Страница 34 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

3*. Приведите формулу S = $\frac{v_{0x}+v_x}{2}$• t к виду sₓ = $\frac{{v^2}_x-{v^2}_{0x}}{2a_x}$. При необходимости воспользуйтесь указаниями в ответах.

Дано:

Формула для перемещения тела при равноускоренном движении: $S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$.

Найти:

Преобразовать данную формулу к виду $s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$.

Решение:

В условии задачи $S$ и $s_x$ обозначают одну и ту же физическую величину — проекцию перемещения на ось $x$. Для удобства дальнейших выкладок будем использовать обозначение $s_x$.

Задача состоит в том, чтобы из формулы $s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$ исключить время $t$ и ввести в нее ускорение $a_x$. Для этого воспользуемся формулой для проекции скорости на ось X при равноускоренном движении:

$v_x = v_{0x} + a_x t$

Из этой формулы выразим время $t$. Сначала перенесем начальную скорость $v_{0x}$ в левую часть уравнения:

$v_x - v_{0x} = a_x t$

Затем разделим обе части на ускорение $a_x$:

$t = \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}$

Теперь подставим полученное выражение для времени $t$ в исходную формулу для перемещения $s_x$. Для удобства дальнейших преобразований поменяем слагаемые в числителе местами:

$s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t = \frac{v_x + v_{0x}}{2} \cdot \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}$

Перемножим две дроби. Числитель результирующей дроби будет равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

$s_x = \frac{(v_x + v_{0x})(v_x - v_{0x})}{2a_x}$

В числителе дроби стоит выражение, которое соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Применив эту формулу к нашему числителю, где в роли $a$ выступает $v_x$, а в роли $b$ — $v_{0x}$, получим:

$(v_x + v_{0x})(v_x - v_{0x}) = v_x^2 - v_{0x}^2$

Подставим полученный результат обратно в выражение для $s_x$:

$s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$

Таким образом, мы привели исходную формулу к требуемому виду.

Ответ: Чтобы привести формулу $S = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot t$ к виду $s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$, необходимо из формулы для скорости при равноускоренном движении $v_x = v_{0x} + a_x t$ выразить время $t = \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}$ и подставить его в исходное уравнение для перемещения. После алгебраического преобразования с использованием формулы разности квадратов получается требуемое выражение $s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}$.

4. Постройте график зависимости vₓ(t) для тела, движущегося равноускоренно в положительном направлении оси X с возрастающей по модулю скоростью. Начальная скорость движения равна 1 м/с и ускорение — 0,5 м/с². Какой путь прошло тело за 4 с?

Постройте график зависимости $v_x(t)$ для тела, движущегося равноускоренно в положительном направлении оси Х с возрастающей по модулю скоростью.

Заметим, что в условии задачи есть противоречие. Движение в положительном направлении оси Х с начальной скоростью, проекция которой на ось Х положительна, и с ускорением, проекция которого на ось Х отрицательна, является равнозамедленным. Модуль скорости при этом сначала уменьшается до нуля, а затем, после смены направления движения, возрастает. Движение с постоянно возрастающей по модулю скоростью было бы при сонаправленных векторах начальной скорости и ускорения (например, если бы проекция ускорения была положительной). Будем решать задачу, строго основываясь на приведенных числовых значениях начальной скорости и ускорения.

Зависимость проекции скорости от времени при равноускоренном движении описывается формулой:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Согласно условию, начальная скорость $v_0 = 1 \text{ м/с}$ (направлена в положительном направлении оси X, значит $v_{0x} = 1 \text{ м/с}$) и ускорение $a = -0,5 \text{ м/с}^2$ (проекция на ось X $a_x = -0,5 \text{ м/с}^2$). Подставим эти значения в формулу:

$v_x(t) = 1 - 0,5t$

Эта функция является линейной, ее график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек. При $t = 0 \text{ с}$ скорость $v_x(0) = 1 - 0,5 \cdot 0 = 1 \text{ м/с}$ (точка с координатами (0; 1)). При $t = 4 \text{ с}$ скорость $v_x(4) = 1 - 0,5 \cdot 4 = 1 - 2 = -1 \text{ м/с}$ (точка с координатами (4; -1)).

Также найдем момент времени, когда тело останавливается и меняет направление движения, приравняв скорость к нулю:

$v_x(t) = 0 \implies 1 - 0,5t = 0 \implies 0,5t = 1 \implies t = 2 \text{ с}$.

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$:

Начальная скорость движения равна 1 м/с и ускорение — 0,5 м/с². Какой путь прошло тело за 4 с?

Дано:

Начальная скорость: $v_{0x} = 1 \text{ м/с}$

Ускорение: $a_x = -0,5 \text{ м/с}^2$

Время движения: $t = 4 \text{ с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Путь $S$

Решение:

Как было установлено ранее и видно из графика $v_x(t)$, в момент времени $t = 2 \text{ с}$ скорость тела становится равной нулю, после чего тело начинает двигаться в обратном направлении (проекция скорости становится отрицательной). Это означает, что пройденный путь $S$ не будет равен модулю перемещения $\Delta x$ за все время движения.

Путь, пройденный телом, можно вычислить как сумму площадей фигур, ограниченных графиком скорости и осью времени. В данном случае это сумма площадей двух прямоугольных треугольников.

Первый участок движения (от $t_0 = 0 \text{ с}$ до $t_1 = 2 \text{ с}$): тело движется в положительном направлении оси Х. Путь $S_1$ на этом участке равен площади первого треугольника, расположенного над осью времени:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (t_1 - t_0) \cdot v_{0x} = \frac{1}{2} \cdot (2 - 0) \cdot 1 = 1 \text{ м}$.

Второй участок движения (от $t_1 = 2 \text{ с}$ до $t_2 = 4 \text{ с}$): тело движется в отрицательном направлении оси Х. Путь $S_2$ на этом участке равен площади второго треугольника, расположенного под осью времени (площадь берется по модулю):

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot (t_2 - t_1) \cdot |v_x(t_2)| = \frac{1}{2} \cdot (4 - 2) \cdot |-1| = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ м}$.

Общий путь за 4 секунды равен сумме путей, пройденных на двух участках:

$S = S_1 + S_2 = 1 \text{ м} + 1 \text{ м} = 2 \text{ м}$.

Ответ: 2 м.