Страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую полуокружность называют единичной?

Единичной полуокружностью в декартовой (прямоугольной) системе координат называют полуокружность, центр которой находится в начале координат (точка с координатами (0; 0)), а ее радиус равен единице.

Эта полуокружность является половиной единичной окружности. Уравнение полной единичной окружности, из которой получают единичную полуокружность, задается формулой:

$x^2 + y^2 = 1$

Как правило, под единичной полуокружностью понимают ее верхнюю часть, которая расположена над осью абсцисс (осью Ox) и, соответственно, в I и II координатных четвертях. Для всех точек этой полуокружности ордината $y$ является неотрицательной ($y \ge 0$). Уравнение такой полуокружности имеет вид $y = \sqrt{1 - x^2}$, где $x$ изменяется в пределах от -1 до 1 (то есть, $-1 \le x \le 1$).

Ответ: Единичной называют полуокружность с радиусом, равным 1, и центром в начале координат.

2. Объясните, в каком случае говорят, что углу $\alpha$ соответствует точка $M$ единичной полуокружности.

Говорят, что углу $\alpha$ соответствует точка $M$ единичной полуокружности, если выполняются следующие условия:

1. Единичная полуокружность расположена в декартовой системе координат с центром в начале координат $O(0,0)$, радиусом, равным 1, и обычно в верхней полуплоскости (где ордината $y \ge 0$).
2. Угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси абсцисс (оси $Ox$). Начальный луч угла совпадает с положительным направлением оси $Ox$.
3. Точка $M$ является точкой пересечения конечной стороны угла $\alpha$ с единичной полуокружностью. Другими словами, если начальный луч повернуть на угол $\alpha$ вокруг начала координат, то он перейдет в луч $OM$.

Для единичной полуокружности рассматриваются углы $\alpha$ в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан). Координаты точки $M(x; y)$ на этой полуокружности определяются через тригонометрические функции угла $\alpha$: абсцисса точки $M$ равна косинусу угла $\alpha$, а ордината — синусу угла $\alpha$.

$x = \cos(\alpha)$

$y = \sin(\alpha)$

Ответ: Точка $M$ на единичной полуокружности соответствует углу $\alpha$, если луч $OM$, проведенный из начала координат, образует с положительным направлением оси $Ox$ угол, равный $\alpha$.

3. Что называют синусом угла $ \alpha $, где $0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ $?

Для определения синуса угла $\alpha$ в диапазоне $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ используется единичная полуокружность в прямоугольной системе координат $Oxy$.

1. Построим в системе координат $Oxy$ полуокружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом $R=1$, расположенную в верхней полуплоскости (где $y \ge 0$).

2. От положительного направления оси абсцисс (оси $Ox$) отложим угол $\alpha$ против часовой стрелки. Подвижный радиус $OM$ образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $\alpha$. Конечная точка радиуса $M$ будет лежать на этой полуокружности и иметь координаты $(x; y)$.

Синусом угла $\alpha$ ($sin\,\alpha$) называется ордината (координата $y$) точки $M$ на единичной полуокружности.

Математически это записывается так: $\sin \alpha = y$.

Рассмотрим значения синуса для разных углов $\alpha$:

• Если угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то точка $M$ находится в первой координатной четверти, и ее ордината $y$ положительна. Таким образом, $\sin \alpha > 0$.
• Если угол $\alpha = 90^\circ$, то точка $M$ имеет координаты $(0, 1)$. Следовательно, $\sin 90^\circ = 1$.
• Если угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), то точка $M$ находится во второй координатной четверти, и ее ордината $y$ также положительна. Таким образом, $\sin \alpha > 0$.
• В крайних случаях: при $\alpha = 0^\circ$ точка $M$ имеет координаты $(1, 0)$, поэтому $\sin 0^\circ = 0$. При $\alpha = 180^\circ$ точка $M$ имеет координаты $(-1, 0)$, поэтому $\sin 180^\circ = 0$.

Таким образом, для любого угла $\alpha$ из промежутка $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ его синус принимает значения от $0$ до $1$, то есть $0 \le \sin \alpha \le 1$.

Ответ: Синусом угла $\alpha$ ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$) называют ординату точки, лежащей на единичной полуокружности (с центром в начале координат и радиусом 1), которая соответствует углу $\alpha$, отложенному от положительного направления оси $Ox$.