Страница 52 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Правильные многоугольники

1. Найдите углы правильного 72-угольника.

2. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 4 см. Найдите сторону квадрата, описанного около этой окружности.

3. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $4\sqrt{2}$ см, а сторона многоугольника — 8 см. Найдите:

1) радиус окружности, вписанной в многоугольник;

2) количество сторон многоугольника.

4. Сторона треугольника равна $6\sqrt{3}$ см, а прилежащие к ней углы равны $50^\circ$ и $70^\circ$. Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность.

5. Найдите диагональ $AD$ правильного восьмиугольника ABCDEFKP, если $AB = a$.

6. В круговой сектор, радиус которого равен 6 см, а центральный угол составляет $60^\circ$, вписан круг. Найдите площадь этого круга.

1.Величина внутреннего угла правильного n-угольника находится по формуле:
$\alpha = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$
Для правильного 72-угольника $n=72$. Подставляем значение в формулу:
$\alpha = \frac{180^\circ(72-2)}{72} = \frac{180^\circ \cdot 70}{72} = \frac{12600^\circ}{72} = 175^\circ$
Все углы правильного многоугольника равны.
Ответ: все углы равны $175^\circ$.

2.Сначала найдем радиус окружности. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность ($a_6$), равна радиусу этой окружности ($R$).
По условию $a_6 = 4$ см, следовательно, $R = 4$ см.
Теперь найдем сторону квадрата, описанного около этой окружности ($b_4$). Сторона описанного квадрата равна диаметру вписанной в него окружности.
Диаметр окружности $D = 2R = 2 \cdot 4 = 8$ см.
Следовательно, сторона квадрата $b_4 = 8$ см.
Ответ: сторона квадрата равна 8 см.

3.Дано: радиус описанной окружности $R = 4\sqrt{2}$ см, сторона многоугольника $a_n = 8$ см.
Сначала найдем количество сторон многоугольника ($n$). Воспользуемся формулой, связывающей сторону правильного многоугольника и радиус описанной окружности:
$a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
Подставим известные значения:
$8 = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
$8 = 8\sqrt{2} \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
$\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это означает, что угол $\frac{180^\circ}{n} = 45^\circ$.
Отсюда находим $n$:
$n = \frac{180^\circ}{45^\circ} = 4$.
Таким образом, многоугольник является квадратом.
Теперь найдем радиус вписанной окружности ($r$). Радиусы вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей и сторона ($a_n$) правильного многоугольника связаны соотношением, которое следует из рассмотрения прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ и катетами $r$ и $a_n/2$:
$R^2 = r^2 + \left(\frac{a_n}{2}\right)^2$
Подставим известные значения $R=4\sqrt{2}$, $a_4=8$:
$(4\sqrt{2})^2 = r^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2$
$16 \cdot 2 = r^2 + 4^2$
$32 = r^2 + 16$
$r^2 = 32 - 16 = 16$
$r = 4$ см.
Ответ: 1) радиус вписанной окружности равен 4 см; 2) количество сторон многоугольника равно 4.

4.Пусть дан треугольник ABC, сторона $AB = c = 6\sqrt{3}$ см, прилежащие углы $\angle A = 50^\circ$ и $\angle B = 70^\circ$.
Найдем третий угол треугольника:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Вершины треугольника делят описанную окружность на три дуги. Градусная мера дуги, стягиваемой хордой, в два раза больше вписанного угла, опирающегося на эту дугу.
Градусная мера дуги AB равна $2 \angle C = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Градусная мера дуги BC равна $2 \angle A = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.
Градусная мера дуги AC равна $2 \angle B = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$.
Для нахождения длин дуг найдем радиус описанной окружности ($R$) по теореме синусов:
$\frac{c}{\sin C} = 2R$
$R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{6\sqrt{3}}{2\sin 60^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.
Длина дуги вычисляется по формуле $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $\alpha$ — градусная мера дуги.
Длина дуги AB: $L_{AB} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \frac{720\pi}{180} = 4\pi$ см.
Длина дуги BC: $L_{BC} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 100^\circ}{180^\circ} = \frac{600\pi}{180} = \frac{10\pi}{3}$ см.
Длина дуги AC: $L_{AC} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 140^\circ}{180^\circ} = \frac{840\pi}{180} = \frac{14\pi}{3}$ см.
Ответ: длины дуг равны $4\pi$ см, $\frac{10\pi}{3}$ см и $\frac{14\pi}{3}$ см.

