Страница 56 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Начальные сведения по стереометрии

1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 4 см (рис. 18). Найдите площадь боковой поверхности призмы $ABDA_1B_1D_1$.

2. Вычислите объём цилиндра, образующая которого равна 5 см, а радиус основания — 2 см.

3. Чему равен объём пирамиды, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 2 см и 6 см, а высота которой равна 5 см?

4. Радиус одного шара равен 6 см, а другого — 3 см. Найдите отношение площадей поверхностей данных шаров.

5. Найдите площадь поверхности пирамиды $SABCD$, если $SA = SB = SC = SD = a$, $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = 60^\circ$.

Рис. 18

1. Призма $ABDA_1B_1D_1$ является прямой треугольной призмой. Основаниями призмы являются равные прямоугольные треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$, а боковыми гранями — прямоугольники $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$ и $BDD_1B_1$. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей её боковых граней.
Ребро куба равно 4 см.
1) Грань $ABB_1A_1$ является гранью куба, поэтому её площадь равна $S_{ABB_1A_1} = AB \cdot AA_1 = 4 \cdot 4 = 16$ см².
2) Грань $ADD_1A_1$ также является гранью куба, её площадь равна $S_{ADD_1A_1} = AD \cdot AA_1 = 4 \cdot 4 = 16$ см².
3) Для нахождения площади грани $BDD_1B_1$ нужно найти длину диагонали $BD$ основания $ABCD$. Треугольник $ABD$ — прямоугольный, по теореме Пифагора:
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.
Площадь прямоугольника $BDD_1B_1$ равна $S_{BDD_1B_1} = BD \cdot DD_1 = 4\sqrt{2} \cdot 4 = 16\sqrt{2}$ см².
4) Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей этих граней:
$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{ADD_1A_1} + S_{BDD_1B_1} = 16 + 16 + 16\sqrt{2} = 32 + 16\sqrt{2} = 16(2 + \sqrt{2})$ см².
Ответ: $16(2 + \sqrt{2})$ см².

2. Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота цилиндра.
Площадь основания (круга) равна $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания.
Высота прямого цилиндра равна его образующей.
По условию, образующая (высота) $h = 5$ см, а радиус основания $r = 2$ см.
Вычислим объём:
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 2^2 \cdot 5 = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$ см³.
Ответ: $20\pi$ см³.

3. Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $a = 2$ см и $b = 6$ см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$ см².
Высота пирамиды по условию $h = 5$ см.
Вычислим объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 5 = 2 \cdot 5 = 10$ см³.
Ответ: 10 см³.

4. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус шара.
Пусть радиус первого шара $R_1 = 6$ см, а радиус второго шара $R_2 = 3$ см.
Найдём отношение площадей их поверхностей:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{6}{3}\right)^2 = 2^2 = 4$.
Отношение площадей равно 4.
Ответ: 4.

5. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади её основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
1) Найдём площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность пирамиды $SABCD$ состоит из четырёх треугольников: $\triangle ASB$, $\triangle BSC$, $\triangle CSD$ и $\triangle ASD$.
Рассмотрим $\triangle ASB$. По условию $SA = SB = a$ и угол между этими сторонами $\angle ASB = 60^\circ$. Треугольник, у которого две стороны равны, а угол между ними составляет $60^\circ$, является равносторонним. Следовательно, $\triangle ASB$ — равносторонний со стороной $a$.
Аналогично, треугольники $\triangle BSC$, $\triangle CSD$ и $\triangle ASD$ также являются равносторонними со стороной $a$.
Площадь одного равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Так как все четыре боковые грани равны, площадь боковой поверхности равна:
$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.
2) Найдём площадь основания.
Из того, что боковые грани — равносторонние треугольники со стороной $a$, следует, что стороны основания равны: $AB = BC = CD = DA = a$. Таким образом, основание $ABCD$ является ромбом.
Поскольку все боковые рёбра пирамиды равны ($SA = SB = SC = SD$), её вершина $S$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Ромб можно вписать в окружность только в том случае, если он является квадратом. Следовательно, основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$.
Площадь квадрата равна $S_{осн} = a^2$.
3) Найдём площадь полной поверхности пирамиды.
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + a^2\sqrt{3} = a^2(1 + \sqrt{3})$.
Ответ: $a^2(1 + \sqrt{3})$.