Номер 7, страница 43 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

7*. Линейная скорость точки на ободе вращающегося колеса равна 2 м/с. Точка, расположенная на 10 см ближе к оси, имеет линейную скорость 1 м/с. Определите угловые скорости этих точек, частоты и периоды их обращения.

Дано:

$v_1 = 2 \text{ м/с}$

$v_2 = 1 \text{ м/с}$

$\Delta R = 10 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$\Delta R = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$\omega - ?$

$f - ?$

$T - ?$

Решение:

Все точки вращающегося твердого тела (колеса) имеют одинаковую угловую скорость $\omega$, частоту $f$ и период обращения $T$. Поэтому нам нужно найти одно значение для каждой из этих величин.

Связь между линейной скоростью $v$ и угловой скоростью $\omega$ для точки, находящейся на расстоянии $R$ от оси вращения, задается формулой:

$v = \omega R$

Пусть $R$ - радиус колеса (расстояние от оси до точки на ободе). Тогда линейная скорость точки на ободе равна:

$v_1 = \omega R$

Вторая точка расположена на расстоянии $r$ от оси, которое на $\Delta R$ меньше, чем радиус колеса:

$r = R - \Delta R$

Линейная скорость этой точки равна:

$v_2 = \omega r = \omega (R - \Delta R)$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 = \omega R \\ v_2 = \omega (R - \Delta R) \end{cases}$

Выразим $R$ из первого уравнения: $R = v_1 / \omega$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$v_2 = \omega (\frac{v_1}{\omega} - \Delta R)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\omega$:

$v_2 = v_1 - \omega \Delta R$

$\omega \Delta R = v_1 - v_2$

$\omega = \frac{v_1 - v_2}{\Delta R}$

Подставим числовые значения:

$\omega = \frac{2 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с}}{0.1 \text{ м}} = \frac{1 \text{ м/с}}{0.1 \text{ м}} = 10 \text{ рад/с}$

Теперь, зная угловую скорость, можем найти частоту и период обращения. Связь между угловой скоростью и частотой:

$\omega = 2\pi f$

Отсюда частота $f$:

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} \text{ Гц}$

Период обращения $T$ является величиной, обратной частоте:

$T = \frac{1}{f}$

Также период можно найти из формулы для угловой скорости:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Отсюда период $T$:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \text{ с}$

Ответ: угловая скорость всех точек колеса равна $10 \text{ рад/с}$, частота обращения равна $\frac{5}{\pi} \text{ Гц}$ (приблизительно $1.59 \text{ Гц}$), а период обращения равен $\frac{\pi}{5} \text{ с}$ (приблизительно $0.628 \text{ с}$).