Страница 43 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4. Определите ускорение конца секундной стрелки часов, если он находится на расстоянии R = 2 см от центра вращения.

Дано:

Расстояние от конца секундной стрелки до центра вращения (радиус): $R = 2 \text{ см}$

Период обращения секундной стрелки: $T = 60 \text{ с}$

Переведем данные в систему СИ:

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Ускорение конца секундной стрелки: $a$

Решение:

Конец секундной стрелки движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Такое движение называется равномерным движением по окружности. При таком движении тело имеет центростремительное (или нормальное) ускорение, которое направлено к центру окружности. Величина этого ускорения постоянна.

Так как скорость вращения стрелки не меняется, тангенциальная составляющая ускорения равна нулю. Следовательно, полное ускорение равно центростремительному.

Центростремительное ускорение $a$ можно вычислить по формуле:

$a = \omega^2 R$

где $\omega$ – угловая скорость, а $R$ – радиус окружности.

Угловую скорость можно найти, зная период обращения $T$. Секундная стрелка совершает один полный оборот (угол $2\pi$ радиан) за 60 секунд.

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим значение периода:

$\omega = \frac{2\pi}{60 \text{ с}} = \frac{\pi}{30} \text{ рад/с}$

Теперь подставим значения угловой скорости $\omega$ и радиуса $R$ в формулу для ускорения:

$a = \left(\frac{\pi}{30}\right)^2 \cdot R = \frac{\pi^2}{900} \cdot R$

Выполним вычисления, приняв $\pi \approx 3.14$:

$a \approx \frac{(3.14)^2}{900} \cdot 0.02 \text{ м/с}^2 \approx \frac{9.8596}{900} \cdot 0.02 \text{ м/с}^2 \approx 0.010955 \cdot 0.02 \text{ м/с}^2 \approx 0.0002191 \text{ м/с}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр:

$a \approx 2.2 \cdot 10^{-4} \text{ м/с}^2$

Ответ: $a \approx 2.2 \cdot 10^{-4} \text{ м/с}^2$.

5. Докажите, что ускорение движения крайней точки стрелки часов в 2 раза больше ускорения средней точки этой стрелки (т. е. точки, находящейся посередине между центром вращения стрелки и её концом).

Дано:

$R_1$ — расстояние от центра вращения до крайней точки стрелки.

$a_1$ — ускорение крайней точки стрелки.

$R_2$ — расстояние от центра вращения до средней точки стрелки.

$a_2$ — ускорение средней точки стрелки.

По условию, $R_2 = \frac{R_1}{2}$.

Найти:

Доказать, что $a_1 = 2a_2$.

Решение:

Стрелка часов является твердым телом, вращающимся вокруг неподвижной оси. Все точки твердого тела при таком движении вращаются с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Движение каждой точки по окружности является ускоренным, так как вектор скорости постоянно меняет направление. Ускорение, характеризующее это изменение, называется центростремительным. Оно направлено к центру окружности и вычисляется по формуле:

$a = \omega^2 R$

где $\omega$ — угловая скорость, а $R$ — радиус окружности (расстояние от точки до центра вращения).

Запишем формулу для ускорения крайней точки стрелки, которая находится на расстоянии $R_1$ от центра:

$a_1 = \omega^2 R_1$

Теперь запишем формулу для ускорения средней точки стрелки. Ее расстояние от центра вращения, согласно условию, равно $R_2 = \frac{R_1}{2}$:

$a_2 = \omega^2 R_2 = \omega^2 \frac{R_1}{2}$

Для того чтобы сравнить эти два ускорения, найдем их отношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\omega^2 R_1}{\omega^2 \frac{R_1}{2}}$

Сократим общие множители $\omega^2$ и $R_1$ в числителе и знаменателе дроби:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

Отсюда следует, что $a_1 = 2 a_2$.

Это означает, что ускорение движения крайней точки стрелки ровно в 2 раза больше, чем ускорение ее средней точки, что и требовалось доказать.

Ответ: Ускорение крайней точки стрелки прямо пропорционально ее расстоянию от центра вращения ($a = \omega^2 R$). Поскольку крайняя точка находится вдвое дальше от центра, чем средняя точка ($R_1 = 2R_2$), ее ускорение в 2 раза больше.

6*. Минутная и секундная стрелки часов вращаются вокруг общего центра. Расстояния от центра вращения до концов стрелок одинаковы. Чему равно отношение ускорений, с которыми движутся концы стрелок? Какая стрелка движется с большим ускорением?

Дано:

Расстояния от центра вращения до концов стрелок одинаковы: $R_м = R_с = R$

Период вращения минутной стрелки: $T_м = 60$ мин

Период вращения секундной стрелки: $T_с = 60$ с

Перевод в систему СИ:

$T_м = 60 \text{ мин} \cdot 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 3600 \text{ с}$

$T_с = 60 \text{ с}$

Найти:

1. Отношение ускорений концов стрелок $\frac{a_с}{a_м}$

2. Какая стрелка движется с большим ускорением?

