Страница 63 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. На весах уравновесили неполный сосуд с водой. Нарушится ли равновесие весов, если в воду опустить палец так, чтобы он не касался дна и стенок сосуда?

1. Решение

Да, равновесие весов нарушится. Чаша весов, на которой стоит сосуд с водой, опустится вниз.

Рассмотрим это явление с точки зрения законов физики. Когда палец погружается в воду, на него со стороны воды начинает действовать выталкивающая сила, или сила Архимеда. Эта сила направлена вертикально вверх и равна весу воды, вытесненной погруженной частью пальца. Формула для силы Архимеда выглядит так:

$F_A = \rho_ж \cdot g \cdot V_{погр}$

где $\rho_ж$ — это плотность жидкости (в данном случае воды), $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{погр}$ — объем погруженной части тела (пальца).

Согласно третьему закону Ньютона, на каждое действие есть равное по величине и противоположное по направлению противодействие. Если вода выталкивает палец вверх с силой $F_A$, то палец, в свою очередь, давит на воду вниз с точно такой же по модулю силой. Эту силу реакции можно обозначить как $F_Р$.

$F_Р = F_A$

Эта дополнительная сила $F_Р$, направленная вниз, передается через воду на дно и стенки сосуда, а затем на чашу весов. Весы измеряют силу, с которой на них давят, то есть вес. Изначально они измеряли вес сосуда с водой. После погружения пальца они будут измерять суммарный вес сосуда с водой плюс дополнительную силу давления от пальца $F_Р$.

Таким образом, общий вес, измеряемый весами, увеличится на величину силы Архимеда. Это приведет к нарушению равновесия, и чаша с сосудом перевесит.

Ответ: Да, равновесие весов нарушится. Чаша с сосудом опустится, так как показания весов увеличатся на величину веса воды, вытесненной пальцем.

2. В известных опытах Отто Герике с магдебургскими полушариями с каждой стороны полушарий впрягалось по 8 лошадей. Возникнет ли большая сила тяги, если прикрепить одно полушарие к стенке, а к другому припрячь 16 лошадей?

Дано:

Случай 1: Две упряжки лошадей, по $n_1 = 8$ лошадей в каждой, тянут полушария в противоположные стороны.

Случай 2: Одно полушарие закреплено на стене, а другое тянет упряжка из $n_2 = 16$ лошадей.

Пусть сила тяги одной лошади равна $F_л$.

Найти:

Сравнить силу тяги, разрывающую полушария, в обоих случаях и определить, возникнет ли бóльшая сила тяги во втором случае.

Решение:

Сила тяги, о которой идет речь в задаче, — это сила, действующая на разрыв полушарий. Рассмотрим оба случая.

1. Случай с двумя упряжками по 8 лошадей.

Первая упряжка тянет одно полушарие с силой $F_1 = n_1 \cdot F_л = 8F_л$. Вторая упряжка тянет другое полушарие в противоположную сторону с такой же по модулю силой $F_1$. С точки зрения механики, вторая упряжка лошадей создает силу противодействия (опору) для первой. Сила, которая стремится разорвать полушария (сила натяжения), равна силе, создаваемой одной из упряжек. Таким образом, разрывающая сила в первом случае равна:

$T_1 = 8F_л$

2. Случай со стеной и 16 лошадьми.

Упряжка из 16 лошадей тянет одно из полушарий с силой $F_2 = n_2 \cdot F_л = 16F_л$. Второе полушарие закреплено на стене. Согласно третьему закону Ньютона, стена действует на закрепленное полушарие с силой реакции, равной по модулю и противоположной по направлению силе тяги лошадей. В этом случае стена выполняет роль опоры, так же, как вторая упряжка в первом эксперименте. Сила, стремящаяся разорвать полушария, равна силе тяги упряжки из 16 лошадей.

$T_2 = 16F_л$

Сравнение сил.

Сравнивая разрывающие силы в обоих случаях, получаем:

$T_1 = 8F_л$

$T_2 = 16F_л$

Очевидно, что $T_2 = 2 \cdot T_1$.

Следовательно, во втором случае сила тяги, действующая на разрыв полушарий, будет в два раза больше.

Ответ: Да, возникнет бóльшая сила тяги. Если прикрепить одно полушарие к стене, а к другому припрячь 16 лошадей, сила тяги, разрывающая полушария, будет в два раза больше, чем в случае, когда с каждой стороны тянут по 8 лошадей.

3. Вспомните, какие физические величины изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Докажите, что вид второго и третьего законов Ньютона одинаков в инерциальных системах отсчёта.

