Страница 31 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

3. В одних и тех же координатных осях постройте графики зависимости от времени проекции вектора скорости при прямолинейном равноускоренном движении для случаев:

Масштаб: 1 см — 1 м/с; 1 см — 1с.

Дано:

Движение прямолинейное, равноускоренное.

Случай а) начальная скорость $v_{0x} = 1$ м/с, ускорение $a_x = 0,5$ м/с$^2$.

Случай б) начальная скорость $v_{0x} = 1$ м/с, ускорение $a_x = 1$ м/с$^2$.

Случай в) начальная скорость $v_{0x} = 2$ м/с, ускорение $a_x = 1$ м/с$^2$.

Масштаб: по оси скоростей 1 см — 1 м/с; по оси времени 1 см — 1 с.

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Построить графики зависимости проекции скорости от времени $v_x(t)$ для всех трех случаев в одной системе координат.

Решение:

Зависимость проекции скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении описывается уравнением: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Это уравнение является линейной функцией вида $y = kx + b$, где $v_x$ — это $y$, $t$ — это $x$, $a_x$ — угловой коэффициент (наклон прямой), а $v_{0x}$ — начальное смещение по оси ординат (точка пересечения с осью $v_x$). Графиком такой зависимости является прямая линия. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек.

Составим уравнения для каждого случая и найдем координаты двух точек для построения каждого графика.

а) Для $v_{0x} = 1$ м/с и $a_x = 0,5$ м/с$^2$ уравнение имеет вид: $v_x(t) = 1 + 0,5t$

• При $t_1 = 0$ с, $v_x(0) = 1 + 0,5 \cdot 0 = 1$ м/с. Получаем точку (0; 1).
• При $t_2 = 4$ с, $v_x(4) = 1 + 0,5 \cdot 4 = 1 + 2 = 3$ м/с. Получаем точку (4; 3).

б) Для $v_{0x} = 1$ м/с и $a_x = 1$ м/с$^2$ уравнение имеет вид: $v_x(t) = 1 + t$

• При $t_1 = 0$ с, $v_x(0) = 1 + 0 = 1$ м/с. Получаем точку (0; 1).
• При $t_2 = 4$ с, $v_x(4) = 1 + 4 = 5$ м/с. Получаем точку (4; 5).

в) Для $v_{0x} = 2$ м/с и $a_x = 1$ м/с$^2$ уравнение имеет вид: $v_x(t) = 2 + t$

• При $t_1 = 0$ с, $v_x(0) = 2 + 0 = 2$ м/с. Получаем точку (0; 2).
• При $t_2 = 4$ с, $v_x(4) = 2 + 4 = 6$ м/с. Получаем точку (4; 6).

Теперь построим графики в одной системе координат $v_x(t)$, откладывая время $t$ в секундах по оси абсцисс, а проекцию скорости $v_x$ в м/с по оси ординат.

На графике:

• Красная линия (а) соответствует случаю $v_x(t) = 1 + 0,5t$. Она начинается в точке (0; 1) и имеет наименьший наклон, так как ускорение минимально ($a_x=0,5$ м/с$^2$).
• Зеленая линия (б) соответствует случаю $v_x(t) = 1 + t$. Она также начинается в точке (0; 1), но имеет больший наклон, чем график (а), так как ускорение больше ($a_x=1$ м/с$^2$).
• Синяя линия (в) соответствует случаю $v_x(t) = 2 + t$. Она начинается в точке (0; 2), так как начальная скорость выше. Наклон этой линии такой же, как у линии (б), поскольку ускорения в этих случаях одинаковы ($a_x=1$ м/с$^2$), поэтому графики (б) и (в) параллельны.

Ответ:

Графики зависимости проекции скорости от времени для трех заданных случаев построены на рисунке выше. Каждый график представляет собой прямую линию, положение и наклон которой определяются начальной скоростью и ускорением.

