Страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Углы $ \alpha $ и $ \beta $ смежные, $ \cos \alpha = -\frac{1}{6} $.

1) Найдите $ \cos \beta $.

2) Какой из углов $ \alpha $ и $ \beta $ является острым, а какой – тупым?

1) Найдите cos β.

По определению, смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, для углов $ \alpha $ и $ \beta $ выполняется равенство:
$ \alpha + \beta = 180^\circ $
Выразим отсюда угол $ \beta $:
$ \beta = 180^\circ - \alpha $
Теперь найдем косинус угла $ \beta $, используя формулу приведения $ \cos(180^\circ - x) = -\cos x $:
$ \cos \beta = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha $
В условии дано, что $ \cos \alpha = -\frac{1}{6} $. Подставим это значение в полученное выражение:
$ \cos \beta = -(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \cos \beta = \frac{1}{6} $.

2) Какой из углов α и β является острым, а какой – тупым?

Тип угла (в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$) можно определить по знаку его косинуса:
- если косинус угла положителен, то угол острый (от $0^\circ$ до $90^\circ$);
- если косинус угла отрицателен, то угол тупой (от $90^\circ$ до $180^\circ$).

Проанализируем знаки косинусов для углов $ \alpha $ и $ \beta $:
- Для угла $ \alpha $ дано $ \cos \alpha = -\frac{1}{6} $. Так как $ \cos \alpha < 0 $, то угол $ \alpha $ является тупым.
- Для угла $ \beta $ мы нашли, что $ \cos \beta = \frac{1}{6} $. Так как $ \cos \beta > 0 $, то угол $ \beta $ является острым.

Ответ: угол $ \alpha $ – тупой, угол $ \beta $ – острый.

4. Найдите значение выражения:

1) $2\sin 90^\circ + 3\cos 0^\circ;$

2) $3\sin 0^\circ - 5\cos 180^\circ;$

3) $\mathrm{tg}\ 23^\circ \cdot \mathrm{tg}\ 0^\circ \cdot \mathrm{tg}\ 106^\circ;$

4) $6\mathrm{tg}\ 180^\circ + 5\sin 180^\circ + \mathrm{ctg}\ 90^\circ;$

5) $\cos^2 165^\circ + \sin^2 165^\circ;$

6) $\frac{\sin 0^\circ + \sin 90^\circ}{\cos 0^\circ - \cos 90^\circ}.$

1) 2sin 90° + 3cos 0°

Для решения этого выражения воспользуемся известными значениями тригонометрических функций для углов 90° и 0°. Значение синуса 90° равно 1, а косинуса 0° также равно 1.

$\sin 90° = 1$

$\cos 0° = 1$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$2\sin 90° + 3\cos 0° = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5$

Ответ: 5

2) 3sin 0° – 5cos 180°

Нам понадобятся значения синуса 0° и косинуса 180°.

$\sin 0° = 0$

$\cos 180° = -1$

Подставим эти значения в выражение:

$3\sin 0° - 5\cos 180° = 3 \cdot 0 - 5 \cdot (-1) = 0 + 5 = 5$

Ответ: 5

3) tg 23° · tg 0° · tg 106°

В этом выражении присутствует множитель $\text{tg} 0°$. Значение тангенса угла 0° равно нулю.

$\text{tg} 0° = 0$

Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, всё произведение также равно нулю.

$\text{tg} 23° \cdot \text{tg} 0° \cdot \text{tg} 106° = \text{tg} 23° \cdot 0 \cdot \text{tg} 106° = 0$

Ответ: 0

4) 6tg 180° + 5sin 180° + ctg 90°

Найдем значения для каждой тригонометрической функции в выражении.

$\text{tg} 180° = 0$

$\sin 180° = 0$

$\text{ctg} 90° = 0$

Подставим найденные значения:

$6 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 = 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0

5) cos² 165° + sin² 165°

Это выражение является частным случаем основного тригонометрического тождества, которое гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

В данном случае $\alpha = 165°$, поэтому:

$\cos^2 165° + \sin^2 165° = 1$

Ответ: 1

6) $\frac{\sin 0° + \sin 90°}{\cos 0° - \cos 90°}$

Найдем значения тригонометрических функций в числителе и знаменателе дроби.