Вспомните, какие физические величины изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

При переходе от одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) к другой, движущейся относительно первой прямолинейно и равномерно, изменяются кинематические величины, которые характеризуют положение и движение тела относительно конкретной системы отсчёта. Величины, являющиеся внутренними характеристиками тел (масса) или их взаимодействий (сила), в рамках классической механики остаются неизменными. Этот факт составляет содержание принципа относительности Галилея.

Рассмотрим две ИСО: неподвижную систему $K$ и систему $K'$, которая движется относительно $K$ с постоянной скоростью $\vec{V}$. Связь между характеристиками движения тела в этих системах описывается преобразованиями Галилея:

• Радиус-вектор: $\vec{r}' = \vec{r} - \vec{V}t$
• Скорость: $\vec{v}' = \vec{v} - \vec{V}$

Из этих преобразований следует, что изменяются следующие физические величины:

• Координаты (или радиус-вектор $\vec{r}$): Их значения зависят от выбора системы отсчёта.
• Скорость ($\vec{v}$): Является относительной величиной и преобразуется по классическому закону сложения скоростей.
• Импульс ($\vec{p} = m\vec{v}$): Так как импульс прямо пропорционален скорости, он также изменяется при смене ИСО: $\vec{p}' = m\vec{v}' = m(\vec{v} - \vec{V}) = \vec{p} - m\vec{V}$.
• Кинетическая энергия ($E_k = \frac{mv^2}{2}$): Зависит от квадрата скорости, поэтому её значение также зависит от выбора ИСО.

В то же время, такие величины как время ($t$), масса ($m$), ускорение ($\vec{a}$) и сила ($\vec{F}$) в классической механике считаются инвариантными (неизменными) при переходе между ИСО.

Ответ: При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой изменяются: координаты (радиус-вектор), скорость, импульс, кинетическая энергия.

Докажите, что вид второго и третьего законов Ньютона одинаков в инерциальных системах отсчёта.

Доказательство основывается на инвариантности (неизменности) физических величин, входящих в формулировки этих законов, относительно преобразований Галилея.

Доказательство для второго закона Ньютона:

В ИСО $K$ второй закон Ньютона имеет вид: $\vec{F} = m\vec{a}$.

Нужно показать, что в ИСО $K'$, движущейся относительно $K$ с постоянной скоростью $\vec{V}$, закон примет тот же вид: $\vec{F}' = m'\vec{a}'$. Для этого проанализируем, как преобразуются величины, входящие в закон:

1. Масса ($m$): В классической механике масса является скалярной аддитивной величиной, собственной характеристикой тела, не зависящей от системы отсчёта. Следовательно, она инвариантна: $m' = m$.
2. Сила ($\vec{F}$): Силы взаимодействия (гравитационные, упругие, трения) зависят от взаимного расположения тел и их относительных скоростей. Так как при преобразованиях Галилея относительные расстояния и относительные скорости не меняются, то и силы взаимодействия инвариантны: $\vec{F}' = \vec{F}$.
3. Ускорение ($\vec{a}$): Ускорение также инвариантно. Возьмём производную по времени от закона сложения скоростей $\vec{v}' = \vec{v} - \vec{V}$. Учитывая, что в классической механике время абсолютно ($t'=t$) и скорость $\vec{V}$ постоянна ($\vec{V} = \text{const}$), получаем: $\vec{a}' = \frac{d\vec{v}'}{dt'} = \frac{d(\vec{v} - \vec{V})}{dt} = \frac{d\vec{v}}{dt} - \frac{d\vec{V}}{dt} = \vec{a} - 0 = \vec{a}$.

Теперь подставим инвариантные величины в уравнение второго закона Ньютона. Если в системе $K$ верно равенство $\vec{F} = m\vec{a}$, то, заменяя каждую величину на её аналог в системе $K'$, мы получаем $\vec{F}' = m'\vec{a}'$. Таким образом, форма (вид) второго закона Ньютона не изменилась.

Доказательство для третьего закона Ньютона:

В ИСО $K$ для двух взаимодействующих тел 1 и 2 закон записывается как: $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$, где $\vec{F}_{12}$ - сила действия тела 1 на тело 2, а $\vec{F}_{21}$ - сила действия тела 2 на тело 1.

Как было установлено выше, силы взаимодействия являются инвариантными при переходе к другой ИСО $K'$. Это значит, что $\vec{F}'_{12} = \vec{F}_{12}$ и $\vec{F}'_{21} = \vec{F}_{21}$.