4. В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости при прямолинейном равноускоренном движении для случаев:

Для построения графиков проекции скорости от времени $v_x(t)$ используется общая формула для прямолинейного равноускоренного движения:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

Эта формула является уравнением прямой вида $y = kx + b$, где зависимая переменная — это $v_x$, независимая — $t$, угловой коэффициент (наклон прямой) — $a_x$, а точка пересечения с осью ординат — $v_{0x}$. Для построения графика прямой линии достаточно найти координаты двух любых ее точек.

а) Дано:

$v_{0x} = 4,5 \text{ м/с}$

$a_x = -1,5 \text{ м/с}^2$

Найти:

Построить график $v_x(t)$.

Решение:

Составим уравнение зависимости проекции скорости от времени для данного случая, подставив значения в общую формулу:

$v_x(t) = 4,5 - 1,5t$

Для построения графика найдем координаты двух точек:

1. В начальный момент времени $t = 0 \text{ с}$:

$v_x(0) = 4,5 - 1,5 \cdot 0 = 4,5 \text{ м/с}$.

Получаем первую точку с координатами (0; 4,5).

2. Найдем момент времени, когда тело остановится, то есть когда $v_x = 0$:

$0 = 4,5 - 1,5t$

$1,5t = 4,5$

$t = \frac{4,5}{1,5} = 3 \text{ с}$.

Получаем вторую точку с координатами (3; 0).

Ответ: График зависимости проекции скорости от времени для случая а) представляет собой прямую линию, проходящую через точки с координатами (0 с; 4,5 м/с) и (3 с; 0 м/с).

б) Дано:

$v_{0x} = 3 \text{ м/с}$

$a_x = -1 \text{ м/с}^2$

Найти:

Построить график $v_x(t)$.

Решение:

Составим уравнение зависимости проекции скорости от времени для данного случая:

$v_x(t) = 3 - 1 \cdot t = 3 - t$

Для построения графика найдем координаты двух точек:

1. В начальный момент времени $t = 0 \text{ с}$:

$v_x(0) = 3 - 0 = 3 \text{ м/с}$.

Получаем первую точку с координатами (0; 3).

2. Найдем момент времени, когда тело остановится, то есть когда $v_x = 0$:

$0 = 3 - t$

$t = 3 \text{ с}$.

Получаем вторую точку с координатами (3; 0).

Ответ: График зависимости проекции скорости от времени для случая б) представляет собой прямую линию, проходящую через точки с координатами (0 с; 3 м/с) и (3 с; 0 м/с).

Построение обоих графиков в одних координатных осях:

Для построения обоих графиков на одной координатной плоскости следует начертить оси координат: горизонтальную ось времени $t$, с, и вертикальную ось проекции скорости $v_x$, м/с.

Далее необходимо отметить вычисленные точки для каждого случая и соединить их прямыми линиями.

• График а) — прямая, проходящая через точки (0; 4,5) и (3; 0).
• График б) — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (3; 0).

Оба графика являются убывающими прямыми линиями, поскольку проекции ускорения отрицательны ($a_x < 0$). Они пересекаются в одной точке на оси времени — (3; 0). Это означает, что в обоих случаях тела прекращают движение (их скорость становится равной нулю) в один и тот же момент времени $t=3$ с.

5. На рисунке 19 представлены графики зависимости модуля вектора скорости от времени при прямолинейном движении двух тел. С каким по модулю ускорением движется тело I; тело II? Запишите закон изменения модуля скорости для каждого тела. Постройте в одних и тех же координатных осях графики зависимости а_x(t) (ось X считайте сонаправленной с вектором начальной скорости тела I).

Дано:

Из графика $v(t)$ для прямолинейного движения двух тел:

Тело I: начальная скорость $v_{01} = 3 \text{ м/с}$, скорость в момент времени $t = 4 \text{ с}$ равна $v_1 = 0 \text{ м/с}$.

Тело II: начальная скорость $v_{02} = 1 \text{ м/с}$, скорость в момент времени $t = 4 \text{ с}$ равна $v_2 = 5 \text{ м/с}$.

