Номер 5, страница 43 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

5. Докажите, что ускорение движения крайней точки стрелки часов в 2 раза больше ускорения средней точки этой стрелки (т. е. точки, находящейся посередине между центром вращения стрелки и её концом).

Дано:

$R_1$ — расстояние от центра вращения до крайней точки стрелки.

$a_1$ — ускорение крайней точки стрелки.

$R_2$ — расстояние от центра вращения до средней точки стрелки.

$a_2$ — ускорение средней точки стрелки.

По условию, $R_2 = \frac{R_1}{2}$.

Найти:

Доказать, что $a_1 = 2a_2$.

Решение:

Стрелка часов является твердым телом, вращающимся вокруг неподвижной оси. Все точки твердого тела при таком движении вращаются с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Движение каждой точки по окружности является ускоренным, так как вектор скорости постоянно меняет направление. Ускорение, характеризующее это изменение, называется центростремительным. Оно направлено к центру окружности и вычисляется по формуле:

$a = \omega^2 R$

где $\omega$ — угловая скорость, а $R$ — радиус окружности (расстояние от точки до центра вращения).

Запишем формулу для ускорения крайней точки стрелки, которая находится на расстоянии $R_1$ от центра:

$a_1 = \omega^2 R_1$

Теперь запишем формулу для ускорения средней точки стрелки. Ее расстояние от центра вращения, согласно условию, равно $R_2 = \frac{R_1}{2}$:

$a_2 = \omega^2 R_2 = \omega^2 \frac{R_1}{2}$

Для того чтобы сравнить эти два ускорения, найдем их отношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\omega^2 R_1}{\omega^2 \frac{R_1}{2}}$

Сократим общие множители $\omega^2$ и $R_1$ в числителе и знаменателе дроби:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

Отсюда следует, что $a_1 = 2 a_2$.

Это означает, что ускорение движения крайней точки стрелки ровно в 2 раза больше, чем ускорение ее средней точки, что и требовалось доказать.

Ответ: Ускорение крайней точки стрелки прямо пропорционально ее расстоянию от центра вращения ($a = \omega^2 R$). Поскольку крайняя точка находится вдвое дальше от центра, чем средняя точка ($R_1 = 2R_2$), ее ускорение в 2 раза больше.