Подставляя эти равенства в исходное уравнение, мы сразу получаем, что и в системе $K'$ будет выполняться соотношение: $\vec{F}'_{12} = -\vec{F}'_{21}$. Следовательно, вид третьего закона Ньютона также не изменился.

Ответ: Вид второго и третьего законов Ньютона одинаков во всех инерциальных системах отсчёта (инвариантен относительно преобразований Галилея), так как все физические величины, входящие в их формулировки (сила, масса и ускорение), не изменяются при переходе от одной ИСО к другой.

1. На рисунке 38 изображён лежащий на доске камень. Сделайте в тетради такой же рисунок и изобразите стрелками две силы, которые по третьему закону Ньютона равны друг другу. Что это за силы? Обозначьте их.

Согласно третьему закону Ньютона, силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Важно помнить, что эти силы приложены к разным телам.

В случае с камнем, лежащим на доске, мы рассматриваем взаимодействие между камнем и доской. Две силы, равные друг другу по третьему закону Ньютона, это:

1. Вес камня ($\vec{P}$) — это сила, с которой камень давит на доску из-за притяжения к Земле. Эта сила приложена к доске и направлена вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$) — это сила, с которой доска действует на камень, препятствуя его падению. Эта сила приложена к камню и направлена вертикально вверх.

Эти две силы ($\vec{P}$ и $\vec{N}$) имеют одинаковую природу (упругие силы), равны по величине ($P = N$) и противоположны по направлению ($\vec{P} = -\vec{N}$). Они являются парой "действие-противодействие".

На рисунке эти силы изображаются следующим образом:

Не следует путать эту пару сил с силой тяжести ($\vec{F_{тяж}}$), действующей на камень, и силой реакции опоры ($\vec{N}$). Сила тяжести и сила реакции опоры приложены к одному телу (камню), и их равенство (в данном случае) является следствием первого закона Ньютона (условие равновесия), а не третьего.

Ответ: Две силы, равные друг другу по третьему закону Ньютона, — это вес камня $\vec{P}$ (сила, с которой камень действует на доску) и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ (сила, с которой доска действует на камень).

2. Будет ли превышен предел измерений динамометра Д, изображённого на рисунке 39, если он рассчитан на измерение сил до 100 Н включительно?

Дано:

Вес левого груза $P_1 = 80$ Н

Вес правого груза $P_2 = 80$ Н

Предел измерений динамометра $F_{пред} = 100$ Н

Все величины представлены в системе СИ (Ньютоны), перевод не требуется.

Найти:

Будет ли превышен предел измерений динамометра?

Решение:

На рисунке изображена система из двух грузов, подвешенных через неподвижные блоки и соединенных динамометром. Система находится в равновесии. Динамометр предназначен для измерения силы, в данном случае — силы натяжения троса.

Рассмотрим силы, действующие в системе. Левый груз весом $P_1 = 80$ Н тянет трос вниз. Поскольку система находится в равновесии, сила натяжения троса $T_1$ слева от динамометра равна весу левого груза:

$T_1 = P_1 = 80$ Н

Аналогично, правый груз весом $P_2 = 80$ Н создает в правой части троса силу натяжения $T_2$, равную его весу:

$T_2 = P_2 = 80$ Н

Динамометр находится между двумя этими участками троса и измеряет силу натяжения. Важно понимать, что динамометр, растягиваемый с двух сторон одинаковыми силами, показывает величину одной из этих сил, а не их сумму. Это эквивалентно тому, если бы один конец динамометра был прикреплен к стене, а за другой тянули с силой 80 Н. Стена в этом случае оказывала бы противодействие с силой 80 Н, а динамометр показал бы 80 Н.

Следовательно, показания динамометра $F_Д$ будут равны силе натяжения:

$F_Д = T_1 = T_2 = 80$ Н

Теперь сравним полученное значение с пределом измерений динамометра:

$F_Д = 80$ Н

$F_{пред} = 100$ Н

Поскольку $80 \text{ Н} < 100 \text{ Н}$, предел измерений динамометра не будет превышен.

Ответ: предел измерений динамометра превышен не будет, так как он покажет силу 80 Н, что меньше его предела измерений в 100 Н.

3. На рисунке 40, а изображены две тележки, соединённые между собой нитью. Под действием некоторой силы F тележки пришли в движение с ускорением а = 0,2 м/с².

а) Определите проекции на ось X сил F₂ и F₁, с которыми нить действует соответственно на вторую и первую тележки. (Массой нити и трением пренебречь.)

б) Чему будут равны проекции на ось X сил F₂ и F₁, если тележки поменять местами, как показано на рисунке 40, б?

