В системе СИ период измеряется в секундах (с). Период можно рассчитать по формуле: $ T = \frac{t}{N} $, где $t$ — общее время движения, а $N$ — число совершенных за это время оборотов.

Ответ: Частота обращения — это количество оборотов в единицу времени, а период обращения — это время, необходимое для совершения одного полного оборота.

3. Как связаны между собой период и частота обращения?

Период и частота обращения — это взаимно обратные величины. Эта связь напрямую следует из их определений. Если период $T$ — это время одного оборота, то за одну секунду тело совершит $1/T$ оборотов, что по определению и есть частота $\nu$.

Математически эта связь выражается следующими формулами: $ \nu = \frac{1}{T} $ и $ T = \frac{1}{\nu} $

Таким образом, произведение периода на частоту всегда равно единице: $ T \cdot \nu = 1 $

Это означает, что чем больше частота вращения (больше оборотов в секунду), тем меньше период (меньше времени требуется на один оборот), и наоборот.

Ответ: Период и частота обращения являются взаимно обратными величинами, их связь выражается формулой $T = 1/\nu$.

4. Что называют линейной скоростью; угловой скоростью?

Как связаны между собой период и частота обращения?

Период и частота обращения — это две взаимно обратные величины, характеризующие периодическое движение, в том числе и движение по окружности.

Период обращения ($T$) — это физическая величина, равная минимальному промежутку времени, за который тело совершает один полный оборот. В системе СИ период измеряется в секундах (с).

Частота обращения ($\nu$ или $f$) — это физическая величина, равная числу полных оборотов, совершаемых телом за единицу времени. В системе СИ частота измеряется в герцах (Гц), где $1 \text{ Гц} = 1 \text{ c}^{-1}$.

Связь между ними выражается следующими формулами: $T = \frac{1}{\nu}$ и, соответственно, $\nu = \frac{1}{T}$ Это означает, что чем больше времени уходит на один оборот (больше период), тем меньше оборотов совершается за секунду (меньше частота), и наоборот. Например, если тело совершает 5 оборотов в секунду ($\nu = 5$ Гц), то на один оборот оно затрачивает $1/5 = 0.2$ секунды ($T = 0.2$ с).

Ответ: Период ($T$) и частота ($\nu$) обращения являются взаимно обратными величинами: $T = 1/\nu$. Чем больше период, тем меньше частота, и наоборот.

4. Что называют линейной скоростью; угловой скоростью?

Линейная скорость ($\vec{v}$) — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения точки в пространстве. При движении по окружности:

• Её направление в каждый момент времени совпадает с касательной к траектории (окружности) в той точке, где находится тело.
• Её модуль (численное значение) равен отношению длины дуги окружности $\Delta l$, пройденной телом, ко времени $\Delta t$, за которое эта дуга была пройдена: $v = \frac{\Delta l}{\Delta t}$. При равномерном движении по окружности радиусом $R$ за время, равное одному периоду $T$, тело проходит путь, равный длине окружности $2\pi R$, поэтому модуль линейной скорости постоянен и равен $v = \frac{2\pi R}{T}$. Измеряется в метрах в секунду (м/с).

Угловая скорость ($\vec{\omega}$) — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту вращения тела. При движении по окружности:

• Её направление перпендикулярно плоскости вращения и определяется по правилу правого винта (или правой руки): если четыре пальца согнуть в направлении вращения, то большой палец укажет направление вектора угловой скорости.
• Её модуль равен отношению угла поворота радиус-вектора $\Delta\phi$ ко времени этого поворота $\Delta t$: $\omega = \frac{\Delta\phi}{\Delta t}$. При равномерном вращении за один период $T$ тело поворачивается на угол $2\pi$ радиан, поэтому модуль угловой скорости постоянен и равен $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$. Измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Линейная и угловая скорости связаны соотношением: $v = \omega R$.

Ответ:Линейная скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту перемещения точки вдоль траектории и направленная по касательной к ней. Угловая скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту вращения и равная отношению угла поворота ко времени.

5. Как направлено ускорение при движении тела по окружности?

При движении тела по окружности его вектор скорости постоянно меняет свое направление (даже если модуль скорости, т.е. быстрота, остается постоянным). Любое изменение вектора скорости означает наличие ускорения.

Ускорение при криволинейном движении можно разложить на две составляющие:

1. Нормальное (или центростремительное) ускорение ($\vec{a}_n$). Оно отвечает за изменение направления вектора скорости. Этот вектор всегда направлен перпендикулярно вектору линейной скорости, к центру кривизны траектории. В случае движения по окружности — строго к центру этой окружности. Его модуль равен $a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$, где $v$ — мгновенная линейная скорость, а $R$ — радиус окружности. Эта составляющая ускорения есть всегда при движении по окружности.
2. Тангенциальное (или касательное) ускорение ($\vec{a}_\tau$). Оно отвечает за изменение модуля вектора скорости (т.е. быстроты движения). Этот вектор направлен по касательной к окружности: в сторону движения, если тело ускоряется, и против движения, если замедляется.

