Страница 55 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Преобразования фигур

1. Начертите треугольник $DEF$. Постройте образ треугольника $DEF$:

1) при симметрии относительно точки $F$;

2) при симметрии относительно прямой $DF$.

2. Вершинами треугольника $ABC$ являются точки $A (3; -2)$, $B (0; 1)$ и $C (-3; 4)$. Выполнили параллельный перенос треугольника $ABC$, при котором образом точки $A$ является точка $B$. Каковы координаты вершин полученного треугольника?

3. Точка $M$ — образ вершины $C$ квадрата $ABCD$ при повороте вокруг точки $D$ на угол $90^{\circ}$ по часовой стрелке. Найдите отрезок $BM$, если $AB = 4$ см.

4. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь треугольника $AMD$, если $BC : AD = 3 : 4$, а площадь трапеции равна $14$ см$^2$.

5. Из точек $D$ и $E$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $DD_1$ и $EE_1$ на эту прямую. Известно, что $DD_1 = 4$ см, $EE_1 = 8$ см, $D_1E_1 = 5$ см. Какое наименьшее значение может принимать сумма $DX + XE$, где $X$ — точка, принадлежащая прямой $m$?

1.

Для построения образов треугольника $DEF$ выполним следующие действия:

1) Построение образа треугольника $DEF$ при симметрии относительно точки $F$.

Пусть $D'E'F'$ – образ треугольника $DEF$. Центр симметрии – точка $F$. При симметрии относительно точки, эта точка переходит сама в себя, следовательно, $F' = F$. Для нахождения образа точки $D$, проведем луч $DF$ и отложим на нем от точки $F$ отрезок $FD'$, равный отрезку $DF$. Точка $D'$ будет симметрична точке $D$ относительно точки $F$. Аналогично, для нахождения образа точки $E$, проведем луч $EF$ и отложим на нем от точки $F$ отрезок $FE'$, равный отрезку $EF$. Точка $E'$ будет симметрична точке $E$ относительно точки $F$. Соединив точки $D'$, $E'$, $F'$, получим искомый треугольник $D'E'F'$.

2) Построение образа треугольника $DEF$ при симметрии относительно прямой $DF$.

Пусть $D''E''F''$ – образ треугольника $DEF$. Ось симметрии – прямая $DF$. Точки, лежащие на оси симметрии, переходят сами в себя. Следовательно, $D'' = D$ и $F'' = F$. Для нахождения образа точки $E$, проведем из точки $E$ прямую, перпендикулярную прямой $DF$. Пусть точка $H$ – точка их пересечения. На продолжении отрезка $EH$ за точку $H$ отложим отрезок $HE''$, равный отрезку $EH$. Точка $E''$ будет симметрична точке $E$ относительно прямой $DF$. Соединив точки $D''$, $E''$, $F''$ (то есть $D$, $E''$, $F$), получим искомый треугольник $DE''F$.

2.

Параллельный перенос задается вектором, на который смещается каждая точка фигуры. По условию, точка $A(3; -2)$ переходит в точку $B(0; 1)$. Найдем вектор переноса $\vec{v}(a, b)$.

Координаты вектора переноса равны разности координат конца и начала:
$a = x_B - x_A = 0 - 3 = -3$
$b = y_B - y_A = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$
Таким образом, вектор переноса $\vec{v}(-3; 3)$.

Теперь найдем координаты образов остальных вершин треугольника. Пусть $A'B'C'$ – полученный треугольник.
Образом точки $A$ является точка $A' = B(0; 1)$.
Найдем образ точки $B(0; 1)$, который обозначим $B'$. Координаты $B'(x_{B'}, y_{B'})$ вычисляются по формулам:
$x_{B'} = x_B + a = 0 + (-3) = -3$
$y_{B'} = y_B + b = 1 + 3 = 4$
Следовательно, $B'(-3; 4)$.

Найдем образ точки $C(-3; 4)$, который обозначим $C'$. Координаты $C'(x_{C'}, y_{C'})$ вычисляются по формулам:
$x_{C'} = x_C + a = -3 + (-3) = -6$
$y_{C'} = y_C + b = 4 + 3 = 7$
Следовательно, $C'(-6; 7)$.

Координаты вершин полученного треугольника: $A'(0; 1)$, $B'(-3; 4)$, $C'(-6; 7)$.

Ответ: $A'(0; 1)$, $B'(-3; 4)$, $C'(-6; 7)$.

3.

Пусть $ABCD$ – квадрат со стороной $AB = 4$ см. Точка $M$ – образ вершины $C$ при повороте вокруг точки $D$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке.

