Страница 51 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 2

Контрольная работа № 1

Решение треугольников

1. Два угла треугольника равны $60^\circ$ и $45^\circ$, а сторона, противолежащая большему из них, равна $3\sqrt{2}$ см. Найдите сторону треугольника, противолежащую меньшему из данных углов.

2. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 3 см, 8 см и 10 см.

3. Одна сторона треугольника на 6 см меньше другой, а угол между ними составляет $60^\circ$. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.

4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 17 см, 25 см и 28 см.

5. Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, — 4 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

6. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle B = 135^\circ$, $O$ — точка пересечения биссектрис. Радиус окружности, описанной около треугольника $BOC$, равен 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

1.

Пусть в треугольнике даны два угла $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 45^\circ$. Сторона $a$, противолежащая большему из этих углов (то есть углу $\alpha=60^\circ$), равна $3\sqrt{2}$ см. Нам нужно найти сторону $b$, противолежащую меньшему углу ($\beta=45^\circ$).

Воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$

Подставим известные значения:

$\frac{3\sqrt{2}}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

Выразим отсюда $b$:

$b = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$

Значения синусов известных углов: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим эти значения в формулу для $b$:

$b = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$b = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

2.

Чтобы определить тип треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) со сторонами $a=3$ см, $b=8$ см и $c=10$ см, нужно сравнить квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон.

Большая сторона $c = 10$ см. Найдем ее квадрат:

$c^2 = 10^2 = 100$

Найдем сумму квадратов двух других сторон:

$a^2 + b^2 = 3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$

Сравним полученные значения:

$100 > 73$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$.

Согласно следствию из теоремы косинусов, если квадрат большей стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то угол, противолежащий большей стороне, является тупым, а сам треугольник — тупоугольным.

Ответ: Тупоугольным.

3.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, одна сторона на 6 см меньше другой. Пусть $a = x$ см, тогда $b = x+6$ см. Угол между этими сторонами $\gamma = 60^\circ$. Третья сторона $c = 14$ см.

Воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$.

Подставим известные значения:

$14^2 = x^2 + (x+6)^2 - 2x(x+6)\cos 60^\circ$

Мы знаем, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

$196 = x^2 + (x^2 + 12x + 36) - 2x(x+6)\cdot\frac{1}{2}$

$196 = 2x^2 + 12x + 36 - x(x+6)$

$196 = 2x^2 + 12x + 36 - x^2 - 6x$

$196 = x^2 + 6x + 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 6x + 36 - 196 = 0$

$x^2 + 6x - 160 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 36 + 640 = 676$.

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 26}{2}$.

$x_1 = \frac{-6+26}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

$x_2 = \frac{-6-26}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.

Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому $x=10$ см.

Таким образом, стороны треугольника: $a=10$ см, $b=10+6=16$ см, $c=14$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:

$P = a+b+c = 10 + 16 + 14 = 40$ см.

Ответ: 40 см.

4.

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника со сторонами $a=17$ см, $b=25$ см и $c=28$ см, воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника.

Площадь треугольника найдем по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Найдем полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+25+28}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.

Теперь вычислим площадь:

$S = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7}$

$S = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус описанной окружности:

$R = \frac{17 \cdot 25 \cdot 28}{4 \cdot 210} = \frac{17 \cdot 25 \cdot 7}{210} = \frac{17 \cdot 25}{30} = \frac{17 \cdot 5}{6} = \frac{85}{6}$ см.

Ответ: $\frac{85}{6}$ см.

5.

Пусть в треугольнике стороны $a=7$ см, $b=9$ см, а медиана, проведенная к третьей стороне $c$, равна $m_c = 4$ см. Найдем сторону $c$.

Воспользуемся формулой длины медианы:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Подставим известные значения:

$4 = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - c^2}$

Умножим обе части на 2:

$8 = \sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - c^2}$

$8 = \sqrt{98 + 162 - c^2}$

$8 = \sqrt{260 - c^2}$

Возведем обе части в квадрат:

$64 = 260 - c^2$

$c^2 = 260 - 64 = 196$

$c = \sqrt{196} = 14$ см.

Ответ: 14 см.

6.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{BOC}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $BOC$. Нам дано $\angle B = 135^\circ$ и $R_{BOC}=8$ см. $O$ — точка пересечения биссектрис (инцентр) треугольника $ABC$.

Существует теорема, связывающая радиусы этих окружностей. Точка $D$, в которой биссектриса угла $\angle A$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$, является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$.

