Номер 6, страница 92 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 20. Механическая работа и мощность. Вопросы для самопроверки - номер 6, страница 92.

Условие.

6. Докажите, что работа силы тяжести и силы упругости не зависит от формы траектории.

Решение.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела, называются консервативными или потенциальными. К таким силам относятся сила тяжести и сила упругости. Докажем это для каждой из них.

Работа силы тяжести
Работа силы по определению является интегралом от скалярного произведения вектора силы $\vec{F}$ на вектор элементарного перемещения $d\vec{r}$.
$A = \int_1^2 \vec{F} \cdot d\vec{r}$
Рассмотрим тело массой $\text{m}$, перемещающееся из точки 1 в точку 2 в поле силы тяжести. Сила тяжести $\vec{F}_{тяж}$ всегда направлена вертикально вниз. Введем систему координат, где ось $OY$ направлена вертикально вверх. Тогда вектор силы тяжести имеет вид $\vec{F}_{тяж} = (0, -mg, 0)$. Вектор элементарного перемещения $d\vec{r} = (dx, dy, dz)$.
Найдем элементарную работу $dA$ на малом перемещении $d\vec{r}$:
$dA = \vec{F}_{тяж} \cdot d\vec{r} = (0) \cdot dx + (-mg) \cdot dy + (0) \cdot dz = -mg\,dy$
Полная работа при перемещении из точки 1 с высотой $h_1$ в точку 2 с высотой $h_2$ равна интегралу от элементарной работы:
$A_{тяж} = \int_{h_1}^{h_2} -mg\,dy = -mg \int_{h_1}^{h_2} dy = -mg(h_2 - h_1) = mg(h_1 - h_2)$
Как видно из полученной формулы, работа силы тяжести зависит только от разности высот начального ($h_1$) и конечного ($h_2$) положений тела. Она не зависит от пути, по которому тело перемещалось. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком: $A_{тяж} = -(E_{p2} - E_{p1})$.
Ответ: Работа силы тяжести зависит только от начальной и конечной высоты тела и не зависит от формы траектории, так как она является потенциальной силой.

Работа силы упругости
Рассмотрим работу силы упругости, возникающей в пружине при ее деформации (растяжении или сжатии). Согласно закону Гука, сила упругости пропорциональна удлинению $\text{x}$ и направлена в сторону, противоположную смещению: $\vec{F}_{упр} = -k\vec{x}$, где $\text{k}$ – жесткость пружины.
Пусть пружина растягивается или сжимается вдоль оси $OX$. Тогда вектор силы $\vec{F}_{упр} = (-kx, 0, 0)$, а вектор элементарного перемещения $d\vec{r} = (dx, dy, dz)$.
Элементарная работа силы упругости:
$dA = \vec{F}_{упр} \cdot d\vec{r} = (-kx) \cdot dx + (0) \cdot dy + (0) \cdot dz = -kx\,dx$
Полная работа при изменении деформации пружины от начального значения $x_1$ до конечного $x_2$ равна:
$A_{упр} = \int_{x_1}^{x_2} -kx\,dx = -k \int_{x_1}^{x_2} x\,dx = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_1}^{x_2} = -k(\frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2}) = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$
Полученное выражение показывает, что работа силы упругости зависит только от начальной ($x_1$) и конечной ($x_2$) деформации пружины, но не от того, как именно происходил процесс перехода из одного состояния в другое. Работа силы упругости также равна изменению потенциальной энергии пружины с противоположным знаком: $A_{упр} = -(E_{p2} - E_{p1})$.
Ответ: Работа силы упругости зависит только от начального и конечного удлинения (или сжатия) тела и не зависит от формы траектории, так как она также является потенциальной силой.