Номер 4, страница 36 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

4. Запишите, как относятся друг к другу модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени, если это тело движется равноускоренно из состояния покоя.

Дано:

Движение тела — равноускоренное, прямолинейное.

Начальная скорость — $v_0 = 0$ м/с.

Рассматриваются последовательные равные промежутки времени, обозначим их $\Delta t$.

Найти:

Отношение модулей перемещений $\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots$ за эти промежутки времени.

Решение:

Перемещение тела при равноускоренном движении из состояния покоя определяется формулой, связывающей перемещение $s$ со временем $t$ и ускорением $a$:

$s(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку тело начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), формула упрощается:

$s(t) = \frac{at^2}{2}$

Эта формула описывает полное перемещение от начального момента времени $t=0$ до момента $t$.

Чтобы найти перемещение за конкретный промежуток времени, нужно найти разность перемещений в конце и в начале этого промежутка.

1. Перемещение за первый промежуток времени (от $t=0$ до $t=\Delta t$):

$\Delta s_1 = s(\Delta t) - s(0) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} - 0 = \frac{a(\Delta t)^2}{2}$.

2. Перемещение за второй промежуток времени (от $t=\Delta t$ до $t=2\Delta t$):

$\Delta s_2 = s(2\Delta t) - s(\Delta t) = \frac{a(2\Delta t)^2}{2} - \frac{a(\Delta t)^2}{2} = \frac{a}{2}(4(\Delta t)^2 - (\Delta t)^2) = 3 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$.

3. Перемещение за третий промежуток времени (от $t=2\Delta t$ до $t=3\Delta t$):

$\Delta s_3 = s(3\Delta t) - s(2\Delta t) = \frac{a(3\Delta t)^2}{2} - \frac{a(2\Delta t)^2}{2} = \frac{a}{2}(9(\Delta t)^2 - 4(\Delta t)^2) = 5 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$.

4. В общем виде, перемещение за n-й промежуток времени (от $t=(n-1)\Delta t$ до $t=n\Delta t$):

$\Delta s_n = s(n\Delta t) - s((n-1)\Delta t) = \frac{a(n\Delta t)^2}{2} - \frac{a((n-1)\Delta t)^2}{2}$

$\Delta s_n = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (n^2 - (n-1)^2) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = (2n - 1) \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$.

Из полученных выражений видно, что $\Delta s_2 = 3\Delta s_1$, $\Delta s_3 = 5\Delta s_1$, и в общем случае $\Delta s_n = (2n-1)\Delta s_1$.

Найдем отношение модулей перемещений:

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots : \Delta s_n = \frac{a(\Delta t)^2}{2} : 3\frac{a(\Delta t)^2}{2} : 5\frac{a(\Delta t)^2}{2} : \dots : (2n-1)\frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Сократив на общий множитель $\frac{a(\Delta t)^2}{2}$, получаем:

$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Ответ: Модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени при равноускоренном движении из состояния покоя, относятся друг к другу как ряд последовательных нечетных чисел: $1 : 3 : 5 : 7 : \dots$.

5. Данная закономерность, известная как закон нечетных чисел Галилея, может быть использована для нескольких целей:

1. Для экспериментальной проверки характера движения. Если измерения показывают, что пути, пройденные телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как $1:3:5:\dots$, то можно сделать вывод, что тело движется равноускоренно и начало движение из состояния покоя. Исторически этот метод использовался Галилео Галилеем для изучения свободного падения тел.

2. Для определения ускорения тела. Измерив перемещение за первый промежуток времени $\Delta s_1$ и зная длительность этого промежутка $\Delta t$, можно вычислить ускорение по формуле $a = \frac{2\Delta s_1}{(\Delta t)^2}$.

3. Для упрощения расчетов и предсказания движения. Зная перемещение за один из промежутков, можно легко найти перемещения за любые другие промежутки, не вычисляя ускорение. Например, если известно, что за первую секунду тело прошло 2 метра, то за вторую секунду оно пройдет $3 \times 2 = 6$ метров, за третью — $5 \times 2 = 10$ метров и так далее.

Ответ: Эту закономерность можно использовать для экспериментального определения характера движения (является ли оно равноускоренным с нулевой начальной скоростью), для вычисления ускорения тела, а также для упрощенного расчета и прогнозирования перемещений тела на последующих этапах движения.