Страница 59 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

5. Что можно сказать о направлении вектора ускорения и вектора равнодействующей приложенных к телу сил?

5. Решение

Связь между направлением вектора ускорения $\vec{a}$ и направлением вектора равнодействующей силы $\vec{F}$, приложенной к телу, определяется вторым законом Ньютона.

Второй закон Ньютона в векторной форме записывается следующим образом: $$ \vec{F} = m \cdot \vec{a} $$ где $\vec{F}$ — вектор равнодействующей всех сил, действующих на тело, $m$ — масса тела, а $\vec{a}$ — вектор ускорения, сообщаемого этой силой.

Из этой формулы можно выразить вектор ускорения: $$ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} $$

В данном уравнении масса $m$ является скалярной (числовой) и всегда положительной величиной ($m > 0$). Умножение вектора (в данном случае $\vec{F}$) на положительный скаляр ($1/m$) изменяет его модуль (длину), но не изменяет его направления. Таким образом, вектор ускорения $\vec{a}$ будет иметь то же направление, что и вектор равнодействующей силы $\vec{F}$.

Ответ: Вектор ускорения тела всегда сонаправлен с вектором равнодействующей всех сил, приложенных к этому телу.

1. Можно ли по направлению силы судить о направлении движения тела? Приведите примеры.

Нет, по направлению силы не всегда можно однозначно судить о направлении движения тела. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу ($\vec{F}$), определяет направление его ускорения ($\vec{a}$), а не скорости. Формула выглядит так: $\vec{F} = m\vec{a}$.

Ускорение, в свою очередь, характеризует изменение скорости тела, а не саму скорость. Направление движения тела в данный момент времени совпадает с направлением его вектора скорости ($\vec{v}$). Направления векторов скорости и силы могут совпадать, быть противоположными или находиться под углом друг к другу.

Приведем несколько примеров:

1. Сила и движение направлены в противоположные стороны.

Когда автомобиль тормозит, он продолжает двигаться вперед (по инерции), но равнодействующая сила (сила трения и торможения) направлена назад, против движения. Другой пример — камень, подброшенный вертикально вверх. Пока он летит вверх, его скорость направлена вверх, а действующая на него сила тяжести — вниз.

2. Сила направлена перпендикулярно движению.

Спутник, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, в любой точке траектории имеет скорость, направленную по касательной к орбите. Сила же всемирного тяготения, удерживающая его на орбите, направлена к центру Земли, то есть перпендикулярно вектору скорости. В этом случае сила постоянно изменяет направление движения, не меняя величину скорости.

3. Сила направлена под углом к движению.

Тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболической траектории. Если пренебречь сопротивлением воздуха, единственная действующая на него сила — это сила тяжести, которая всегда направлена вертикально вниз. При этом вектор скорости тела в каждой точке (кроме самой верхней точки траектории) направлен по касательной к параболе, то есть под некоторым углом к вертикали.

Таким образом, зная направление силы, мы можем судить лишь о направлении ускорения (то есть о том, как именно будет меняться вектор скорости), но не о направлении самого движения (вектора скорости) в текущий момент времени.

Ответ: Нет, по направлению силы не всегда можно судить о направлении движения тела. Направление силы совпадает с направлением ускорения, а не скорости. Направление движения тела и направление действующей на него силы могут быть сонаправлены, противоположно направлены или находиться под любым углом друг к другу.

2. Тело движется прямолинейно с постоянным ускорением. Какая величина, характеризующая движение этого тела, всегда сонаправлена с равнодействующей приложенных к телу сил, а какие величины могут быть направлены противоположно равнодействующей?

Какая величина, характеризующая движение этого тела, всегда сонаправлена с равнодействующей приложенных к телу сил

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил $\vec{F}$, приложенных к телу, связана с ускорением $\vec{a}$, которое это тело приобретает, и его массой $m$ следующим соотношением:

$\vec{F} = m \cdot \vec{a}$

В этой формуле сила $\vec{F}$ и ускорение $\vec{a}$ являются векторными величинами, а масса $m$ — скалярной и всегда положительной величиной ($m > 0$).

