Страница 54 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Векторы

1. Даны точки $M (-2; -4)$, $P (4; 4)$ и $K (-1; 3)$. Найдите:

1) координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

2) модули векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

3) координаты вектора $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM}$;

4) скалярное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

5) косинус угла между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$.

2. При каком значении $p$ векторы $\vec{m}(p; 4)$ и $\vec{n}(20; -10)$:

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

3. На сторонах $CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $CM : MD = 2 : 5$, $AK : KD = 1 : 2$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

4. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} - \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 3\vec{p}$, если $\vec{k} \perp \vec{p}$, $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$.

5. Точка $M$ принадлежит стороне $AC$ треугольника $ABC$. Найдите отрезок $BM$, если $AB = 8$ см, $BC = 4$ см, $\angle ABC = 60^\circ$, $AM : MC = 3 : 1$.

1) координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;
Координаты вектора, заданного двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.
Для вектора $\vec{MK}$ с точками $M(-2; -4)$ и $K(-1; 3)$:
$\vec{MK} = (-1 - (-2); 3 - (-4)) = (-1 + 2; 3 + 4) = (1; 7)$.
Для вектора $\vec{PM}$ с точками $P(4; 4)$ и $M(-2; -4)$:
$\vec{PM} = (-2 - 4; -4 - 4) = (-6; -8)$.
Ответ: $\vec{MK}=(1; 7)$, $\vec{PM}=(-6; -8)$.

2) модули векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;
Модуль (длина) вектора $\vec{a}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Для вектора $\vec{MK}=(1; 7)$:
$|\vec{MK}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Для вектора $\vec{PM}=(-6; -8)$:
$|\vec{PM}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: $|\vec{MK}|=5\sqrt{2}$, $|\vec{PM}|=10$.

3) координаты вектора $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM}$;
Для нахождения координат вектора $\vec{EF}$ выполним действия с векторами $\vec{MK}=(1; 7)$ и $\vec{PM}=(-6; -8)$: $2\vec{MK} = 2 \cdot (1; 7) = (2; 14)$.
$3\vec{PM} = 3 \cdot (-6; -8) = (-18; -24)$.
$\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM} = (2; 14) - (-18; -24) = (2 - (-18); 14 - (-24)) = (2 + 18; 14 + 24) = (20; 38)$.
Ответ: $\vec{EF}=(20; 38)$.

4) скалярное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;
Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.
$\vec{MK} \cdot \vec{PM} = 1 \cdot (-6) + 7 \cdot (-8) = -6 - 56 = -62$.
Ответ: $\vec{MK} \cdot \vec{PM} = -62$.

5) косинус угла между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$.
Косинус угла $\theta$ между векторами вычисляется по формуле $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
Используя ранее найденные значения скалярного произведения и модулей векторов:
$\cos\theta = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{PM}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{PM}|} = \frac{-62}{5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{-62}{50\sqrt{2}} = \frac{-31}{25\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{-31}{25\sqrt{2}} = \frac{-31 \cdot \sqrt{2}}{25\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-31\sqrt{2}}{50}$.
Ответ: $-\frac{31\sqrt{2}}{50}$.

1) коллинеарны;
Векторы $\vec{m}(p; 4)$ и $\vec{n}(20; -10)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{p}{20} = \frac{4}{-10}$.
Отсюда находим $p$:
$p = 20 \cdot \frac{4}{-10} = -2 \cdot 4 = -8$.
Ответ: при $p = -8$.

2) перпендикулярны?
Векторы $\vec{m}(p; 4)$ и $\vec{n}(20; -10)$ перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.
$p \cdot 20 + 4 \cdot (-10) = 0$.
$20p - 40 = 0$.
$20p = 40$.
$p = 2$.
Ответ: при $p = 2$.

Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. В параллелограмме $ABCD$ имеем $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.
Точка $K$ лежит на стороне $AD$ так, что $AK : KD = 1 : 2$. Это означает, что $\vec{AK} = \frac{1}{1+2}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{b}$.
Точка $M$ лежит на стороне $CD$ так, что $CM : MD = 2 : 5$. Это означает, что $\vec{MD} = \frac{5}{2+5}\vec{CD} = \frac{5}{7}\vec{CD}$. Так как вектор $\vec{CD}$ направлен противоположно вектору $\vec{DC}$, то $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{a}$. Отсюда $\vec{MD} = -\frac{5}{7}\vec{a}$. Вектор $\vec{MK}$ можно выразить как сумму векторов по правилу треугольника: $\vec{MK} = \vec{MD} + \vec{DA} + \vec{AK}$.
$\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$.
Подставляем найденные выражения:
$\vec{MK} = -\frac{5}{7}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{b} = -\frac{5}{7}\vec{a} + (\frac{1}{3} - 1)\vec{b} = -\frac{5}{7}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$.
Ответ: $\vec{MK} = -\frac{5}{7}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
Найдём скалярное произведение векторов $\vec{a} = 3\vec{k} - \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 3\vec{p}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{k} - \vec{p}) \cdot (\vec{k} - 3\vec{p}) = 3(\vec{k} \cdot \vec{k}) - 9(\vec{k} \cdot \vec{p}) - (\vec{p} \cdot \vec{k}) + 3(\vec{p} \cdot \vec{p}) = 3|\vec{k}|^2 - 10(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 3|\vec{p}|^2$.
По условию $\vec{k} \perp \vec{p}$, следовательно, их скалярное произведение $\vec{k} \cdot \vec{p} = 0$. Также дано, что $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1)^2 - 10(0) + 3(1)^2 = 3 + 3 = 6$.
Теперь найдём модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (3\vec{k} - \vec{p})^2 = 9|\vec{k}|^2 - 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + |\vec{p}|^2 = 9(1)^2 - 6(0) + 1^2 = 10 \implies |\vec{a}| = \sqrt{10}$.
$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{k} - 3\vec{p})^2 = |\vec{k}|^2 - 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 9|\vec{p}|^2 = 1^2 - 6(0) + 9(1)^2 = 10 \implies |\vec{b}| = \sqrt{10}$.
Подставляем найденные значения в формулу для косинуса:
$\cos\theta = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

Для решения задачи используем метод векторов. Примем точку $B$ за начало координат. Пусть $\vec{BA} = \vec{u}$ и $\vec{BC} = \vec{v}$.
По условию $|\vec{u}| = AB = 8$, $|\vec{v}| = BC = 4$, а угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\angle ABC = 60^\circ$.
Точка $M$ делит отрезок $AC$ в отношении $AM : MC = 3 : 1$. По формуле деления отрезка в заданном отношении для векторов, выходящих из одной точки:
$\vec{BM} = \frac{1 \cdot \vec{BA} + 3 \cdot \vec{BC}}{1+3} = \frac{1}{4}\vec{BA} + \frac{3}{4}\vec{BC} = \frac{1}{4}\vec{u} + \frac{3}{4}\vec{v}$.
Длина отрезка $BM$ равна модулю вектора $\vec{BM}$. Найдём квадрат модуля:
$|\vec{BM}|^2 = \vec{BM} \cdot \vec{BM} = (\frac{1}{4}\vec{u} + \frac{3}{4}\vec{v}) \cdot (\frac{1}{4}\vec{u} + \frac{3}{4}\vec{v}) = \frac{1}{16}|\vec{u}|^2 + \frac{6}{16}(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \frac{9}{16}|\vec{v}|^2$.
Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 16$.
Подставим все значения в выражение для $|\vec{BM}|^2$:
$|\vec{BM}|^2 = \frac{1}{16}(8^2) + \frac{6}{16}(16) + \frac{9}{16}(4^2) = \frac{64}{16} + 6 + \frac{9 \cdot 16}{16} = 4 + 6 + 9 = 19$.
Следовательно, длина отрезка $BM$ равна $\sqrt{19}$.
Ответ: $\sqrt{19}$ см.