Решение:

Концы стрелок часов движутся по окружности, поэтому они испытывают центростремительное ускорение. Поскольку их вращение равномерное, это единственное ускорение, которое они имеют. Формула для центростремительного ускорения $a$ через угловую скорость $ω$ и радиус $R$ имеет вид:

$a = ω^2 R$

Угловая скорость $ω$ связана с периодом обращения $T$ (временем, за которое совершается один полный оборот) соотношением:

$ω = \frac{2π}{T}$

Подставив выражение для угловой скорости в формулу для ускорения, получим зависимость ускорения от периода:

$a = (\frac{2π}{T})^2 R = \frac{4π^2 R}{T^2}$

Запишем выражения для ускорений концов минутной ($a_м$) и секундной ($a_с$) стрелок. По условию, радиус $R$ для обеих стрелок одинаков.

Ускорение конца минутной стрелки: $a_м = \frac{4π^2 R}{T_м^2}$

Ускорение конца секундной стрелки: $a_с = \frac{4π^2 R}{T_с^2}$

Найдем отношение ускорения конца секундной стрелки к ускорению конца минутной стрелки. Для этого разделим второе выражение на первое:

$\frac{a_с}{a_м} = \frac{\frac{4π^2 R}{T_с^2}}{\frac{4π^2 R}{T_м^2}}$

Сократив одинаковые множители $4π^2 R$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{a_с}{a_м} = \frac{T_м^2}{T_с^2} = (\frac{T_м}{T_с})^2$

Теперь подставим числовые значения периодов, выраженные в секундах:

$\frac{a_с}{a_м} = (\frac{3600 \text{ с}}{60 \text{ с}})^2 = 60^2 = 3600$

Полученное отношение $\frac{a_с}{a_м} = 3600$ показывает, что ускорение конца секундной стрелки в 3600 раз больше ускорения конца минутной стрелки. Следовательно, секундная стрелка движется с большим ускорением.

Ответ: отношение ускорения конца секундной стрелки к ускорению конца минутной стрелки равно 3600. С большим ускорением движется секундная стрелка.

7*. Линейная скорость точки на ободе вращающегося колеса равна 2 м/с. Точка, расположенная на 10 см ближе к оси, имеет линейную скорость 1 м/с. Определите угловые скорости этих точек, частоты и периоды их обращения.

Дано:

$v_1 = 2 \text{ м/с}$

$v_2 = 1 \text{ м/с}$

$\Delta R = 10 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$\Delta R = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$\omega - ?$

$f - ?$

$T - ?$

Решение:

Все точки вращающегося твердого тела (колеса) имеют одинаковую угловую скорость $\omega$, частоту $f$ и период обращения $T$. Поэтому нам нужно найти одно значение для каждой из этих величин.

Связь между линейной скоростью $v$ и угловой скоростью $\omega$ для точки, находящейся на расстоянии $R$ от оси вращения, задается формулой:

$v = \omega R$

Пусть $R$ - радиус колеса (расстояние от оси до точки на ободе). Тогда линейная скорость точки на ободе равна:

$v_1 = \omega R$

Вторая точка расположена на расстоянии $r$ от оси, которое на $\Delta R$ меньше, чем радиус колеса:

$r = R - \Delta R$

Линейная скорость этой точки равна:

$v_2 = \omega r = \omega (R - \Delta R)$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 = \omega R \\ v_2 = \omega (R - \Delta R) \end{cases}$

Выразим $R$ из первого уравнения: $R = v_1 / \omega$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$v_2 = \omega (\frac{v_1}{\omega} - \Delta R)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\omega$:

$v_2 = v_1 - \omega \Delta R$

$\omega \Delta R = v_1 - v_2$

$\omega = \frac{v_1 - v_2}{\Delta R}$

Подставим числовые значения:

$\omega = \frac{2 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с}}{0.1 \text{ м}} = \frac{1 \text{ м/с}}{0.1 \text{ м}} = 10 \text{ рад/с}$

Теперь, зная угловую скорость, можем найти частоту и период обращения. Связь между угловой скоростью и частотой:

$\omega = 2\pi f$

Отсюда частота $f$:

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \text{ Гц}$

Период обращения $T$ является величиной, обратной частоте:

$T = \frac{1}{f}$

Также период можно найти из формулы для угловой скорости:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Отсюда период $T$:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \text{ с}$

Ответ: угловая скорость всех точек колеса равна $10 \text{ рад/с}$, частота обращения равна $\frac{5}{\pi} \text{ Гц}$ (приблизительно $1.59 \text{ Гц}$), а период обращения равен $\frac{\pi}{5} \text{ с}$ (приблизительно $0.628 \text{ с}$).