Умножение вектора (в данном случае, ускорения $\vec{a}$) на положительный скаляр (массу $m$) дает новый вектор (силу $\vec{F}$), который всегда направлен в ту же сторону, что и исходный вектор. Следовательно, вектор ускорения $\vec{a}$ всегда сонаправлен вектору равнодействующей силы $\vec{F}$.

Ответ: Ускорение.

а какие величины могут быть направлены противоположно равнодействующей?

Вектор скорости $\vec{v}$, вектор перемещения $\vec{s}$ и вектор импульса $\vec{p}$ могут быть направлены противоположно равнодействующей силе. Это происходит в случае равнозамедленного движения, когда скорость тела уменьшается.

При равнозамедленном движении вектор ускорения $\vec{a}$ направлен против вектора скорости $\vec{v}$. Поскольку, как мы выяснили выше, ускорение $\vec{a}$ всегда сонаправлено с равнодействующей силой $\vec{F}$, то и сила $\vec{F}$ в этом случае будет направлена против скорости $\vec{v}$.

Например, когда автомобиль тормозит, его скорость направлена вперед, а равнодействующая сила (включающая силу трения и сопротивления воздуха) направлена назад. В результате ускорение также направлено назад, и скорость автомобиля уменьшается. Перемещение автомобиля за время торможения также будет направлено вперед, то есть противоположно силе.

Вектор импульса тела определяется как $\vec{p} = m \cdot \vec{v}$. Так как масса $m$ — положительная величина, вектор импульса $\vec{p}$ всегда сонаправлен вектору скорости $\vec{v}$. Следовательно, при торможении импульс также будет направлен противоположно равнодействующей силе.

Ответ: Скорость, перемещение, импульс.

3*. Тело движется прямолинейно под действием силы, модуль которой изменяется с течением времени (рис. 33). Охарактеризуйте движение, соответствующее каждому участку графика. Сравните изменения модуля скорости тела на каждом участке.

Дано:

График зависимости модуля силы $F$ от времени $t$ для тела, движущегося прямолинейно.

Участок AB: $t_1 = 0$ c, $t_2 = 3$ c. Сила $F$ линейно возрастает от $F_1 = 0$ Н до $F_2 = 2$ Н.

Участок BC: $t_2 = 3$ c, $t_3 = 6$ c. Сила $F = 2$ Н (постоянна).

Участок CD: $t_3 = 6$ c, $t_4 = 9$ c. Сила $F$ линейно убывает от $F_3 = 2$ Н до $F_4 = 0$ Н.

Участок DE: $t_4 = 9$ c, $t_5 = 12$ c. Сила $F = 0$ Н.

Масса тела $m$ = const.

Найти:

1. Охарактеризовать движение на каждом участке графика.

2. Сравнить изменения модуля скорости тела $\Delta v$ на каждом участке.

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, сила $F$, действующая на тело, связана с его массой $m$ и ускорением $a$ соотношением $F = ma$. Поскольку масса тела постоянна, ускорение прямо пропорционально действующей силе: $a = F/m$. Следовательно, характер изменения ускорения со временем будет таким же, как и характер изменения силы.

Охарактеризуйте движение, соответствующее каждому участку графика.

- Участок AB (0 с - 3 с): Модуль силы линейно возрастает от 0 до 2 Н. Это означает, что ускорение тела также линейно возрастает со временем. Движение является прямолинейным с переменным, линейно возрастающим ускорением. Скорость тела увеличивается.

- Участок BC (3 с - 6 с): Модуль силы постоянен и равен 2 Н. Следовательно, ускорение тела также постоянно ($a = F/m = \text{const}$). Движение является прямолинейным равноускоренным. Скорость тела линейно увеличивается.

- Участок CD (6 с - 9 с): Модуль силы линейно убывает от 2 Н до 0 Н. Ускорение тела также линейно убывает. Поскольку сила все еще направлена в сторону движения ($F > 0$), тело продолжает ускоряться, но все медленнее. Движение является прямолинейным с переменным, линейно убывающим ускорением. Скорость продолжает увеличиваться, но темп ее роста замедляется.