5.Рассмотрим правильный восьмиугольник ABCDEFKP со стороной $AB = a$. Найдем диагональ AD.
Можно вписать восьмиугольник в квадрат. При этом от углов квадрата отсекаются равнобедренные прямоугольные треугольники. Пусть катет такого треугольника равен $x$. Тогда сторона восьмиугольника, являющаяся гипотенузой этого треугольника, равна $a = x\sqrt{2}$, откуда $x = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
Сторона квадрата $S$ будет состоять из стороны восьмиугольника и двух катетов отсеченных треугольников: $S = x + a + x = a + 2x = a + 2\frac{a}{\sqrt{2}} = a + a\sqrt{2} = a(1+\sqrt{2})$.
Разместим квадрат в системе координат так, чтобы его вершины были в точках $(0,0), (S,0), (S,S), (0,S)$. Тогда вершины восьмиугольника будут иметь следующие координаты (в порядке против часовой стрелки, начиная с нижней стороны): $F(x,0), E(S-x,0), D(S,x), C(S,S-x), B(S-x,S), A(x,S), P(0,S-x), K(0,x)$.
Нам нужно найти расстояние между вершинами A и D.
Координаты точки A: $(x, S)$.
Координаты точки D: $(S, x)$.
Найдем расстояние AD по формуле расстояния между двумя точками:
$AD = \sqrt{(S-x)^2 + (x-S)^2} = \sqrt{2(S-x)^2} = \sqrt{2}(S-x)$.
Подставим выражения для $S$ и $x$:
$S-x = a(1+\sqrt{2}) - \frac{a}{\sqrt{2}} = a + a\sqrt{2} - \frac{a\sqrt{2}}{2} = a + \frac{a\sqrt{2}}{2} = a\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
$AD = \sqrt{2} \cdot a\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = a\left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}\right) = a(\sqrt{2} + 1)$.
Ответ: диагональ AD равна $a(\sqrt{2}+1)$.

6.Пусть $R$ — радиус сектора, $R=6$ см, а $\alpha$ — его центральный угол, $\alpha=60^\circ$. Пусть $r$ — радиус вписанного в сектор круга.
Центр вписанного круга лежит на биссектрисе центрального угла сектора. Эта биссектриса делит угол $\alpha$ на два угла по $\alpha/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сектора, радиусом вписанного круга (перпендикулярным радиусу сектора в точке касания) и отрезком, соединяющим центр сектора O с центром вписанного круга C.
В этом треугольнике гипотенуза — это отрезок OC, один из катетов — радиус $r$, а угол, противолежащий этому катету, равен $30^\circ$.
Следовательно, $\sin(30^\circ) = \frac{r}{OC}$.
$OC = \frac{r}{\sin(30^\circ)} = \frac{r}{1/2} = 2r$.
Точка касания вписанного круга с дугой сектора лежит на биссектрисе. Расстояние от центра сектора до этой точки равно радиусу сектора $R$. Это расстояние также равно сумме отрезка OC и радиуса вписанного круга $r$.
$R = OC + r$.
Подставим $OC = 2r$:
$R = 2r + r = 3r$.
Так как $R=6$ см, получаем:
$6 = 3r$, откуда $r=2$ см.
Площадь вписанного круга $S$ находится по формуле $S = \pi r^2$.
$S = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см².
Ответ: площадь этого круга равна $4\pi$ см².