Страница 30 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Запишите формулу, по которой можно рассчитать проекцию вектора мгновенной скорости прямолинейного равноускоренного движения, если известны: а) проекция вектора начальной скорости и проекция вектора ускорения; б) проекция вектора ускорения при том, что начальная скорость равна нулю.

а) При прямолинейном равноускоренном движении проекция вектора ускорения $a_x$ постоянна. Мгновенная скорость изменяется со временем по линейному закону. Формула для расчета проекции вектора мгновенной скорости $v_x$ в любой момент времени $t$ выводится из определения ускорения. Она связывает мгновенную скорость с начальной скоростью и ускорением. Если известны проекция вектора начальной скорости $v_{0x}$ и проекция вектора ускорения $a_x$, то проекция мгновенной скорости $v_x$ через промежуток времени $t$ рассчитывается следующим образом: к проекции начальной скорости прибавляется произведение проекции ускорения на время.

Ответ: $v_x = v_{0x} + a_x t$.

б) В случае, когда начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$), тело начинает движение из состояния покоя. Это означает, что проекция вектора начальной скорости на ось также равна нулю ($v_{0x} = 0$). Для получения искомой формулы нужно подставить это значение в общую формулу из пункта а).

$v_x = 0 + a_x t$

В результате формула упрощается, и проекция мгновенной скорости становится прямо пропорциональной проекции ускорения и времени движения.

Ответ: $v_x = a_x t$.

2. Что представляет собой график проекции вектора скорости равноускоренного движения при начальной скорости: а) равной нулю; б) не равной нулю?

График проекции вектора скорости равноускоренного движения представляет собой график зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$. Эта зависимость описывается уравнением:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

где $v_{0x}$ — проекция начальной скорости, а $a_x$ — проекция ускорения (которая является постоянной величиной при равноускоренном движении). Данное уравнение является линейной функцией вида $y = kx + b$. Следовательно, график зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ всегда является прямой линией.

а) равной нулю

В случае, когда начальная скорость равна нулю ($v_{0x} = 0$), уравнение зависимости проекции скорости от времени принимает вид:

$v_x(t) = a_x t$

Это уравнение прямой пропорциональности. Графиком такой функции является прямая линия, которая проходит через начало координат (точку с координатами $(0, 0)$). Угловой коэффициент (наклон) этой прямой по отношению к оси времени равен проекции ускорения $a_x$.

Ответ: График представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

б) не равной нулю

Когда начальная скорость не равна нулю ($v_{0x} \neq 0$), используется полное уравнение для проекции скорости:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Это общее уравнение прямой линии. График такой функции — это прямая, которая не проходит через начало координат. В начальный момент времени ($t=0$) скорость равна $v_x(0) = v_{0x}$. Это означает, что прямая пересекает ось скоростей (ось ординат) в точке, значение которой равно проекции начальной скорости $v_{0x}$. Наклон прямой, как и в предыдущем случае, равен проекции ускорения $a_x$.

Ответ: График представляет собой прямую линию, которая не проходит через начало координат и пересекает ось скоростей в точке, равной проекции начальной скорости.

1. Чем сходны и чем отличаются друг от друга движения, графики которых представлены на рисунках 16 и 17?

Для сравнения движений, представленных на графиках, предположим, что на рисунке 16 представлен график зависимости координаты от времени $x(t)$ (парабола), а на рисунке 17 — график зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ (прямая линия), так как это является стандартным представлением равноускоренного движения в физике.

Сходство

Главное сходство заключается в том, что оба графика описывают один и тот же вид движения — прямолинейное равноускоренное движение. Это движение, при котором тело движется с постоянным ускорением ($a_x = \text{const}$). Следовательно, физическая сущность движения, представленного на обоих графиках, одинакова. Оно описывается одними и теми же кинематическими уравнениями:

• $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$
• $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

Различие

Различие состоит в способе графического представления этого движения. На графиках показаны зависимости разных физических величин от времени, что приводит к разной форме кривых.