- Участок DE (9 с - 12 с): Модуль силы равен нулю. Следовательно, ускорение тела также равно нулю ($a=0$). Согласно первому закону Ньютона, тело движется с постоянной скоростью. Движение является прямолинейным равномерным.

Ответ: На участке AB движение прямолинейное с линейно возрастающим ускорением. На участке BC – прямолинейное равноускоренное. На участке CD – прямолинейное с линейно убывающим ускорением. На участке DE – прямолинейное равномерное.

Сравните изменения модуля скорости тела на каждом участке.

Изменение модуля скорости $\Delta v$ за промежуток времени $\Delta t$ можно найти через импульс силы. Изменение импульса тела $\Delta p$ равно импульсу силы $I$: $\Delta p = I$. Импульс силы равен площади под графиком зависимости силы от времени $F(t)$.

Так как $\Delta p = m \Delta v$, то изменение скорости $\Delta v = \frac{\Delta p}{m} = \frac{I}{m}$. Таким образом, изменение скорости на каждом участке пропорционально площади под графиком $F(t)$ на этом участке.

Рассчитаем площади для каждого участка:

- Участок AB: Площадь треугольника.

$I_{AB} = S_{AB} = \frac{1}{2} \cdot (3 \text{ c} - 0 \text{ c}) \cdot 2 \text{ Н} = 3 \text{ Н} \cdot \text{с}$.

Изменение скорости: $\Delta v_{AB} = \frac{3}{m}$.

- Участок BC: Площадь прямоугольника.

$I_{BC} = S_{BC} = (6 \text{ c} - 3 \text{ c}) \cdot 2 \text{ Н} = 6 \text{ Н} \cdot \text{с}$.

Изменение скорости: $\Delta v_{BC} = \frac{6}{m}$.

- Участок CD: Площадь треугольника.

$I_{CD} = S_{CD} = \frac{1}{2} \cdot (9 \text{ c} - 6 \text{ c}) \cdot 2 \text{ Н} = 3 \text{ Н} \cdot \text{с}$.

Изменение скорости: $\Delta v_{CD} = \frac{3}{m}$.

- Участок DE: Площадь под графиком равна нулю.

$I_{DE} = S_{DE} = (12 \text{ c} - 9 \text{ c}) \cdot 0 \text{ Н} = 0 \text{ Н} \cdot \text{с}$.

Изменение скорости: $\Delta v_{DE} = 0$.

Сравнивая полученные значения, получаем: $\Delta v_{BC} > \Delta v_{AB} = \Delta v_{CD} > \Delta v_{DE}$.

Ответ: Наибольшее изменение модуля скорости происходит на участке BC. Изменения скорости на участках AB и CD равны между собой и в два раза меньше, чем на участке BC. На участке DE скорость не изменяется. Соотношение изменений скорости: $\Delta v_{BC} > \Delta v_{AB} = \Delta v_{CD} > \Delta v_{DE}$.

1. Определите силу, под действием которой велосипедист скатывается с горки с ускорением, равным 0,8 м/с², если масса велосипедиста вместе с велосипедом равна 50 кг.

Дано:

$a = 0,8 \text{ м/с}^2$

$m = 50 \text{ кг}$

Найти:

$F$ - ?

Решение:

Для определения силы, вызывающей ускорение тела, воспользуемся вторым законом Ньютона. Этот закон гласит, что равнодействующая сила, приложенная к телу, равна произведению массы тела на ускорение, которое эта сила ему сообщает.

Формула второго закона Ньютона:

$F = m \cdot a$

Где:

• $F$ – искомая сила в ньютонах (Н)
• $m$ – масса тела в килограммах (кг)
• $a$ – ускорение тела в метрах на секунду в квадрате (м/с²)

Подставим заданные значения в формулу:

$F = 50 \text{ кг} \cdot 0,8 \text{ м/с}^2 = 40 \text{ Н}$

Таким образом, сила, под действием которой велосипедист скатывается с горы с заданным ускорением, составляет 40 Ньютонов. Эта сила является равнодействующей всех сил, действующих на велосипедиста в направлении движения (составляющая силы тяжести, сила трения, сопротивление воздуха).

