Страница 57 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7

Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $172^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $24^\circ$.

2. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (3; 5), B (-1; -1), C (-7; -5) и D (-3; 1) является ромбом.

3. Найдите уравнение окружности, которая является образом окружности

$(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 36$

при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-4; 1)$.

4. В треугольнике ABC провели биссектрису CE. Найдите стороны AC и BC и биссектрису CE, если AE = a, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если векторы $\vec{m} = 3\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{n} = \vec{a} + 5\vec{b}$ перпендикулярны,

$|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$.

6. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдите наибольшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей.

1)

Формула для внутреннего угла $\alpha$ правильного n-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

По условию, $\alpha = 172^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$172 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}$

$172n = 180(n-2)$

$172n = 180n - 360$

$180n - 172n = 360$

$8n = 360$

$n = \frac{360}{8} = 45$

Ответ: 45 сторон.

2)

Угол, смежный с внутренним углом многоугольника, является его внешним углом. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного n-угольника все внешние углы равны.

Формула для внешнего угла $\beta$ правильного n-угольника: $\beta = \frac{360^\circ}{n}$.

По условию, $\beta = 24^\circ$.

$24 = \frac{360}{n}$

$n = \frac{360}{24} = 15$

Ответ: 15 сторон.

2.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны. Найдём длины сторон, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин: A(3; 5), B(-1; -1), C(-7; -5), D(-3; 1).

Длина стороны AB:

$AB = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.

Длина стороны BC:

$BC = \sqrt{(-7 - (-1))^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$.

Длина стороны CD:

$CD = \sqrt{(-3 - (-7))^2 + (1 - (-5))^2} = \sqrt{(4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.

Длина стороны DA:

$DA = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(6)^2 + (4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{52}$, все стороны четырёхугольника равны. Следовательно, ABCD является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник ABCD является ромбом, так как все его стороны равны $\sqrt{52}$.

3.

Уравнение исходной окружности: $(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 36$.

Центр этой окружности находится в точке $C(2; -6)$, а её радиус $R = \sqrt{36} = 6$.

При параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-4; 1)$ каждая точка $(x; y)$ переходит в точку $(x'; y')$, где $x' = x - 4$ и $y' = y + 1$.

Новый центр окружности $C'$ будет иметь координаты:

$x_{C'} = 2 + (-4) = -2$

$y_{C'} = -6 + 1 = -5$

Таким образом, центр новой окружности — точка $C'(-2; -5)$.

Параллельный перенос является движением, поэтому он сохраняет расстояния. Радиус окружности не изменится: $R' = R = 6$.

Уравнение новой окружности с центром в $C'(-2; -5)$ и радиусом $R'=6$ имеет вид:

$(x - (-2))^2 + (y - (-5))^2 = 6^2$

$(x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 36$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 36$.

4.

В треугольнике ABC с биссектрисой CE дано: $AE = a$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$.

1. Найдём углы треугольника. $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, следовательно, $\angle ACB = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

2. Так как CE — биссектриса, то $\angle ACE = \angle BCE = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{180^\circ - (\alpha + \beta)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

3. Рассмотрим треугольник ACE. Найдём угол $\angle AEC$:

$\angle AEC = 180^\circ - \angle A - \angle ACE = 180^\circ - \alpha - (90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}) = 90^\circ - \frac{\alpha - \beta}{2}$.

4. Применим теорему синусов для треугольника ACE: $\frac{AE}{\sin(\angle ACE)} = \frac{AC}{\sin(\angle AEC)} = \frac{CE}{\sin(\angle A)}$.

$\frac{a}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2})} = \frac{AC}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha - \beta}{2})} = \frac{CE}{\sin(\alpha)}$.

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:

$\frac{a}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})} = \frac{AC}{\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})} = \frac{CE}{\sin(\alpha)}$.

5. Из этой пропорции находим AC и CE:

$AC = \frac{a \cdot \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$

$CE = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$

6. Для нахождения BC применим теорему синусов к основному треугольнику ABC: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$.

$\frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{BC}{\sin(\alpha)} \implies BC = AC \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$.

Подставим найденное выражение для AC:

$BC = \frac{a \cdot \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{a \sin(\alpha) \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\sin(\beta) \cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Ответ: $AC = \frac{a \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$, $BC = \frac{a \sin(\alpha) \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\sin(\beta) \cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$, $CE = \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

5.

Дано, что векторы $\vec{m} = 3\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{n} = \vec{a} + 5\vec{b}$ перпендикулярны. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

$(3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 5\vec{b}) = 0$.

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения ($\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ и $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$):

$3(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 15(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{b} \cdot \vec{a}) - 5(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$

$3|\vec{a}|^2 + 14(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5|\vec{b}|^2 = 0$

Подставим заданные значения $|\vec{a}| = 5$ и $|\vec{b}| = 3$:

$3 \cdot 5^2 + 14(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5 \cdot 3^2 = 0$

$3 \cdot 25 + 14(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5 \cdot 9 = 0$

$75 + 14(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 45 = 0$

$30 + 14(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$14(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -30$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{30}{14} = -\frac{15}{7}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле: $\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.

$\cos(\theta) = \frac{-15/7}{5 \cdot 3} = \frac{-15/7}{15} = -\frac{1}{7}$.

Ответ: $-\frac{1}{7}$.

6.

Даны стороны треугольника: $a = 10$ см, $b = 17$ см, $c = 21$ см.

1. Найдём площадь треугольника (S) по формуле Герона. Сначала вычислим полупериметр $s$:

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 49} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$.

2. Найдём наибольшую высоту ($h_{max}$). Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне. Наименьшая сторона — $a = 10$ см.

Из формулы площади $S = \frac{1}{2} a h_a$ выразим высоту $h_a$:

$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 84}{10} = \frac{168}{10} = 16.8$ см.

3. Найдём радиус вписанной окружности ($r$). Используем формулу $S = r \cdot s$.

$r = \frac{S}{s} = \frac{84}{24} = \frac{7}{2} = 3.5$ см.

4. Найдём радиус описанной окружности ($R$). Используем формулу $S = \frac{abc}{4R}$.

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 84} = \frac{3570}{336} = \frac{85}{8} = 10.625$ см.

Ответ: Наибольшая высота равна 16.8 см, радиус вписанной окружности — 3.5 см, радиус описанной окружности — 10.625 см.