$\sin 0° = 0$

$\sin 90° = 1$

$\cos 0° = 1$

$\cos 90° = 0$

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{0 + 1}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: 1

5. Вычислите:

1) $4\cos 90^{\circ} + 2\cos 180^{\circ} - \operatorname{ctg} 90^{\circ}$;

2) $\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ} + \sin 90^{\circ}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $4\cos 90^{\circ} + 2\cos 180^{\circ} - \text{ctg} 90^{\circ}$, необходимо знать значения тригонометрических функций для углов $90^{\circ}$ и $180^{\circ}$.
Значения этих функций являются табличными:
$\cos 90^{\circ} = 0$
$\cos 180^{\circ} = -1$
$\text{ctg} 90^{\circ} = \frac{\cos 90^{\circ}}{\sin 90^{\circ}} = \frac{0}{1} = 0$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$4\cos 90^{\circ} + 2\cos 180^{\circ} - \text{ctg} 90^{\circ} = 4 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) - 0 = 0 - 2 - 0 = -2$.
Ответ: -2

2) Чтобы вычислить значение выражения $\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ} + \sin 90^{\circ}$, необходимо знать значения тригонометрических функций для углов $0^{\circ}$, $90^{\circ}$ и $180^{\circ}$.
Значения этих функций являются табличными:
$\cos 0^{\circ} = 1$
$\cos 180^{\circ} = -1$
$\sin 90^{\circ} = 1$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ} + \sin 90^{\circ} = 1 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: 3

6. Чему равен синус угла, если его косинус равен:

1) $1$;

2) $0$?

Чему равен тангенс угла, если его котангенс равен:

1) $1$;

2) $-\frac{1}{3}$?

Для нахождения синуса угла по известному косинусу воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $. Из этого тождества следует, что $ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) $.

1) Если косинус угла равен 1, то есть $ \cos(\alpha) = 1 $, подставляем это значение в формулу:

$ \sin^2(\alpha) = 1 - 1^2 = 1 - 1 = 0 $

Следовательно, $ \sin(\alpha) = 0 $.

Ответ: 0

2) Если косинус угла равен 0, то есть $ \cos(\alpha) = 0 $, подставляем это значение в формулу:

$ \sin^2(\alpha) = 1 - 0^2 = 1 $

Следовательно, $ \sin(\alpha) = \pm\sqrt{1} = \pm 1 $. Синус может быть равен как 1, так и -1.

Ответ: 1 или -1

Для нахождения тангенса угла по известному котангенсу воспользуемся тождеством $ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 $. Из него следует, что $ \tan(\alpha) = \frac{1}{\cot(\alpha)} $.

1) Если котангенс угла равен 1, то есть $ \cot(\alpha) = 1 $, подставляем это значение в формулу:

$ \tan(\alpha) = \frac{1}{1} = 1 $

Ответ: 1

2) Если котангенс угла равен $ -\frac{1}{3} $, то есть $ \cot(\alpha) = -\frac{1}{3} $, подставляем это значение в формулу:

$ \tan(\alpha) = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = 1 \cdot (-3) = -3 $

Ответ: -3

7. Чему равен косинус угла, если его синус равен: 1) 1; 2) 0?

Чему равен котангенс угла, если его тангенс равен: 1) -1; 2) 3?

Для нахождения косинуса угла по известному синусу используется основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Из него следует, что $cos(\alpha) = \pm\sqrt{1 - sin^2(\alpha)}$.

1) Если синус угла равен 1, т.е. $sin(\alpha) = 1$, то:

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - 1^2 = 1 - 1 = 0$

Следовательно, $cos(\alpha) = 0$.

Ответ: 0

2) Если синус угла равен 0, т.е. $sin(\alpha) = 0$, то:

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - 0^2 = 1 - 0 = 1$

Следовательно, $cos(\alpha) = \pm\sqrt{1} = \pm 1$.

Ответ: $\pm 1$

Для нахождения котангенса угла по известному тангенсу используется соотношение: $tan(\alpha) \cdot cot(\alpha) = 1$. Из него следует, что $cot(\alpha) = \frac{1}{tan(\alpha)}$, при условии, что $tan(\alpha) \neq 0$.

1) Если тангенс угла равен -1, т.е. $tan(\alpha) = -1$, то:

$cot(\alpha) = \frac{1}{-1} = -1$

Ответ: -1

2) Если тангенс угла равен 3, т.е. $tan(\alpha) = 3$, то:

$cot(\alpha) = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

8. Найдите $\sin 135^{\circ}$, $\cos 135^{\circ}$, $\operatorname{tg} 135^{\circ}$, $\operatorname{ctg} 135^{\circ}$.

Для нахождения значений тригонометрических функций от угла $135^{\circ}$ мы воспользуемся формулами приведения. Угол $135^{\circ}$ находится во второй координатной четверти ( $90^{\circ} < 135^{\circ} < 180^{\circ}$ ). В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.
Угол $135^{\circ}$ можно представить в виде разности $180^{\circ} - 45^{\circ}$.

sin 135°
Используем формулу приведения $\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin(\alpha)$.
$\sin 135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ}$.
Значение $\sin 45^{\circ}$ является табличным: $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\sin 135^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

cos 135°
Используем формулу приведения $\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
$\cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ}$.
Табличное значение $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\cos 135^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

tg 135°
Значение тангенса можно найти по формуле $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\tg 135^{\circ} = \frac{\sin 135^{\circ}}{\cos 135^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$.
Либо можно использовать формулу приведения $\tg(180^{\circ} - \alpha) = -\tg(\alpha)$.
$\tg 135^{\circ} = \tg(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\tg 45^{\circ}$.
Табличное значение $\tg 45^{\circ} = 1$.
Следовательно, $\tg 135^{\circ} = -1$.
Ответ: -1.