Ответ: сила равна 40 Н.

2. Через 20 с после начала движения электровоз развил скорость 4 м/с. Найдите силу, сообщающую ему ускорение, если масса электровоза равна 184 т.

Дано:

$t = 20 \text{ с}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (начало движения)

$v = 4 \text{ м/с}$

$m = 184 \text{ т}$

$m = 184 \text{ т} = 184 \cdot 1000 \text{ кг} = 184000 \text{ кг}$

Найти:

$F - ?$

Решение:

Для нахождения силы, сообщающей ускорение, воспользуемся вторым законом Ньютона:

$F = m \cdot a$

где $F$ – сила, $m$ – масса тела, $a$ – ускорение.

Масса электровоза известна, а ускорение можно найти из формулы для скорости при равноускоренном движении, зная, что начальная скорость $v_0$ равна нулю, так как движение начинается из состояния покоя:

$v = v_0 + a \cdot t$

$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{v}{t}$

Вычислим ускорение электровоза:

$a = \frac{4 \text{ м/с}}{20 \text{ с}} = 0.2 \text{ м/с}^2$

Теперь, зная массу и ускорение, можем вычислить силу:

$F = 184000 \text{ кг} \cdot 0.2 \text{ м/с}^2 = 36800 \text{ Н}$

Результат можно выразить в килоньютонах (кН), зная, что $1 \text{ кН} = 1000 \text{ Н}$:

$36800 \text{ Н} = 36.8 \text{ кН}$

Ответ: сила, сообщающая ускорение электровозу, равна $36800 \text{ Н}$ или $36.8 \text{ кН}$.

3. Два тела равной массы движутся с ускорениями 0,08 и 0,64 м/с² соответственно. Равны ли модули действующих на тела сил? Чему равна сила, действующая на второе тело, если на первое действует сила 1,2 Н?

Равны ли модули действующих на тела сил?

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, определяется формулой $F = ma$, где $m$ – масса тела, а $a$ – его ускорение. Для первого тела сила равна $F_1 = m_1 a_1$. Для второго тела сила равна $F_2 = m_2 a_2$. По условию задачи, массы тел равны ($m_1 = m_2 = m$), а ускорения различны ($a_1 = 0,08 \text{ м/с}^2$, $a_2 = 0,64 \text{ м/с}^2$). Поскольку $a_1 \neq a_2$, то и модули сил, действующих на тела, не будут равны ($F_1 \neq F_2$).

Ответ: Нет, модули действующих на тела сил не равны, так как при равных массах тела движутся с разными ускорениями.

Чему равна сила, действующая на второе тело, если на первое действует сила 1,2 Н?

Дано:

$m_1 = m_2 = m$

$a_1 = 0,08 \text{ м/с}^2$

$a_2 = 0,64 \text{ м/с}^2$

$F_1 = 1,2 \text{ Н}$

Найти:

$F_2$ - ?

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела:

$F_1 = m a_1$

$F_2 = m a_2$

Поскольку масса $m$ в обоих уравнениях одинакова, мы можем составить отношение сил, чтобы исключить массу:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{m a_2}{m a_1} = \frac{a_2}{a_1}$

Из этого отношения выразим искомую силу $F_2$:

$F_2 = F_1 \cdot \frac{a_2}{a_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$F_2 = 1,2 \text{ Н} \cdot \frac{0,64 \text{ м/с}^2}{0,08 \text{ м/с}^2} = 1,2 \text{ Н} \cdot 8 = 9,6 \text{ Н}$

Ответ: $9,6 \text{ Н}$.

4. С каким ускорением будет всплывать находящийся под водой мяч массой 0,5 кг, если действующая на него сила тяжести равна 5 Н, архимедова сила — 10 Н, а средняя сила сопротивления движению — 2 Н?

Дано:

Масса мяча, $m = 0,5$ кг

Сила тяжести, $F_{тяж} = 5$ Н

Архимедова сила, $F_А = 10$ Н

Сила сопротивления, $F_{сопр} = 2$ Н

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Ускорение мяча, $a$.

