Задание 3, страница 168 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

Рассмотрите таблицу «Аналогия механических и электромагнитных колебаний», поясните ее.

Таблица 11. Аналогия механических и электромагнитных колебаний

Механические колебания: Потенциальная энергия $E_p = \frac{kA^2}{2}$

Электромагнитные колебания: Энергия электрического поля $E_{\text{э.п.}} = \frac{q_m^2}{2C}$

Механические колебания: Коэффициент жесткости k

Электромагнитные колебания: Величина, обратная емкости $\frac{1}{C}$

Механические колебания: Амплитуда колебаний А

Электромагнитные колебания: Максимальный заряд

Механические колебания: Смещение x

Электромагнитные колебания: Заряд q

Механические колебания: Кинетическая энергия $E_k = \frac{mv_m^2}{2}$

Электромагнитные колебания: Энергия магнитного поля $E_{\text{м.п.}} = \frac{LI_m^2}{2}$

Механические колебания: Масса тела m

Электромагнитные колебания: Индуктивность катушки

Механические колебания: Максимальная скорость движения тела $v_m$

Электромагнитные колебания: Максимальное значение силы тока

Представленная таблица иллюстрирует глубокую аналогию между механическими колебаниями (на примере пружинного маятника) и электромагнитными колебаниями (в идеальном колебательном LC-контуре). Эта аналогия основана на том, что оба процесса описываются математически идентичными дифференциальными уравнениями.

Уравнение свободных незатухающих механических колебаний (второй закон Ньютона для пружинного маятника) имеет вид: $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$.

Уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре (из второго правила Кирхгофа) имеет вид: $L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C}q = 0$.

Сравнивая эти два уравнения, можно построчно пояснить аналогии, приведенные в таблице.

1. Потенциальная энергия $E_p$ и энергия электрического поля $E_{э.п.}$
Максимальная потенциальная энергия пружины $E_p = \frac{kA^2}{2}$ запасается в моменты максимального отклонения тела от положения равновесия. Аналогично, максимальная энергия электрического поля конденсатора $E_{э.п.} = \frac{q_m^2}{2C}$ запасается, когда заряд на его обкладках максимален. Обе величины представляют собой максимальный запас потенциальной энергии в системе.

2. Коэффициент жесткости $k$ и величина, обратная емкости $\frac{1}{C}$
Жесткость $k$ характеризует упругие свойства пружины — ее способность сопротивляться деформации. Величина, обратная емкости, $\frac{1}{C}$ характеризует способность конденсатора сопротивляться накоплению заряда (чем меньше $C$, тем большее напряжение требуется для накопления того же заряда). Таким образом, $k$ и $\frac{1}{C}$ играют схожую роль в определении "потенциальной" составляющей системы.

3. Амплитуда колебаний $A$ и максимальный заряд $q_m$
Амплитуда $A$ — это максимальное смещение тела от положения равновесия. Максимальный заряд $q_m$ — это максимальное значение заряда на обкладках конденсатора. Обе величины являются амплитудными значениями основных колеблющихся параметров и определяют полную энергию системы.

4. Смещение $x$ и заряд $q$
Смещение $x$ — это мгновенное положение тела относительно точки равновесия. Заряд $q$ — это мгновенное значение заряда на конденсаторе. Это основные физические величины, которые изменяются по гармоническому закону в процессе колебаний.

5. Кинетическая энергия $E_k$ и энергия магнитного поля $E_{м.п.}$
Максимальная кинетическая энергия тела $E_k = \frac{mv_m^2}{2}$ достигается при прохождении положения равновесия с максимальной скоростью. Аналогично, максимальная энергия магнитного поля катушки $E_{м.п.} = \frac{LI_m^2}{2}$ возникает, когда сила тока в контуре максимальна (а заряд на конденсаторе равен нулю). Обе величины представляют собой максимальный запас "кинетической" (связанной с движением) энергии в системе.

6. Масса тела $m$ и индуктивность катушки $L$
Масса $m$ является мерой инертности тела, его способности сопротивляться изменению скорости. Индуктивность $L$ является мерой "электрической инертности" контура, его способности противодействовать изменению силы тока. Таким образом, $m$ и $L$ играют схожую роль в определении "инерционной" составляющей системы.

7. Максимальная скорость $v_m$ и максимальное значение силы тока $I_m$
Скорость $v = \frac{dx}{dt}$ — это быстрота изменения смещения. Сила тока $I = \frac{dq}{dt}$ — это быстрота изменения заряда. Соответственно, их максимальные значения, $v_m$ и $I_m$, аналогичны друг другу и определяют максимальную кинетическую/магнитную энергию.

Таким образом, таблица демонстрирует, что механические и электромагнитные колебания являются физическими аналогами, так как их поведение описывается одинаковыми математическими законами, а соответствующие физические величины играют идентичные роли в динамике и энергетических превращениях системы.