Ось X сонаправлена с вектором начальной скорости тела I.

Найти:

1. Модули ускорений тел I и II: $|a_1|$, $|a_2|$.

2. Законы изменения модуля скорости для каждого тела: $v_1(t)$, $v_2(t)$.

3. Графики зависимости проекции ускорения от времени $a_x(t)$ для каждого тела.

Решение:

Графики зависимости модуля скорости от времени $v(t)$ для обоих тел представляют собой прямые линии, следовательно, движение обоих тел является прямолинейным равноускоренным. Ускорение постоянно и может быть найдено как тангенс угла наклона графика $v(t)$ к оси времени.

С каким по модулю ускорением движется тело I; тело II?

Ускорение определяется по формуле: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{конечная} - v_{начальная}}{t_{конечный} - t_{начальный}}$.

Для тела I, используя точки $(0 \text{ с}; 3 \text{ м/с})$ и $(4 \text{ с}; 0 \text{ м/с})$:

$a_1 = \frac{0 \text{ м/с} - 3 \text{ м/с}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = -0.75 \text{ м/с}^2$.

Модуль ускорения тела I: $|a_1| = |-0.75 \text{ м/с}^2| = 0.75 \text{ м/с}^2$.

Для тела II, используя точки $(0 \text{ с}; 1 \text{ м/с})$ и $(4 \text{ с}; 5 \text{ м/с})$:

$a_2 = \frac{5 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{4 \text{ м/с}}{4 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}^2$.

Модуль ускорения тела II: $|a_2| = |1 \text{ м/с}^2| = 1 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Модуль ускорения тела I равен $0.75 \text{ м/с}^2$. Модуль ускорения тела II равен $1 \text{ м/с}^2$.

Запишите закон изменения модуля скорости для каждого тела.

Закон изменения скорости при равноускоренном движении имеет вид: $v(t) = v_0 + at$.

Для тела I: $v_{01} = 3 \text{ м/с}$ и $a_1 = -0.75 \text{ м/с}^2$.

$v_1(t) = 3 - 0.75t$.

Для тела II: $v_{02} = 1 \text{ м/с}$ и $a_2 = 1 \text{ м/с}^2$.

$v_2(t) = 1 + 1 \cdot t = 1 + t$.

Ответ: Закон изменения модуля скорости для тела I: $v_1(t) = 3 - 0.75t$ (в СИ). Закон изменения модуля скорости для тела II: $v_2(t) = 1 + t$ (в СИ).

Постройте в одних и тех же координатных осях графики зависимости $a_x(t)$ (ось Х считайте сонаправленной с вектором начальной скорости тела I).

Поскольку ускорения обоих тел постоянны во времени, графики $a_x(t)$ будут представлять собой прямые линии, параллельные оси времени.

Для тела I: начальная скорость $\vec{v}_{01}$ сонаправлена с осью X. Так как модуль скорости уменьшается, ускорение $\vec{a}_1$ направлено в сторону, противоположную начальной скорости и оси X. Следовательно, проекция ускорения на ось X отрицательна:

$a_{1x} = -|a_1| = -0.75 \text{ м/с}^2$.

Для тела II: модуль скорости увеличивается, значит, ускорение $\vec{a}_2$ сонаправлено с вектором скорости $\vec{v}_2$. Будем считать, что тело II также движется вдоль оси X в положительном направлении (стандартное допущение при отсутствии иной информации). Тогда его ускорение направлено вдоль оси X, и проекция ускорения на ось X положительна:

$a_{2x} = |a_2| = 1 \text{ м/с}^2$.

Графики зависимостей $a_x(t)$ для тел I и II представлены ниже.

Ответ: График зависимости $a_{1x}(t)$ для тела I - это прямая линия, параллельная оси времени, проходящая через ординату -0.75 м/с². График зависимости $a_{2x}(t)$ для тела II - это прямая линия, параллельная оси времени, проходящая через ординату 1 м/с².