Таким образом:

• При равномерном движении по окружности (когда модуль скорости $v$ постоянен) тангенциальное ускорение равно нулю ($\vec{a}_\tau = 0$). Всё ускорение является центростремительным и направлено к центру окружности.
• При неравномерном движении по окружности (когда модуль скорости $v$ меняется) у тела есть обе составляющие ускорения. Полное ускорение $\vec{a} = \vec{a}_n + \vec{a}_\tau$ будет направлено "внутрь" окружности, но уже не строго к центру, а под некоторым углом к радиусу.

Ответ: При любом движении по окружности всегда присутствует составляющая ускорения, направленная к центру окружности (центростремительное ускорение). Если движение равномерное, то всё ускорение направлено строго к центру окружности.

5. Как направлено ускорение тела при его движении по окружности с постоянной по модулю скоростью? Как называют это ускорение?

При движении тела по окружности, даже если его скорость по модулю (т.е. числовое значение скорости) постоянна, вектор скорости непрерывно изменяется по направлению. В любой точке окружности вектор мгновенной скорости направлен по касательной к ней.

Ускорение, по определению, является вектором, который показывает, как быстро изменяется вектор скорости ($\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$). Поскольку в данном случае модуль скорости не меняется, ускорение отвечает только за изменение направления вектора скорости. Чтобы вектор скорости поворачивался, оставаясь на окружности, вектор ускорения должен быть направлен перпендикулярно вектору скорости в сторону центра кривизны траектории, то есть к центру окружности.

Это ускорение, которое всегда направлено к центру окружности и отвечает за изменение направления скорости, называется центростремительным ускорением. Его также называют нормальным ускорением, так как оно направлено по нормали (перпендикулярно) к вектору скорости.

Ответ: Ускорение тела при его движении по окружности с постоянной по модулю скоростью направлено по радиусу к центру окружности. Это ускорение называют центростремительным (или нормальным) ускорением.

6. По какой формуле можно вычислить модуль вектора центростремительного ускорения?

Как называют это ускорение?

Ускорение тела, которое движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, называется центростремительным ускорением. Его также иногда называют нормальным ускорением, так как его вектор всегда направлен перпендикулярно (нормально) к вектору мгновенной скорости тела. Это ускорение характеризует изменение направления вектора скорости, в то время как модуль скорости (т.е. быстрота движения) остается неизменным. Вектор центростремительного ускорения в любой точке траектории направлен по радиусу к центру окружности.

Ответ: центростремительное ускорение.

По какой формуле можно вычислить модуль вектора центростремительного ускорения?

Модуль вектора центростремительного ускорения ($a_ц$) можно вычислить по основной формуле, которая связывает его с модулем линейной скорости тела $v$ и радиусом окружности $R$, по которой движется тело:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

где $v$ — модуль линейной (мгновенной) скорости, а $R$ — радиус окружности.

Также существуют другие формулы для расчета, которые могут быть удобны в зависимости от известных величин:

– Через угловую скорость $\omega$: $a_ц = \omega^2 R$, так как линейная и угловая скорости связаны соотношением $v = \omega R$.

– Через период обращения $T$ (время одного полного оборота): $a_ц = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$, так как $v = \frac{2\pi R}{T}$.

– Через частоту обращения $f$ (число оборотов в единицу времени): $a_ц = 4\pi^2 f^2 R$, так как $f = 1/T$.

Ответ: $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

Ссылаясь на формулу a_ц.с =$\frac{v^2}{R}$, Петя утверждал, что центростремительное ускорение обратно пропорционально радиусу окружности. Подставив в эту формулу выражение v = ωR, его друг Гоша получил, что a_ц.с = ω²R и сделал вывод, что центростремительное ускорение прямо пропорционально радиусу окружности. Кто из ребят прав?

Решение

Этот спор возник из-за того, что оба друга, Петя и Гоша, рассматривают разные физические ситуации, хотя и используют правильные формулы. Противоречие в их выводах связано с тем, какая величина считается постоянной при изменении радиуса.

1. Позиция Пети. Он ссылается на формулу $a_{ц.с} = \frac{v^2}{R}$. Его вывод о том, что центростремительное ускорение обратно пропорционально радиусу, верен только в том случае, если линейная скорость ($v$) движения тела остается постоянной. Например, если автомобиль проходит повороты разного радиуса с одной и той же скоростью по спидометру, то на более крутом повороте (меньший $R$) его центростремительное ускорение будет больше. В этом случае утверждение Пети справедливо ($a_{ц.с} \propto 1/R$ при $v = \text{const}$).

2. Позиция Гоши. Он, подставив $v = \omega R$ в первую формулу, получил $a_{ц.с} = \omega^2 R$. Его вывод о том, что центростремительное ускорение прямо пропорционально радиусу, верен в том случае, если угловая скорость ($\omega$) вращения остается постоянной. Например, для разных точек на вращающейся карусели или пластинке угловая скорость одинакова. При этом точка, находящаяся дальше от центра (с большим $R$), движется с большей линейной скоростью и испытывает большее центростремительное ускорение. В этом случае утверждение Гоши справедливо ($a_{ц.с} \propto R$ при $\omega = \text{const}$).

