Страница 53 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Декартовы координаты на плоскости

1. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точку $P(-2; -5)$ и центр которой находится в точке $E(1; -3)$.

2. Найдите координаты вершины $C$ параллелограмма $ABCD$, если $A(-3; -2)$, $B(4; 7)$, $D(-2; -5)$.

3. Найдите расстояние от точки $N(-2; 3)$ до прямой $2x - 3y - 7 = 0$.

4. Даны точки $M(-2; -2)$ и $N(2; 10)$.

1) Найдите координаты точки, делящей отрезок $MN$ в отношении $1 : 4$, считая от точки $K$.

2) Составьте уравнение прямой $MN$.

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек $C(2; -1)$ и $D(-4; 5)$.

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = 5x - 9$ и проходит через центр окружности $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$.

1. Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию, центр окружности находится в точке $E(1; -3)$, следовательно, $x_0 = 1$ и $y_0 = -3$. Уравнение принимает вид: $(x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = R^2$, или $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = R^2$.

Радиус окружности $R$ равен расстоянию между центром $E(1; -3)$ и точкой $P(-2; -5)$, лежащей на окружности. Вычислим квадрат радиуса по формуле расстояния между двумя точками:

$R^2 = (x_P - x_E)^2 + (y_P - y_E)^2 = (-2 - 1)^2 + (-5 - (-3))^2 = (-3)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$.

Подставляем найденное значение $R^2$ в уравнение окружности: $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 13$.

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 13$.

2. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Найдем координаты точки пересечения диагоналей $O$, которая является серединой отрезка $BD$.

Координаты середины отрезка $BD$ с концами в точках $B(4; 7)$ и $D(-2; -5)$ вычисляются по формулам:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(1; 1)$.

Точка $O$ также является серединой диагонали $AC$. Пусть координаты вершины $C$ равны $(x_C; y_C)$. Тогда для отрезка $AC$ с концами в точках $A(-3; -2)$ и $C(x_C; y_C)$ справедливы равенства:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow 1 = \frac{-3 + x_C}{2} \Rightarrow 2 = -3 + x_C \Rightarrow x_C = 5$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 1 = \frac{-2 + y_C}{2} \Rightarrow 2 = -2 + y_C \Rightarrow y_C = 4$

Координаты вершины $C$ равны $(5; 4)$.

Ответ: $C(5; 4)$.

3. Расстояние $d$ от точки $N(x_0; y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В нашем случае точка $N(-2; 3)$ и прямая $2x - 3y - 7 = 0$. Имеем: $x_0 = -2$, $y_0 = 3$, $A = 2$, $B = -3$, $C = -7$.

Подставляем эти значения в формулу:

$d = \frac{|2(-2) - 3(3) - 7|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-4 - 9 - 7|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-20|}{\sqrt{13}} = \frac{20}{\sqrt{13}}$.

Ответ: $\frac{20}{\sqrt{13}}$.

4. Даны точки $M(-2; -2)$ и $N(2; 10)$.

1) Найдем координаты точки $K(x_K; y_K)$, которая делит отрезок $MN$ в отношении $1:4$, считая от точки $M$. Это означает, что $MK : KN = 1 : 4$.

Координаты точки, делящей отрезок с концами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ в отношении $m:n$, находятся по формулам:

$x_K = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$, $y_K = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$

Здесь $(x_1; y_1) = (-2; -2)$, $(x_2; y_2) = (2; 10)$, $m=1$, $n=4$.

$x_K = \frac{4 \cdot (-2) + 1 \cdot 2}{1+4} = \frac{-8 + 2}{5} = -\frac{6}{5} = -1.2$

$y_K = \frac{4 \cdot (-2) + 1 \cdot 10}{1+4} = \frac{-8 + 10}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$

Координаты точки $K$ равны $(-1.2; 0.4)$.

Ответ: $(-1.2; 0.4)$.

2) Составим уравнение прямой $MN$, проходящей через две точки $M(-2; -2)$ и $N(2; 10)$.

Уравнение прямой, проходящей через точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, имеет вид:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставляем координаты точек $M$ и $N$:

$\frac{x - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{y - (-2)}{10 - (-2)}$

$\frac{x + 2}{4} = \frac{y + 2}{12}$

Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$3(x + 2) = y + 2$

$3x + 6 = y + 2$

$y = 3x + 4$

Ответ: $y = 3x + 4$.

5. Пусть искомая точка $P$ лежит на оси ординат (оси $y$). Это означает, что ее абсцисса (координата $x$) равна нулю. Таким образом, координаты точки $P$ можно записать как $(0; y)$.

Точка $P$ равноудалена от точек $C(2; -1)$ и $D(-4; 5)$, что означает, что расстояние $PC$ равно расстоянию $PD$. Удобнее работать с квадратами расстояний: $PC^2 = PD^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

$PC^2 = (2 - 0)^2 + (-1 - y)^2 = 4 + (y+1)^2$

$PD^2 = (-4 - 0)^2 + (5 - y)^2 = 16 + (5-y)^2$

Приравниваем выражения для квадратов расстояний:

$4 + (y+1)^2 = 16 + (5-y)^2$

$4 + y^2 + 2y + 1 = 16 + 25 - 10y + y^2$

$y^2 + 2y + 5 = y^2 - 10y + 41$

Сокращаем $y^2$ в обеих частях:

$2y + 5 = -10y + 41$

$12y = 36$

$y = 3$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(0; 3)$.

Ответ: $(0; 3)$.

6. Найдем уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = 5x - 9$ и проходит через центр окружности $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$.

Шаг 1: Нахождение углового коэффициента прямой.

Так как искомая прямая параллельна прямой $y = 5x - 9$, их угловые коэффициенты (наклоны) равны. Угловой коэффициент данной прямой $k=5$. Следовательно, уравнение искомой прямой имеет вид $y = 5x + b$.

Шаг 2: Нахождение центра окружности.

Преобразуем уравнение окружности $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$ к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, выделив полные квадраты для $x$ и $y$.

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) = -6$

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = -6$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = -6$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = -6 + 9 + 1$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4$

Из канонического уравнения видно, что центр окружности находится в точке $(3; -1)$.

Шаг 3: Составление уравнения прямой.

Искомая прямая $y = 5x + b$ проходит через точку $(3; -1)$. Подставим координаты этой точки в уравнение прямой, чтобы найти $b$:

$-1 = 5 \cdot 3 + b$

$-1 = 15 + b$

$b = -16$

Таким образом, уравнение прямой: $y = 5x - 16$.

Ответ: $y = 5x - 16$.