в) В каком из двух случаев, показанных на рисунке 40, нить между тележками натянута сильнее?

г) Определите проекцию силы F, под действием которой тележки пришли в движение.

Дано:

$m_1 = 0,5$ кг

$m_2 = 1,5$ кг

$a = 0,2$ м/с²

Найти:

а) $F_{2x}, F_{1x}$ - ?

б) $F_{1x}, F_{2x}$ - ?

в) В каком случае натяжение нити больше?

г) $F_x$ - ?

Решение:

Силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ — это силы натяжения нити, действующие на первую и вторую тележки соответственно. Согласно третьему закону Ньютона, они равны по модулю и противоположны по направлению: $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$. Модуль этих сил $| \vec{F_1} | = | \vec{F_2} | = T$, где $T$ — сила натяжения нити. Ось X направлена вправо.

а) Определите проекции на ось X сил $\vec{F_2}$ и $\vec{F_1}$, с которыми нить действует соответственно на вторую и первую тележки.

Рассмотрим случай, изображенный на рисунке 40, а. Внешняя сила $\vec{F}$ приложена к тележке $m_1$. Нить тянет тележку $m_2$ вправо, а тележку $m_1$ — влево.

Для нахождения сил натяжения запишем второй закон Ньютона для тележки $m_2$. На нее в горизонтальном направлении действует только сила $\vec{F_2}$, направленная вправо (сонаправлена с осью X).

В проекции на ось X:$F_{2x} = m_2 a$

Подставим значения:$F_{2x} = 1,5 \text{ кг} \cdot 0,2 \text{ м/с}^2 = 0,3 \text{ Н}$

Сила $\vec{F_1}$ действует на первую тележку, направлена влево (противоположно оси X) и равна по модулю силе $\vec{F_2}$. Следовательно, ее проекция отрицательна:$F_{1x} = -F_{2x} = -0,3 \text{ Н}$

Ответ: проекция силы на вторую тележку $F_{2x} = 0,3 \text{ Н}$, проекция силы на первую тележку $F_{1x} = -0,3 \text{ Н}$.

б) Чему будут равны проекции на ось X сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, если тележки поменять местами, как показано на рисунке 40, б?

Теперь внешняя сила $\vec{F}$ приложена к тележке $m_2$. Нить тянет тележку $m_1$ вправо, а тележку $m_2$ — влево.

Запишем второй закон Ньютона для тележки $m_1$. На нее в горизонтальном направлении действует только сила $\vec{F_1}$, направленная вправо (сонаправлена с осью X).

В проекции на ось X:$F_{1x} = m_1 a$

Подставим значения:$F_{1x} = 0,5 \text{ кг} \cdot 0,2 \text{ м/с}^2 = 0,1 \text{ Н}$

Сила $\vec{F_2}$ действует на вторую тележку, направлена влево (противоположно оси X) и равна по модулю силе $\vec{F_1}$. Следовательно, ее проекция отрицательна:$F_{2x} = -F_{1x} = -0,1 \text{ Н}$

Ответ: проекция силы на первую тележку $F_{1x} = 0,1 \text{ Н}$, проекция силы на вторую тележку $F_{2x} = -0,1 \text{ Н}$.

в) В каком из двух случаев, показанных на рисунке 40, нить между тележками натянута сильнее?

Сила натяжения нити — это модуль сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$.

В первом случае (а) сила натяжения $T_a = |F_{2x}| = 0,3 \text{ Н}$.

Во втором случае (б) сила натяжения $T_b = |F_{1x}| = 0,1 \text{ Н}$.

Сравнивая значения, получаем: $0,3 \text{ Н} > 0,1 \text{ Н}$, то есть $T_a > T_b$.

Ответ: нить натянута сильнее в первом случае (рисунок 40, а), так как она сообщает ускорение более массивной тележке.

г) Определите проекцию силы $\vec{F}$, под действием которой тележки пришли в движение.

Сила $\vec{F}$ сообщает ускорение $a$ всей системе, состоящей из двух тележек. Рассматриваем систему как единое целое с общей массой $M = m_1 + m_2$.

Запишем второй закон Ньютона для всей системы. Сила $\vec{F}$ направлена вправо, ее проекция на ось X положительна.

$F_x = (m_1 + m_2) a$

Подставим значения:$F_x = (0,5 \text{ кг} + 1,5 \text{ кг}) \cdot 0,2 \text{ м/с}^2 = 2,0 \text{ кг} \cdot 0,2 \text{ м/с}^2 = 0,4 \text{ Н}$

Ответ: проекция силы $\vec{F}$ на ось X равна $0,4 \text{ Н}$.