Номер 3, страница 72 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 16. Невесомость и перегрузки. Задание 15 - номер 3, страница 72.

Условие.

3. Камень массой 400 г вращают равномерно в вертикальной плоскости на верёвке длиной 1 м со скоростью 2 м/с (рис. 56). Чему равна сила натяжения верёвки при прохождении камнем верхней и нижней точек траектории?

Рис. 56

Решение.

Дано

Масса камня, $m = 400$ г
Длина верёвки (радиус траектории), $r = 1$ м
Скорость камня, $v = 2$ м/с

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$

Найти:

$T_{верх}$ — сила натяжения в верхней точке;
$T_{нижн}$ — сила натяжения в нижней точке.

Решение

При равномерном движении камня по окружности в вертикальной плоскости на него действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и сила натяжения верёвки $\vec{T}$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает камню центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{r}$, направленное к центру окружности.

Сила натяжения при прохождении верхней точки траектории

В верхней точке траектории и сила натяжения $\vec{T}_{верх}$, и сила тяжести $m\vec{g}$ направлены вертикально вниз, к центру окружности. Выберем ось, направленную к центру (вниз), и запишем второй закон Ньютона в проекции на эту ось:
$T_{верх} + mg = m a_c$
$T_{верх} + mg = m \frac{v^2}{r}$
Отсюда выразим силу натяжения:
$T_{верх} = m (\frac{v^2}{r} - g)$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ и подставим числовые значения:
$T_{верх} = 0.4 \cdot (\frac{2^2}{1} - 10) = 0.4 \cdot (4 - 10) = 0.4 \cdot (-6) = -2.4$ Н.
Сила натяжения верёвки по определению не может быть отрицательной, так как верёвка может только тянуть, но не толкать. Отрицательный результат означает, что для движения по заданной траектории с такой скоростью силы тяжести более чем достаточно, и верёвка не натянута, а провисает. Следовательно, сила её натяжения равна нулю.
Ответ: сила натяжения верёвки в верхней точке траектории равна $\text{0}$ Н.

Сила натяжения при прохождении нижней точки траектории

В нижней точке траектории сила натяжения $\vec{T}_{нижн}$ направлена вертикально вверх, к центру окружности, а сила тяжести $m\vec{g}$ — вертикально вниз. Выберем ось, направленную к центру (вверх), и запишем второй закон Ньютона в проекции на эту ось:
$T_{нижн} - mg = m a_c$
$T_{нижн} - mg = m \frac{v^2}{r}$
Отсюда выразим силу натяжения:
$T_{нижн} = m (\frac{v^2}{r} + g)$
Подставим числовые значения:
$T_{нижн} = 0.4 \cdot (\frac{2^2}{1} + 10) = 0.4 \cdot (4 + 10) = 0.4 \cdot 14 = 5.6$ Н.
Ответ: сила натяжения верёвки в нижней точке траектории равна $5.6$ Н.