ctg 135°
Значение котангенса можно найти по формуле $\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$.
$\ctg 135^{\circ} = \frac{1}{\tg 135^{\circ}} = \frac{1}{-1} = -1$.
Либо можно использовать формулу приведения $\ctg(180^{\circ} - \alpha) = -\ctg(\alpha)$.
$\ctg 135^{\circ} = \ctg(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\ctg 45^{\circ}$.
Табличное значение $\ctg 45^{\circ} = 1$.
Следовательно, $\ctg 135^{\circ} = -1$.
Ответ: -1.

9. Найдите $sin 150^\circ$, $cos 150^\circ$, $tg 150^\circ$, $ctg 150^\circ$.

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла $150°$, воспользуемся формулами приведения. Угол $150°$ можно представить как разность $180° - 30°$. Угол $150°$ находится во второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс — отрицательны.

sin 150°

Используем формулу приведения для синуса: $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$.
Подставляем $\alpha = 30°$ в формулу:
$sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°)$.
Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $sin(30°) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $sin(150°) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

cos 150°

Используем формулу приведения для косинуса: $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$.
Подставляем $\alpha = 30°$ в формулу:
$cos(150°) = cos(180° - 30°) = -cos(30°)$.
Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

tg 150°

Используем формулу приведения для тангенса: $tg(180° - \alpha) = -tg(\alpha)$.
Подставляем $\alpha = 30°$ в формулу:
$tg(150°) = tg(180° - 30°) = -tg(30°)$.
Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $tg(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $tg(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Альтернативно, можно найти тангенс через отношение синуса к косинусу: $tg(150°) = \frac{sin(150°)}{cos(150°)} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

ctg 150°

Используем формулу приведения для котангенса: $ctg(180° - \alpha) = -ctg(\alpha)$.
Подставляем $\alpha = 30°$ в формулу:
$ctg(150°) = ctg(180° - 30°) = -ctg(30°)$.
Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $ctg(30°) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $ctg(150°) = -\sqrt{3}$.
Альтернативно, можно найти котангенс через отношение косинуса к синусу: $ctg(150°) = \frac{cos(150°)}{sin(150°)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.

10. Существует ли угол $\alpha$, для которого:

1) $\sin \alpha = \frac{1}{2}$;

2) $\sin \alpha = 0,3$;

3) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{5}$;

4) $\cos \alpha = -0,99$;

5) $\cos \alpha = 1,001$;

6) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$?

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство ограниченности тригонометрических функций синуса и косинуса. Для любого действительного угла $ \alpha $ значения его синуса и косинуса находятся в пределах от -1 до 1 включительно. То есть, для существования угла $ \alpha $ должны выполняться неравенства:

$ -1 \le \sin \alpha \le 1 $

$ -1 \le \cos \alpha \le 1 $

Проверим каждое из предложенных равенств на соответствие этому свойству.

1) $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $

Значение $ \frac{1}{2} $ равно 0,5. Проверяем условие: $ -1 \le 0,5 \le 1 $. Неравенство верное. Следовательно, такой угол $ \alpha $ существует (например, $ \alpha = 30^\circ $ или $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ рад).
Ответ: да, существует.

2) $ \sin \alpha = 0,3 $

Проверяем условие: $ -1 \le 0,3 \le 1 $. Неравенство верное. Следовательно, такой угол $ \alpha $ существует.
Ответ: да, существует.

3) $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{5} $

Чтобы сравнить это значение с 1, можно сравнить их квадраты. $ (\frac{\sqrt{3}}{5})^2 = \frac{3}{25} $. Так как $ 3 < 25 $, то $ \frac{3}{25} < 1 $, и следовательно $ 0 < \frac{\sqrt{3}}{5} < 1 $. Таким образом, условие $ -1 \le \frac{\sqrt{3}}{5} \le 1 $ выполняется. Следовательно, такой угол $ \alpha $ существует.
Ответ: да, существует.

4) $ \cos \alpha = -0,99 $

Проверяем условие: $ -1 \le -0,99 \le 1 $. Неравенство верное. Следовательно, такой угол $ \alpha $ существует.
Ответ: да, существует.

5) $ \cos \alpha = 1,001 $

Проверяем условие: $ -1 \le 1,001 \le 1 $. Это неравенство неверно, так как $ 1,001 > 1 $. Максимальное значение косинуса равно 1. Следовательно, такого угла $ \alpha $ не существует.
Ответ: нет, не существует.