• Рисунок 16 — это график координаты от времени ($x$ от $t$). Для равноускоренного движения он имеет форму параболы. По нему можно напрямую определить положение тела в любой момент времени.
• Рисунок 17 — это график скорости от времени ($v_x$ от $t$). Для равноускоренного движения он имеет форму прямой линии, наклоненной к оси времени. По нему можно напрямую определить скорость тела в любой момент времени.

Вследствие этого, информация о других параметрах движения извлекается из графиков по-разному. Например, ускорение на графике $v_x(t)$ — это тангенс угла наклона прямой, а на графике $x(t)$ оно связано с кривизной параболы. Перемещение на графике $v_x(t)$ — это площадь под линией, а на графике $x(t)$ — это разность конечной и начальной координат ($\Delta x = x - x_0$).

Ответ:

Сходство: оба графика описывают один и тот же вид движения — равноускоренное прямолинейное (с постоянным ускорением).

Различие: графики показывают зависимость разных физических величин от времени и имеют разную форму. График на рисунке 16 — это зависимость координаты от времени ($x(t)$), имеющая форму параболы. График на рисунке 17 — это зависимость скорости от времени ($v_x(t)$), имеющая форму прямой линии.

2. На рисунке 18 представлены графики зависимости модуля скорости от времени для двух тел, движущихся вдоль одной прямой. Охарактеризуйте движение тел. Что означает точка пересечения графиков? Сравните модули ускорений тел, не проводя расчётов. Запишите закон изменения модуля скорости для каждого тела.

Охарактеризуйте движение тел.

Графики зависимости модуля скорости от времени для обоих тел представляют собой прямые линии, наклоненные к оси времени. Это означает, что оба тела движутся прямолинейно и равноускоренно, то есть с постоянным ускорением.

Тело 1 (синий график) начинает движение с начальной скоростью $v_{01} = 4 \text{ м/с}$.

Тело 2 (красный график) начинает движение с начальной скоростью $v_{02} = 1 \text{ м/с}$.

Поскольку графики идут вверх, скорости обоих тел со временем увеличиваются.

Ответ: оба тела движутся прямолинейно равноускоренно. Начальная скорость первого тела $4 \text{ м/с}$, второго — $1 \text{ м/с}$.

Что означает точка пересечения графиков?

Точка пересечения графиков на диаграмме «скорость-время» показывает момент времени, в который скорости тел становятся одинаковыми. Судя по графику, это происходит в момент времени $t = 6 \text{ с}$. В этот момент скорость обоих тел равна $v = 7 \text{ м/с}$. Важно отметить, что это не означает, что тела встретились или находятся в одной точке пространства, а лишь то, что их скорости сравнялись.

Ответ: точка пересечения графиков означает, что в данный момент времени ($t=6 \text{ с}$) скорости тел равны ($v=7 \text{ м/с}$).

Сравните модули ускорений тел, не проводя расчётов.

В графиках зависимости скорости от времени модуль ускорения определяется тангенсом угла наклона графика к оси времени (крутизной графика). Чем круче идет вверх график, тем больше ускорение тела.

График для тела 2 (красная линия) имеет больший угол наклона к оси времени, чем график для тела 1 (синяя линия). Следовательно, модуль ускорения тела 2 больше модуля ускорения тела 1 ($a_2 > a_1$).

Ответ: модуль ускорения второго тела больше модуля ускорения первого тела ($a_2 > a_1$).

Запишите закон изменения модуля скорости для каждого тела.

Дано:

Из графиков для тела 1:

начальная скорость $v_{01} = 4 \text{ м/с}$

скорость в момент времени $t_1 = 6 \text{ с}$ равна $v_1 = 7 \text{ м/с}$

Из графиков для тела 2:

начальная скорость $v_{02} = 1 \text{ м/с}$

скорость в момент времени $t_2 = 6 \text{ с}$ равна $v_2 = 7 \text{ м/с}$

Найти:

$v_1(t) - ?$

$v_2(t) - ?$

Решение:

Закон изменения скорости при равноускоренном движении имеет вид: $v(t) = v_0 + at$.