Для решения задачи введем систему координат. Поместим вершину $D$ в начало координат, $D(0; 0)$. Поскольку $ABCD$ – квадрат, и $CD \perp AD$, направим ось $Ox$ вдоль луча $DC$, а ось $Oy$ – вдоль луча $DA$.

Так как сторона квадрата равна 4, координаты вершин будут:
$D(0; 0)$
$C(4; 0)$ (на оси $Ox$)
$A(0; 4)$ (на оси $Oy$)
$B(4; 4)$

Точка $M$ получается поворотом точки $C(4; 0)$ вокруг начала координат $D(0; 0)$ на $90^\circ$ по часовой стрелке (угол $-90^\circ$). При повороте точки $(x; y)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат ее новые координаты $(x'; y')$ находятся по формулам:
$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$
$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$
Для $\alpha = -90^\circ$, имеем $\cos(-90^\circ) = 0$ и $\sin(-90^\circ) = -1$.
Подставим координаты точки $C(4; 0)$:
$x_M = 4 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) = 0$
$y_M = 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -4$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(0; -4)$.

Теперь найдем длину отрезка $BM$, зная координаты точек $B(4; 4)$ и $M(0; -4)$. Используем формулу расстояния между двумя точками:
$BM = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2}$
$BM = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + (4+4)^2} = \sqrt{16 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$
Упростим корень: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

Ответ: $4\sqrt{5}$ см.

4.

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$.
Поскольку $BC \parallel AD$, то $\angle MBC = \angle MAD$ и $\angle MCB = \angle MDA$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущих $AM$ и $DM$ соответственно.
Следовательно, $\triangle MBC \sim \triangle MAD$ по двум углам.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон:
$k = \frac{BC}{AD}$
По условию $BC:AD = 3:4$, значит $k = \frac{3}{4}$.

Тогда отношение площадей равно:
$\frac{S_{\triangle MBC}}{S_{\triangle MAD}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$
Отсюда $S_{\triangle MBC} = \frac{9}{16} S_{\triangle MAD}$.

Площадь трапеции $ABCD$ можно найти как разность площадей треугольников $\triangle MAD$ и $\triangle MBC$:
$S_{ABCD} = S_{\triangle MAD} - S_{\triangle MBC}$
Подставим известное значение площади трапеции и выражение для $S_{\triangle MBC}$:
$14 = S_{\triangle MAD} - \frac{9}{16} S_{\triangle MAD}$
$14 = S_{\triangle MAD} \left(1 - \frac{9}{16}\right)$
$14 = S_{\triangle MAD} \left(\frac{16-9}{16}\right)$
$14 = S_{\triangle MAD} \cdot \frac{7}{16}$

Выразим $S_{\triangle MAD}$:
$S_{\triangle MAD} = \frac{14 \cdot 16}{7} = 2 \cdot 16 = 32$

Ответ: 32 см$^2$.

5.

Требуется найти наименьшее значение суммы длин $DX + XE$, где точки $D$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $m$, а точка $X$ принадлежит прямой $m$.

Эта задача решается с помощью осевой симметрии. Отразим одну из точек, например $D$, симметрично относительно прямой $m$. Пусть $D'$ – образ точки $D$.

По определению осевой симметрии, для любой точки $X$ на прямой $m$ (оси симметрии) будет выполняться равенство $DX = D'X$. Тогда сумму $DX + XE$ можно заменить на равную ей сумму $D'X + XE$.

Сумма длин $D'X + XE$ будет наименьшей, когда точки $D'$, $X$ и $E$ лежат на одной прямой (согласно неравенству треугольника). В этом случае наименьшее значение суммы равно длине отрезка $D'E$.

Найдем длину отрезка $D'E$. Для этого построим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок $D'E$.
Проведем через точку $D'$ прямую, параллельную прямой $m$. Проведем через точку $E$ прямую, перпендикулярную $m$, до пересечения с построенной прямой. Обозначим точку пересечения $H$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle D'HE$.

Катеты этого треугольника:
1. Длина катета $D'H$ равна расстоянию между перпендикулярами $DD_1$ и $EE_1$, то есть длине отрезка $D_1E_1$. По условию, $D_1E_1 = 5$ см. Итак, $D'H = 5$ см.
2. Длина катета $EH$ равна сумме длин отрезков $EE_1$ и $E_1H$. Длина $E_1H$ равна длине $D'D_1$, а $D'D_1 = DD_1$ по свойству симметрии.
$EH = EE_1 + D'D_1 = EE_1 + DD_1 = 8 + 4 = 12$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle D'HE$:
$D'E^2 = D'H^2 + EH^2$
$D'E^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$D'E = \sqrt{169} = 13$ см.

Таким образом, наименьшее значение суммы $DX + XE$ равно 13 см.

Ответ: 13 см.