Решение:

Движение мяча описывается вторым законом Ньютона, согласно которому равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

$\vec{F}_{равн} = m \cdot \vec{a}$

На мяч, когда он всплывает, действуют три силы:

• Архимедова (выталкивающая) сила $F_А$, направленная вертикально вверх.
• Сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вертикально вниз.
• Сила сопротивления воды $F_{сопр}$, направленная против движения, то есть вертикально вниз.

Направим ось координат OY вертикально вверх, по направлению движения мяча. Тогда второй закон Ньютона в проекции на эту ось запишется следующим образом:

$F_А - F_{тяж} - F_{сопр} = m \cdot a$

Отсюда мы можем выразить искомое ускорение $a$:

$a = \frac{F_А - F_{тяж} - F_{сопр}}{m}$

Подставим известные значения в формулу:

$a = \frac{10 \, \text{Н} - 5 \, \text{Н} - 2 \, \text{Н}}{0,5 \, \text{кг}} = \frac{3 \, \text{Н}}{0,5 \, \text{кг}} = 6 \, \text{м/с}^2$

Ответ: ускорение, с которым будет всплывать мяч, равно $6 \, \text{м/с}^2$.

5. Найдите ускорение тела массой 200 г, на которое действуют две силы, как показано на рисунке 34.

Дано:

$m = 0,5 \text{ кг}$

$F_т = 5 \text{ Н}$

$F_А = 10 \text{ Н}$

$F_с = 2 \text{ Н}$

Найти:

$a$ - ?

Решение:

На мяч, всплывающий из-под воды, действуют три силы: сила тяжести ($F_т$), направленная вертикально вниз; архимедова сила ($F_А$), направленная вертикально вверх; и сила сопротивления движению ($F_с$), которая всегда направлена против вектора скорости. Так как мяч всплывает (движется вверх), сила сопротивления направлена вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = \vec{F}_А + \vec{F}_т + \vec{F}_с$

Выберем вертикальную ось OY, направленную вверх. Спроецируем векторное уравнение на эту ось. Учтем, что проекции сил $F_т$ и $F_с$ будут отрицательными, а проекция силы $F_А$ — положительной.

$ma = F_А - F_т - F_с$

Из этого уравнения выразим ускорение $a$:

$a = \frac{F_А - F_т - F_с}{m}$

Подставим данные из условия задачи:

$a = \frac{10 \text{ Н} - 5 \text{ Н} - 2 \text{ Н}}{0,5 \text{ кг}} = \frac{3 \text{ Н}}{0,5 \text{ кг}} = 6 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение мяча равно $6 \text{ м/с}^2$.

5. Дано:

$m = 200 \text{ г}$

Из рисунка 34:

Масштаб: 1 деление = $1 \text{ Н}$

$F_1 = 2 \text{ деления} = 2 \text{ Н}$

$F_2 = 3 \text{ деления} = 3 \text{ Н}$

Силы $F_1$ и $F_2$ взаимно перпендикулярны.

$m = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$

Найти:

$a$ - ?

Решение:

На тело действуют две силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$, расположенные под прямым углом друг к другу. Чтобы найти ускорение, сначала необходимо найти равнодействующую (векторную сумму) этих сил $\vec{F}_R$.

$\vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$

Так как векторы сил перпендикулярны, модуль равнодействующей силы можно найти по теореме Пифагора:

$F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$

Подставим модули сил, определенные по рисунку:

$F_R = \sqrt{(2 \text{ Н})^2 + (3 \text{ Н})^2} = \sqrt{4 \text{ Н}^2 + 9 \text{ Н}^2} = \sqrt{13} \text{ Н}$

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила связана с массой и ускорением тела соотношением:

$F_R = ma$

Отсюда выразим ускорение $a$:

$a = \frac{F_R}{m}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$a = \frac{\sqrt{13} \text{ Н}}{0,2 \text{ кг}} \approx \frac{3,606 \text{ Н}}{0,2 \text{ кг}} \approx 18,03 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение тела примерно равно $18,03 \text{ м/с}^2$.