Ускорение можно найти по формуле: $a = \frac{v - v_0}{t}$.

Для тела 1:

Найдем ускорение:

$a_1 = \frac{v_1 - v_{01}}{t_1} = \frac{7 \text{ м/с} - 4 \text{ м/с}}{6 \text{ с}} = \frac{3 \text{ м/с}}{6 \text{ с}} = 0.5 \text{ м/с}^2$.

Подставим значения в общую формулу:

$v_1(t) = 4 + 0.5t$.

Для тела 2:

Найдем ускорение:

$a_2 = \frac{v_2 - v_{02}}{t_2} = \frac{7 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с}}{6 \text{ с}} = \frac{6 \text{ м/с}}{6 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}^2$.

Подставим значения в общую формулу:

$v_2(t) = 1 + 1 \cdot t$, или $v_2(t) = 1 + t$.

Ответ: закон изменения модуля скорости для первого тела: $v_1(t) = 4 + 0.5t$; для второго тела: $v_2(t) = 1 + t$. (Все величины в СИ).

3. Автобус, трогаясь от остановки, в течение 3 мин набирает скорость, следующие 5 мин движется равномерно, затем тормозит и останавливается. Ускорения автобуса на участках разгона и торможения одинаковы. Постройте график зависимости скорости автобуса от времени.

Дано:

Время разгона, $t_1 = 3$ мин

Время равномерного движения, $t_2 = 5$ мин

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Конечная скорость, $v_f = 0$ м/с

Модули ускорений на участках разгона и торможения равны: $|a_1| = |a_3|$

Перевод в систему СИ:

$t_1 = 3 \text{ мин} = 3 \cdot 60 \text{ с} = 180 \text{ с}$

$t_2 = 5 \text{ мин} = 5 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$

Найти:

Построить график зависимости скорости автобуса от времени $v(t)$.

Решение:

Движение автобуса можно разделить на три этапа:

1. Разгон: равноускоренное движение от состояния покоя в течение времени $t_1$.

2. Равномерное движение: движение с постоянной скоростью в течение времени $t_2$.

3. Торможение: равнозамедленное движение до полной остановки.

Для построения графика необходимо определить временные рамки каждого этапа.

1. Участок разгона (от 0 до 3 мин)

Автобус начинает движение с нулевой скоростью и движется равноускоренно. Зависимость скорости от времени на этом участке линейная: $v(t) = a_1 t$. В конце этого участка, в момент времени $t_1 = 3$ мин, автобус достигает своей максимальной скорости $v_{max}$.

$v_{max} = a_1 t_1$

2. Участок равномерного движения (от 3 до 8 мин)

Этот этап начинается в момент $t_1 = 3$ мин и длится $t_2 = 5$ мин. Он заканчивается в момент времени $t_1 + t_2 = 3 + 5 = 8$ мин. В течение этого времени скорость автобуса постоянна и равна $v_{max}$.

$v(t) = v_{max} = \text{const}$

3. Участок торможения (после 8 мин)

На этом участке скорость автобуса уменьшается с $v_{max}$ до нуля. Движение равнозамедленное. Найдем продолжительность этого участка, $t_3$.

Зависимость скорости от времени при торможении: $v_f = v_{max} + a_3 t_3$.

Поскольку конечная скорость $v_f = 0$, получаем:

$0 = v_{max} + a_3 t_3 \implies v_{max} = -a_3 t_3$

По условию задачи, модуль ускорения при разгоне равен модулю ускорения при торможении: $|a_1| = |a_3|$. Учтем, что при разгоне ускорение $a_1$ положительно, а при торможении $a_3$ отрицательно. Таким образом, $a_1 = -a_3$. Обозначим модуль ускорения как $a = a_1 = -a_3$.

