Страница 15 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте теорему косинусов.

1. Теорема косинусов — это теорема в тригонометрии, которая устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусом одного из его углов. Она является обобщением теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника (теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов для прямоугольного треугольника).

Словесная формулировка теоремы звучит так: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для наглядности рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ и углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, лежащими напротив этих сторон соответственно.

Математически теорему косинусов можно выразить тремя эквивалентными формулами, по одной для каждой стороны треугольника:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{\alpha}$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos{\beta}$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma}$

Из этих формул можно также выразить косинус любого угла, если известны длины всех трех сторон треугольника:

$\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos{\beta} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos{\gamma} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Теорема косинусов применяется для решения следующих двух основных задач:

1. Нахождение длины неизвестной стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и величина угла между ними.

2. Нахождение величины углов треугольника, если известны длины всех трех его сторон.

Ответ: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, формула теоремы косинусов имеет вид: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma}$.

2. Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$, где $a$ — его наибольшая сторона, если:

1) $a^2 < b^2 + c^2$;

2) $a^2 > b^2 + c^2$;

3) $a^2 = b^2 + c^2$?

Для определения типа треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Теорема косинусов для треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $\alpha$, противолежащим стороне $a$, выглядит так:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$

Выразим из этой формулы косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Поскольку $a$ — наибольшая сторона треугольника, то угол $\alpha$, лежащий напротив неё, является наибольшим углом треугольника. Тип треугольника определяется именно этим наибольшим углом:

• Если $\alpha < 90^\circ$ (острый угол), то все углы треугольника острые, и треугольник является остроугольным. Для острого угла $\cos(\alpha) > 0$.
• Если $\alpha = 90^\circ$ (прямой угол), то треугольник является прямоугольным. Для прямого угла $\cos(\alpha) = 0$.
• Если $\alpha > 90^\circ$ (тупой угол), то треугольник является тупоугольным. Для тупого угла $\cos(\alpha) < 0$.

Знаменатель дроби $2bc$ всегда положителен, так как $b$ и $c$ — длины сторон. Следовательно, знак $\cos(\alpha)$ зависит только от знака числителя $b^2 + c^2 - a^2$.

Рассмотрим каждый случай.

1) $a^2 < b^2 + c^2$

В этом случае выражение $b^2 + c^2 - a^2$ будет положительным. Следовательно, $\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} > 0$.

Если косинус угла положительный, то сам угол острый ($\alpha < 90^\circ$). Поскольку $\alpha$ — наибольший угол в треугольнике, и он острый, то и остальные два угла тем более острые. Таким образом, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

2) $a^2 > b^2 + c^2$

В этом случае выражение $b^2 + c^2 - a^2$ будет отрицательным. Следовательно, $\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} < 0$.

Если косинус угла отрицательный, то сам угол тупой ($\alpha > 90^\circ$). Если в треугольнике есть тупой угол, то он является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.

3) $a^2 = b^2 + c^2$

В этом случае выражение $b^2 + c^2 - a^2$ равно нулю. Следовательно, $\cos(\alpha) = \frac{0}{2bc} = 0$.

Если косинус угла равен нулю, то сам угол прямой ($\alpha = 90^\circ$). Это утверждение является теоремой, обратной теореме Пифагора. Если в треугольнике есть прямой угол, то он является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный.

3. Как связаны между собой диагонали и стороны параллелограмма?

Связь между диагоналями и сторонами параллелограмма устанавливается через тождество параллелограмма, которое гласит, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Формулировка теоремы

Пусть $a$ и $b$ — длины смежных сторон параллелограмма, а $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей. Поскольку у параллелограмма противоположные стороны равны, то сумма квадратов всех его сторон равна $a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2(a^2 + b^2)$. Тогда соотношение между сторонами и диагоналями можно выразить следующей формулой:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Доказательство

Для доказательства этой теоремы удобно использовать теорему косинусов. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = CD = a$ и $AD = BC = b$. Пусть диагонали $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Обозначим угол при вершине $A$ как $\angle DAB = \alpha$. Тогда угол при вершине $B$, смежный с ним, будет равен $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. По теореме косинусов для стороны $BD$ имеем:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По теореме косинусов для стороны $AC$ имеем:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-\cos(\alpha)) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

3. Сложим полученные выражения для квадратов диагоналей $d_1^2$ и $d_2^2$:

$d_1^2 + d_2^2 = (a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)) + (a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha))$

Слагаемые $-2ab \cos(\alpha)$ и $+2ab \cos(\alpha)$ взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон. Эта связь выражается формулой $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$, где $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, а $d_1$ и $d_2$ — его диагонали.

28. Найдите неизвестную сторону треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 5 \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$, $\angle B = 60^\circ$;

2) $AB = 3 \text{ см}$, $AC = 2\sqrt{2} \text{ см}$, $\angle A = 135^\circ$.

1) Для нахождения неизвестной стороны треугольника $AC$ воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула для нашего случая выглядит так:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB = 5$ см, $BC = 8$ см, $\angle B = 60^\circ$.

Знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$

$AC^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 89 - 40$

$AC^2 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

2) Для нахождения неизвестной стороны треугольника $BC$ также воспользуемся теоремой косинусов. В данном случае формула будет выглядеть так:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения в формулу:

$AB = 3$ см, $AC = 2\sqrt{2}$ см, $\angle A = 135^\circ$.

Найдем значение косинуса угла $135^\circ$: $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$BC^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ)$

$BC^2 = 9 + (4 \cdot 2) - 12\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$BC^2 = 9 + 8 + \frac{12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}$

$BC^2 = 17 + \frac{12 \cdot 2}{2}$

$BC^2 = 17 + 12$

$BC^2 = 29$

$BC = \sqrt{29}$ см.

Ответ: $\sqrt{29}$ см.