Страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

74. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $ADEF$ так, что угол $A$ у них общий, а точки $D, E$ и $F$ принадлежат соответственно сторонам $AB, BC$ и $AC$ треугольника. Найдите стороны параллелограмма $ADEF$, если $AB = 8$ см, $AC = 12$ см, $AD : AF = 2 : 3$.

Пусть стороны параллелограмма $ADEF$ равны $AD$ и $AF$. По условию задачи дано отношение $AD : AF = 2 : 3$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины сторон параллелограмма можно выразить как:
$AD = 2x$
$AF = 3x$

Поскольку $ADEF$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $DE$ параллельна стороне $AF$. Так как точка $F$ лежит на стороне $AC$ треугольника, то $DE \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $DBE$ и $ABC$.

• Угол $B$ является общим для обоих треугольников.
• Угол $BDE$ равен углу $BAC$ (углу $A$) как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$ ($ \triangle DBE \sim \triangle ABC $) по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:
$ \frac{DB}{AB} = \frac{DE}{AC} $

Теперь выразим длины отрезков $DB$ и $DE$ через $x$:
Отрезок $DB$ является частью стороны $AB$. $DB = AB - AD$. Подставляя известные значения, получаем:
$DB = 8 - 2x$
Сторона $DE$ параллелограмма равна противолежащей стороне $AF$.
$DE = AF = 3x$

Подставим полученные выражения в пропорцию:
$ \frac{8 - 2x}{8} = \frac{3x}{12} $

Решим это уравнение относительно $x$. Сначала упростим дробь в правой части:
$ \frac{8 - 2x}{8} = \frac{x}{4} $
Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:
$ 4 \cdot (8 - 2x) = 8 \cdot x $
$ 32 - 8x = 8x $
$ 32 = 8x + 8x $
$ 32 = 16x $
$ x = \frac{32}{16} = 2 $

Теперь, зная $x$, мы можем найти длины сторон параллелограмма:
$AD = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.
$AF = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 4 см и 6 см.

75. Найдите угол $ADC$ (рис. 11), если $\angle ABC = 140^\circ$.

Рис. 11

Четырехугольник $ABCD$, представленный на рисунке, вписан в окружность. Согласно свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. В данном четырехугольнике углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются противоположными.

Таким образом, справедливо следующее соотношение:
$ \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ $

По условию задачи нам дано, что $ \angle ABC = 140^\circ $. Подставим это значение в формулу, чтобы найти величину угла $ \angle ADC $:
$ 140^\circ + \angle ADC = 180^\circ $

Выразим $ \angle ADC $:
$ \angle ADC = 180^\circ - 140^\circ $
$ \angle ADC = 40^\circ $

Ответ: 40°.

76. Найдите угол $ABC$ (рис. 12), если $\angle ADC = 43^\circ$.

Рис. 12

На рисунке изображен четырехугольник $ABCD$, все вершины которого лежат на окружности. Такой четырехугольник называется вписанным в окружность.

Для вписанного в окружность четырехугольника существует свойство: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. В данном случае углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются противоположными углами четырехугольника $ABCD$.

Это свойство можно доказать через теорему о вписанном угле. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.Угол $\angle ABC$ опирается на дугу $ADC$, следовательно, $\angle ABC = \frac{1}{2} \smile ADC$.Угол $\angle ADC$ опирается на дугу $ABC$, следовательно, $\angle ADC = \frac{1}{2} \smile ABC$.

Сумма этих углов:$\angle ABC + \angle ADC = \frac{1}{2} \smile ADC + \frac{1}{2} \smile ABC = \frac{1}{2} (\smile ADC + \smile ABC)$.

Дуги $ADC$ и $ABC$ вместе составляют полную окружность, градусная мера которой равна $360^\circ$.Таким образом:$\angle ABC + \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$.

По условию задачи нам дано, что $\angle ADC = 43^\circ$. Подставим это значение в полученное равенство, чтобы найти $\angle ABC$:$\angle ABC + 43^\circ = 180^\circ$$\angle ABC = 180^\circ - 43^\circ$$\angle ABC = 137^\circ$

Ответ: $137^\circ$.

77. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, радиус которой равен $R$, $\angle ABC = \alpha$ (рис. 13). Найдите хорду $AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, вписанный в окружность.

Поскольку отрезок $AB$ является диаметром окружности, угол $\angle ACB$, опирающийся на этот диаметр, является прямым. Таким образом, треугольник $ABC$ — прямоугольный, с гипотенузой $AB$.

Длина гипотенузы $AB$ равна диаметру окружности, то есть $AB = 2R$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ нам нужно найти длину катета $AC$. Этот катет является противолежащим для известного угла $\angle ABC = \alpha$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения:

$\sin(\alpha) = \frac{AC}{2R}$

Отсюда выразим длину хорды $AC$:

$AC = 2R \cdot \sin(\alpha)$

Ответ: $2R \sin(\alpha)$.