6) $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} $

Чтобы сравнить это значение с 1, можно сравнить их квадраты. $ (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4} $. Так как $ 5 > 4 $, то $ \frac{5}{4} > 1 $, и следовательно $ \frac{\sqrt{5}}{2} > 1 $. Условие $ -1 \le \sin \alpha \le 1 $ не выполняется. Максимальное значение синуса равно 1. Следовательно, такого угла $ \alpha $ не существует.
Ответ: нет, не существует.

11. Найдите:

1) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha$ = $\frac{3}{5}$ и $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$;

2) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha$ = $\frac{1}{3}$ и $90^\circ \le \alpha \le 180^\circ$;

3) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha$ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$;

4) $\sin \alpha$, если $\cos \alpha$ = $-0,8$;

5) $\operatorname{tg} \alpha$, если $\sin \alpha$ = $\frac{4}{5}$ и $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$;

6) $\operatorname{ctg} \alpha$, если $\cos \alpha$ = $\frac{12}{13}$ и $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$.

1) Для нахождения $\cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $\cos^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим известное значение $\sin\alpha = \frac{3}{5}$:
$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
По условию угол $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти косинус имеет положительное значение.Следовательно, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

2) Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим значение $\sin\alpha = \frac{1}{3}$:
$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
По условию $90^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, что соответствует II координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательное значение.Следовательно, $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

3) Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим значение $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}$:
$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{16}{16} - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{13}{16}} = \pm\frac{\sqrt{13}}{4}$.
Так как четверть, в которой находится угол $\alpha$, не указана, возможны оба знака.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{13}}{4}$.

4) Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим $\sin^2\alpha$: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Подставим значение $\cos\alpha = -0,8$:
$\sin^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Отсюда $\sin\alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.
Так как четверть не указана, возможны оба знака.
Ответ: $\pm0,6$.

5) Для нахождения $\tg\alpha$ нужно знать $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$. Значение $\sin\alpha$ дано, найдем $\cos\alpha$.
Из основного тригонометрического тождества $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
По условию $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (II четверть), косинус в этой четверти отрицателен, поэтому $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$.
Теперь найдем тангенс по формуле $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\tg\alpha = \frac{4/5}{-3/5} = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{5}{3}) = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $-\frac{4}{3}$.

6) Для нахождения $\ctg\alpha$ нужно знать $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$. Значение $\cos\alpha$ дано, найдем $\sin\alpha$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
$\sin^2\alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169-144}{169} = \frac{25}{169}$.
$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.
По условию $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (I четверть), синус в этой четверти положителен, поэтому $\sin\alpha = \frac{5}{13}$.
Теперь найдем котангенс по формуле $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$\ctg\alpha = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{12}{5}$.
Ответ: $\frac{12}{5}$.

12. Найдите:

1) cos α, если sin α = $\frac{5}{13}$;

2) sin α, если cos α = $\frac{1}{6}$;

3) tg α, если sin α = $\frac{5}{13}$ и $0^{\circ} \leq \alpha < 90^{\circ}$;

4) ctg α, если cos α = $-\frac{8}{17}$.

1) Для нахождения $\cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $\cos\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$
Подставим известное значение $\sin\alpha = \frac{5}{13}$:
$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$
Теперь извлечем квадратный корень:
$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$
Так как не указана четверть, в которой находится угол $\alpha$, возможны два значения.
Ответ: $\pm\frac{12}{13}$

2) Для нахождения $\sin\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $\sin\alpha$:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$
Подставим известное значение $\cos\alpha = \frac{1}{6}$:
$\sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{36 - 1}{36} = \frac{35}{36}$
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{35}{36}} = \pm\frac{\sqrt{35}}{6}$
Так как не указана четверть, в которой находится угол $\alpha$, возможны два значения.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{35}}{6}$

3) Для нахождения $\tg\alpha$ нам сначала нужно найти $\cos\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$
По условию $0° \le \alpha < 90°$, что соответствует I четверти. В этой четверти косинус имеет положительный знак, следовательно, $\cos\alpha = \frac{12}{13}$.
Теперь найдем тангенс по определению $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:
$\tg\alpha = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = \frac{5}{12}$
Ответ: $\frac{5}{12}$

4) Для нахождения $\ctg\alpha$ нам сначала нужно найти $\sin\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$
$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17}$
Теперь найдем котангенс по определению $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Так как знак синуса неизвестен, рассмотрим два возможных случая:
1. Если $\sin\alpha = \frac{15}{17}$, то $\ctg\alpha = \frac{-8/17}{15/17} = -\frac{8}{15}$.
2. Если $\sin\alpha = -\frac{15}{17}$, то $\ctg\alpha = \frac{-8/17}{-15/17} = \frac{8}{15}$.
Следовательно, котангенс может принимать два значения.
Ответ: $\pm\frac{8}{15}$