Номер 4, страница 92 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 20. Механическая работа и мощность. Задание 18 - номер 4, страница 92.

Условие.

4*. Докажите, что работа переменной силы численно равна площади фигуры, ограниченной графиком зависимости силы от координаты и координатными осями.

Решение.

Решение

Для начала рассмотрим простой случай, когда на тело действует постоянная сила $\text{F}$, направленная вдоль оси перемещения $\text{x}$. Работа $\text{A}$, совершаемая этой силой при перемещении тела на расстояние $\text{s}$, вычисляется по формуле:

$A = F \cdot s$

Если построить график зависимости силы $\text{F}$ от координаты $\text{x}$, то для постоянной силы это будет прямая линия, параллельная оси координат. Работа $\text{A}$ на этом графике будет численно равна площади прямоугольника с высотой $\text{F}$ и основанием $\text{s}$.

Теперь рассмотрим общий случай переменной силы, величина которой зависит от координаты тела, то есть $F = F(x)$. Чтобы найти работу такой силы при перемещении тела из начальной точки с координатой $x_1$ в конечную точку с координатой $x_2$, мы можем разбить весь путь на очень большое количество малых элементарных участков длиной $\Delta x$.

В пределах каждого такого малого участка $\Delta x$ силу $F(x)$ можно считать практически постоянной. Тогда элементарная работа $\Delta A$, совершаемая на этом участке, будет приближенно равна:

$\Delta A \approx F(x) \cdot \Delta x$

Эта величина соответствует площади узкого прямоугольника с высотой, равной значению силы $F(x)$ на данном участке, и шириной $\Delta x$.

Полная работа $\text{A}$ на всем пути от $x_1$ до $x_2$ будет равна сумме работ на всех элементарных участках:

$A = \sum \Delta A \approx \sum F(x) \cdot \Delta x$

Геометрически эта сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, которая аппроксимирует (приближенно равна) площадь фигуры, ограниченной графиком $F(x)$ и осью координат.

Чтобы найти точное значение работы, необходимо сделать элементарные перемещения бесконечно малыми, то есть устремить $\Delta x$ к нулю ($\Delta x \to 0$). В этом случае сумма в пределе переходит в определенный интеграл:

$A = \lim_{\Delta x \to 0} \sum F(x) \cdot \Delta x = \int_{x_1}^{x_2} F(x)dx$

Согласно определению из математического анализа, определенный интеграл функции $F(x)$ от $x_1$ до $x_2$ численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=F(x)$, осью абсцисс (осью $\text{x}$) и вертикальными прямыми $x=x_1$ и $x=x_2$. Если движение начинается из начала координат ($x_1=0$), то фигура ограничена графиком силы, осью абсцисс и осью ординат (осью $\text{y}$). Таким образом, утверждение задачи является прямым следствием геометрического смысла определенного интеграла.

Ответ: Работа переменной силы при перемещении тела из точки с координатой $x_1$ в точку $x_2$ вычисляется как определенный интеграл $A = \int_{x_1}^{x_2} F(x)dx$. Геометрический смысл этого интеграла заключается в том, что он численно равен площади фигуры, ограниченной графиком зависимости силы от координаты $F(x)$, осью абсцисс и вертикальными линиями, соответствующими начальной и конечной координатам ($x=x_1$ и $x=x_2$). Это доказывает, что работа переменной силы численно равна площади указанной фигуры.