Номер 5, страница 56 - гдз по физике 9 класс учебник Шахмаев, Бунчук

Глава 4. Движение по окружности. Параграф 13. Период и частота обращения - номер 5, страница 56.

Условие.

5. Длина минутной стрелки часов в два раза больше часовой. Во сколько раз отличаются ускорения точек на концах этих стрелок?

Решение.

Дано:

$L_м = 2 L_ч$ (где $L_м$ и $L_ч$ - длины минутной и часовой стрелок соответственно)
$T_м = 1$ час (период обращения минутной стрелки)
$T_ч = 12$ часов (период обращения часовой стрелки)

$T_м = 1 \text{ час} = 3600 \text{ с}$
$T_ч = 12 \text{ часов} = 12 \times 3600 \text{ с} = 43200 \text{ с}$

Найти:
$\frac{a_м}{a_ч}$ - ?

Решение:
Точки на концах стрелок совершают равномерное движение по окружности. Ускорение таких точек является центростремительным и направлено к центру окружности. Величина центростремительного ускорения $\text{a}$ вычисляется по формуле:
$a = \omega^2 R$,
где $\omega$ — угловая скорость, а $\text{R}$ — радиус вращения (в данном случае, длина стрелки).
Угловая скорость связана с периодом обращения $\text{T}$ (время одного полного оборота) соотношением:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$.
Подставив это выражение в формулу для ускорения, получим:
$a = (\frac{2\pi}{T})^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.
Теперь запишем выражения для ускорений точек на концах минутной ($a_м$) и часовой ($a_ч$) стрелок:
$a_м = \frac{4\pi^2 L_м}{T_м^2}$
$a_ч = \frac{4\pi^2 L_ч}{T_ч^2}$
Чтобы найти, во сколько раз отличаются ускорения, найдем их отношение:
$\frac{a_м}{a_ч} = \frac{\frac{4\pi^2 L_м}{T_м^2}}{\frac{4\pi^2 L_ч}{T_ч^2}}$.
Сократив общий множитель $4\pi^2$, получим:
$\frac{a_м}{a_ч} = \frac{L_м}{L_ч} \cdot \frac{T_ч^2}{T_м^2} = \frac{L_м}{L_ч} \cdot (\frac{T_ч}{T_м})^2$.
Из условия задачи мы знаем, что $\frac{L_м}{L_ч} = 2$.
Отношение периодов обращения стрелок равно:
$\frac{T_ч}{T_м} = \frac{12 \text{ часов}}{1 \text{ час}} = 12$.
Теперь можем подставить числовые значения в полученную формулу:
$\frac{a_м}{a_ч} = 2 \cdot (12)^2 = 2 \cdot 144 = 288$.

Ответ: Ускорение точки на конце минутной стрелки в 288 раз больше ускорения точки на конце часовой стрелки.