Таким образом, радиус окружности, описанной около $\triangle BOC$, равен расстоянию от точки $D$ до любой из вершин $\triangle BOC$, например, до вершины $B$: $R_{BOC} = DB$.Следовательно, $DB = 8$ см.

Отрезок $DB$ является хордой окружности, описанной около $\triangle ABC$. Длина хорды связана с радиусом $R$ и углом, который на нее опирается, по обобщенной теореме синусов. Хорда $DB$ опирается на вписанный угол $\angle DAB$.

Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle A$, то $\angle DAB = \frac{\angle A}{2}$.

По теореме синусов для хорды $DB$ в окружности, описанной около $\triangle ABC$:

$DB = 2R \sin(\angle DAB)$

$8 = 2R \sin\left(\frac{A}{2}\right)$

Отсюда $R = \frac{4}{\sin(A/2)}$.

Теперь рассмотрим другую подобную конструкцию. Пусть $E$ — точка, в которой биссектриса угла $\angle B$ пересекает описанную окружность $\triangle ABC$. Тогда $E$ является центром окружности, описанной около $\triangle AOC$. Радиус этой окружности $R_{AOC} = EA$.

По аналогии, $EA = 2R \sin(\angle ECA)$. Угол $\angle ECA$ опирается на дугу $AE$. На эту же дугу опирается угол $\angle EBA = \frac{\angle B}{2}$. Значит, $\angle ECA = \frac{\angle B}{2}$.

$R_{AOC} = EA = 2R \sin\left(\frac{B}{2}\right) = 2R \sin\left(\frac{135^\circ}{2}\right) = 2R \sin(67.5^\circ)$.

Теперь свяжем $R$ и $R_{AOC}$ другим способом. Поскольку $\angle B = 135^\circ$ (тупой угол), центр описанной окружности $P$ лежит вне треугольника. Центральный угол, опирающийся на хорду $AC$, равен $2(180^\circ - 135^\circ) = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle APC$ — прямоугольный равнобедренный треугольник, и $AC = \sqrt{R^2+R^2} = R\sqrt{2}$.

В $\triangle AOC$ угол $\angle AOC = 90^\circ + \frac{\angle B}{2} = 90^\circ + 67.5^\circ = 157.5^\circ$.

По теореме синусов в $\triangle AOC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle AOC)} = 2R_{AOC}$

Подставим известные соотношения:

$\frac{R\sqrt{2}}{\sin(157.5^\circ)} = 2R_{AOC}$

Используя $R_{AOC} = 2R \sin(67.5^\circ)$, получаем:

$\frac{R\sqrt{2}}{\sin(157.5^\circ)} = 2(2R\sin(67.5^\circ))$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin(180^\circ-22.5^\circ)} = 4\sin(67.5^\circ)$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin(22.5^\circ)} = 4\cos(22.5^\circ)$

$\sqrt{2} = 4\sin(22.5^\circ)\cos(22.5^\circ) = 2(2\sin(22.5^\circ)\cos(22.5^\circ)) = 2\sin(45^\circ) = 2\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Это тождество показывает, что все соотношения верны, но не позволяют найти $R$, так как оно сокращается. Это означает, что для любого треугольника с углом $B=135^\circ$ эти соотношения будут выполняться. Задача в данной формулировке имеет бесконечное множество решений, зависящих от угла $A$. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка. Если предположить, что в условии имелся в виду радиус окружности, описанной около $\triangle AOC$, то решение было бы следующим:

Если бы условие было $R_{AOC}=8$ см:

$R_{AOC} = 2R\sin(B/2) \implies 8 = 2R\sin(67.5^\circ) \implies R = \frac{4}{\sin(67.5^\circ)}$.

$\sin(67.5^\circ) = \sqrt{\frac{1-\cos(135^\circ)}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

$R = \frac{4}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$.

Однако, часто в задачах такого типа с недостающими данными предполагается некоторый частный случай, например, равнобедренный треугольник, или имеется в виду ответ, полученный из-за распространенной ошибки в рассуждениях. Один из таких "ответов" для этой задачи - $8\sqrt{2}$. Он получается при неверном предположении, что $R = R_{AOC}$. Но как мы видели, это приводит к тому, что $\angle B=60^\circ$, что противоречит условию. Ввиду некорректности условия, дать однозначный числовой ответ не представляется возможным.

Ответ: Задача некорректна, недостаточно данных для однозначного решения.