Теперь мы можем приравнять выражения для $v_{max}$ из первого и третьего участков:

$a_1 t_1 = -a_3 t_3$

$a \cdot t_1 = -(-a) \cdot t_3$

$a \cdot t_1 = a \cdot t_3$

Так как $a \ne 0$ (иначе разгона и торможения не было бы), можно сократить на $a$:

$t_1 = t_3$

Поскольку время разгона $t_1 = 3$ мин, время торможения $t_3$ также равно 3 мин.

Третий участок начинается в момент времени 8 мин и длится 3 мин, то есть заканчивается в $8 + 3 = 11$ мин.

Построение графика $v(t)$

На оси абсцисс откладываем время $t$ в минутах, на оси ординат — скорость $v$. Так как значение максимальной скорости не задано, обозначим его на графике как $v_{max}$.

• От 0 до 3 мин: График представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат (0, 0) и доходящую до точки ($3, v_{max}$).

• От 3 до 8 мин: График — горизонтальная прямая на уровне $v_{max}$, соединяющая точки ($3, v_{max}$) и ($8, v_{max}$).

• От 8 до 11 мин: График — прямая линия, идущая вниз от точки ($8, v_{max}$) до точки (11, 0) на оси времени.

Ответ:

График зависимости скорости автобуса от времени представлен выше. Он имеет трапециевидную форму и состоит из трех линейных участков. Сначала скорость линейно возрастает в течение 3 минут, затем остается постоянной в течение 5 минут, после чего линейно уменьшается до нуля в течение следующих 3 минут. Общее время движения составляет 11 минут.

1. Хоккеист слегка ударил клюшкой по шайбе, придав ей скорость 2 м/с. Чему будет равна скорость шайбы через 4 с после удара, если в результате трения о лёд она движется с ускорением 0,25 м/с²?

Дано:

Начальная скорость шайбы $v_0 = 2$ м/с

Время движения $t = 4$ с

Модуль ускорения шайбы $a = 0,25$ м/с²

Найти:

Конечную скорость шайбы $v$

Решение:

Для нахождения скорости тела при прямолинейном равноускоренном движении используется формула:

$v = v_0 + at$

где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение и $t$ — время.

Согласно условию, ускорение шайбы вызвано трением о лёд. Сила трения всегда направлена против направления движения, следовательно, она замедляет шайбу. Это означает, что движение является равнозамедленным. Если направить ось координат по направлению начального движения шайбы, то проекция начальной скорости будет положительной ($v_0 = 2$ м/с), а проекция ускорения — отрицательной, так как оно направлено в противоположную сторону ($a = -0,25$ м/с²).

Подставим значения в формулу, учитывая знак ускорения:

$v = 2 \, \text{м/с} + (-0,25 \, \text{м/с}^2) \cdot 4 \, \text{с}$

Выполним вычисления:

$v = 2 \, \text{м/с} - 1 \, \text{м/с} = 1 \, \text{м/с}$

Поскольку полученное значение скорости положительно, шайба все еще движется в первоначальном направлении.

Ответ: скорость шайбы через 4 с после удара будет равна 1 м/с.

2. Лыжник съезжает с горы из состояния покоя с ускорением, равным 0,2 м/с². Через какой промежуток времени его скорость возрастёт до 2 м/с?

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Ускорение, $a = 0,2$ м/с²

Конечная скорость, $v = 2$ м/с

Найти:

Промежуток времени, $t$

Решение:

Данная задача описывает равноускоренное движение. Для нахождения времени воспользуемся формулой, связывающей скорость, ускорение и время при равноускоренном движении:

$v = v_0 + at$

где $v$ — конечная скорость, $v_0$ — начальная скорость, $a$ — ускорение, а $t$ — время движения.

Согласно условию, лыжник начинает движение «из состояния покоя», что означает, что его начальная скорость $v_0$ равна нулю.

$v_0 = 0$ м/с

Следовательно, формула упрощается до вида:

$v = at$

Теперь из этой формулы выразим искомый промежуток времени $t$:

$t = \frac{v}{a}$

Подставим числовые значения из условия в полученную формулу:

$t = \frac{2 \text{ м/с}}{0,2 \text{ м/с}^2} = 10 \text{ с}$

Ответ: 10 с.