Номер 6, страница 43 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

6*. Минутная и секундная стрелки часов вращаются вокруг общего центра. Расстояния от центра вращения до концов стрелок одинаковы. Чему равно отношение ускорений, с которыми движутся концы стрелок? Какая стрелка движется с большим ускорением?

Дано:

Расстояния от центра вращения до концов стрелок одинаковы: $R_м = R_с = R$

Период вращения минутной стрелки: $T_м = 60$ мин

Период вращения секундной стрелки: $T_с = 60$ с

Перевод в систему СИ:

$T_м = 60 \text{ мин} \cdot 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 3600 \text{ с}$

$T_с = 60 \text{ с}$

Найти:

1. Отношение ускорений концов стрелок $\frac{a_с}{a_м}$

2. Какая стрелка движется с большим ускорением?

Решение:

Концы стрелок часов движутся по окружности, поэтому они испытывают центростремительное ускорение. Поскольку их вращение равномерное, это единственное ускорение, которое они имеют. Формула для центростремительного ускорения $a$ через угловую скорость $ω$ и радиус $R$ имеет вид:

$a = ω^2 R$

Угловая скорость $ω$ связана с периодом обращения $T$ (временем, за которое совершается один полный оборот) соотношением:

$ω = \frac{2π}{T}$

Подставив выражение для угловой скорости в формулу для ускорения, получим зависимость ускорения от периода:

$a = (\frac{2π}{T})^2 R = \frac{4π^2 R}{T^2}$

Запишем выражения для ускорений концов минутной ($a_м$) и секундной ($a_с$) стрелок. По условию, радиус $R$ для обеих стрелок одинаков.

Ускорение конца минутной стрелки: $a_м = \frac{4π^2 R}{T_м^2}$

Ускорение конца секундной стрелки: $a_с = \frac{4π^2 R}{T_с^2}$

Найдем отношение ускорения конца секундной стрелки к ускорению конца минутной стрелки. Для этого разделим второе выражение на первое:

$\frac{a_с}{a_м} = \frac{\frac{4π^2 R}{T_с^2}}{\frac{4π^2 R}{T_м^2}}$

Сократив одинаковые множители $4π^2 R$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{a_с}{a_м} = \frac{T_м^2}{T_с^2} = (\frac{T_м}{T_с})^2$

Теперь подставим числовые значения периодов, выраженные в секундах:

$\frac{a_с}{a_м} = (\frac{3600 \text{ с}}{60 \text{ с}})^2 = 60^2 = 3600$

Полученное отношение $\frac{a_с}{a_м} = 3600$ показывает, что ускорение конца секундной стрелки в 3600 раз больше ускорения конца минутной стрелки. Следовательно, секундная стрелка движется с большим ускорением.

Ответ: отношение ускорения конца секундной стрелки к ускорению конца минутной стрелки равно 3600. С большим ускорением движется секундная стрелка.