Таким образом, ни один из ребят не ошибается в математических преобразованиях, но их выводы применимы к разным физическим моделям движения.

Ответ: Правы оба, но каждый в своей ситуации. Утверждение Пети верно при постоянной линейной скорости ($v = \text{const}$), а утверждение Гоши — при постоянной угловой скорости ($\omega = \text{const}$). Поскольку в условии задачи не указано, какая именно величина остается неизменной, однозначно определить, кто из ребят прав, невозможно.

1. Тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Покажите направления векторов скорости и ускорения в точке А (рис. 27).

Решение:

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью называется равномерным движением по окружности. Для такого движения характерны следующие направления векторов скорости и ускорения.

Направление вектора скорости ($\vec{v}$)

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории движения в данной точке. Поскольку тело движется по окружности, вектор скорости $\vec{v}$ в точке А будет направлен по касательной к этой окружности. На рисунке в условии показан небольшой участок пути до точки А, что позволяет предположить, что движение происходит против часовой стрелки. В этом случае вектор скорости будет направлен по касательной вверх и влево.

Направление вектора ускорения ($\vec{a}$)

Поскольку модуль скорости постоянен ($v = \text{const}$), тангенциальное ускорение, которое характеризует изменение величины скорости, равно нулю. Однако направление вектора скорости постоянно меняется, что означает наличие ускорения. Это ускорение называется центростремительным (или нормальным) ускорением, $\vec{a}_ц$. Оно отвечает за изменение направления скорости.

Вектор центростремительного ускорения всегда направлен по радиусу к центру окружности. В данном случае, из точки А к центру О. Так как тангенциальное ускорение отсутствует, полное ускорение тела $\vec{a}$ совпадает с центростремительным: $\vec{a} = \vec{a}_ц$.

Ниже представлен рисунок с указанием направлений векторов скорости и ускорения в точке А.

Ответ: В точке А вектор скорости $\vec{v}$ направлен по касательной к окружности, а вектор ускорения $\vec{a}$ направлен по радиусу к центру окружности О.

2. Точильный камень радиусом 10 см делает 300 оборотов в минуту. Найдите линейную и угловую скорости точек на ободе точильного камня.

Дано:

Радиус, $R = 10$ см

Число оборотов, $N = 300$

Время, $t = 1$ мин

Перевод в систему СИ:

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Угловую скорость, $\omega$ - ?

Линейную скорость, $v$ - ?

Угловая скорость

Сначала определим частоту вращения $\nu$ — количество оборотов в секунду:

$\nu = \frac{N}{t}$

Подставим значения из условия, переведенные в СИ:

$\nu = \frac{300}{60 \text{ с}} = 5 \text{ об/с} = 5 \text{ Гц}$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Теперь вычислим угловую скорость:

$\omega = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \text{ рад/с}$

Для численного значения можно использовать приближение $\pi \approx 3.14$:

$\omega \approx 10 \cdot 3.14 = 31.4 \text{ рад/с}$

Ответ: угловая скорость точек на ободе точильного камня равна $10\pi \text{ рад/с}$ (приблизительно $31.4 \text{ рад/с}$).

Линейная скорость

Линейная скорость $v$ точек на ободе камня (на расстоянии $R$ от центра) связана с угловой скоростью $\omega$ следующей формулой:

$v = \omega R$

Подставим ранее найденное значение угловой скорости $\omega$ и радиус $R$ в СИ:

$v = 10\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}} \cdot 0.1 \text{ м} = \pi \text{ м/с}$

Для численного значения можно использовать приближение $\pi \approx 3.14$:

$v \approx 3.14 \text{ м/с}$

Ответ: линейная скорость точек на ободе точильного камня равна $\pi \text{ м/с}$ (приблизительно $3.14 \text{ м/с}$).

3. При работе стиральной машины в режиме отжима поверхность её барабана, находящаяся на расстоянии 21 см от оси вращения, движется вокруг этой оси со скоростью 20 м/с. Определите ускорение, с которым движутся точки поверхности барабана.

Дано

Расстояние от оси вращения (радиус), $r = 21$ см

Скорость точек на поверхности барабана, $v = 20$ м/с

Перевод в систему СИ:

$r = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$

Найти:

Ускорение точек поверхности барабана, $a$ - ?

Решение

При вращении барабана стиральной машины его точки на поверхности движутся по окружности. Поскольку в режиме отжима скорость вращения, как правило, постоянна, мы можем считать, что точки движутся равномерно по окружности. В этом случае ускорение является центростремительным (или нормальным), оно направлено к центру окружности (к оси вращения) и отвечает за изменение направления вектора скорости.

Формула для расчета центростремительного ускорения ($a_c$) выглядит следующим образом:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

где $v$ — линейная скорость точки, а $r$ — радиус окружности, по которой она движется.

Подставим данные из условия задачи в формулу. Все величины уже приведены в систему СИ.

$a = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{0.21 \text{ м}} = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.21 \text{ м}}$

Выполним вычисление:

$a \approx 1904.76 \text{ м/с}^2$

Округлим полученное значение до целого числа.

$a \approx 1905 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение, с которым движутся точки поверхности барабана, составляет приблизительно $1905 \text{ м/с}^2$.