Страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

111. Дороги из сёл A и B сходятся у развилки C (рис. 23). Дорога из села A до развилки образует с дорогой из села A в село B угол $30^\circ$, а дорога из села B до развилки образует с дорогой из села B в село A угол $70^\circ$. Одновременно из села A в направлении развилки выехал автомобиль со скоростью 90 км/ч, а из села B — автобус со скоростью 60 км/ч. Автомобиль или автобус первым доедет до развилки?

Рис. 23

Чтобы определить, кто первым доедет до развилки C — автомобиль из села A или автобус из села B, — необходимо сравнить время их движения до этой точки. Обозначим дороги как стороны треугольника $ABC$, где $A$ и $B$ — сёла, а $C$ — развилка.

По условию задачи нам даны:
- Скорость автомобиля, выехавшего из села A: $v_A = 90$ км/ч.
- Скорость автобуса, выехавшего из села B: $v_B = 60$ км/ч.
- Угол, который образует дорога AC (из A к развилке) с дорогой AB: $\angle A = 30^\circ$.
- Угол, который образует дорога BC (из B к развилке) с дорогой AB: $\angle B = 70^\circ$.

Время движения для автомобиля ($t_A$) и автобуса ($t_B$) вычисляется по формулам:
$t_A = \frac{AC}{v_A} = \frac{AC}{90}$
$t_B = \frac{BC}{v_B} = \frac{BC}{60}$
где $AC$ и $BC$ — это длины соответствующих дорог.

Чтобы сравнить время $t_A$ и $t_B$, нам нужно найти соотношение между расстояниями $AC$ и $BC$. Для этого воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Подставим известные значения углов:
$\frac{AC}{\sin(70^\circ)} = \frac{BC}{\sin(30^\circ)}$

Отсюда выразим отношение сторон:
$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Теперь сравним время в пути. Автомобиль приедет первым, если его время в пути меньше ($t_A < t_B$). Это условие эквивалентно неравенству $\frac{AC}{90} < \frac{BC}{60}$.
Умножим обе части неравенства на 180 (наименьшее общее кратное 90 и 60), чтобы избавиться от дробей:
$2 \cdot AC < 3 \cdot BC$
Разделив на $BC$ и на 2, получим:
$\frac{AC}{BC} < \frac{3}{2}$ или $\frac{AC}{BC} < 1.5$

Проверим, выполняется ли это неравенство, подставив в него наше соотношение сторон:
$\frac{\sin(70^\circ)}{\sin(30^\circ)} < 1.5$
Так как $\sin(30^\circ) = 0.5$, получаем:
$\frac{\sin(70^\circ)}{0.5} < 1.5$
$2 \cdot \sin(70^\circ) < 1.5$
$\sin(70^\circ) < 0.75$

Оценим значение $\sin(70^\circ)$. Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
Поскольку функция синуса является возрастающей на интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$, и $70^\circ > 60^\circ$, то $\sin(70^\circ) > \sin(60^\circ)$.
Следовательно, $\sin(70^\circ) > 0.866$. А так как $0.866 > 0.75$, то и $\sin(70^\circ) > 0.75$.

Наше неравенство $\sin(70^\circ) < 0.75$ оказалось ложным. Это означает, что первоначальное предположение ($t_A < t_B$) неверно. Следовательно, верно обратное неравенство:
$t_A > t_B$
Время в пути у автомобиля больше, чем у автобуса, поэтому автобус приедет на развилку раньше.

Ответ: Автобус первым доедет до развилки.

112. Биссектрисы углов $B$ и $C$ прямоугольника $ABCD$ пересекают сторону $AD$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что $BM = CK$.

Поскольку ABCD является прямоугольником, все его углы равны $90^\circ$, а противоположные стороны равны. То есть, $∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90^\circ$ и $AB = CD$.

Так как BM — биссектриса угла B, она делит этот угол на два равных угла:
$∠ABM = ∠CBM = \frac{∠B}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Аналогично, CK — биссектриса угла C, поэтому:
$∠BCK = ∠DCK = \frac{∠C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM (поскольку $∠A = 90^\circ$). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол AMB:
$∠AMB = 180^\circ - ∠A - ∠ABM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Так как $∠ABM = ∠AMB = 45^\circ$, треугольник ABM является равнобедренным. Следовательно, его боковые стороны равны: $AM = AB$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DCK (поскольку $∠D = 90^\circ$). Найдем угол DKC:
$∠DKC = 180^\circ - ∠D - ∠DCK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Так как $∠DCK = ∠DKC = 45^\circ$, треугольник DCK также является равнобедренным. Следовательно, $DK = CD$.

Сравним треугольники ABM и DCK. Они равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников):
1. $AB = CD$ (как противоположные стороны прямоугольника).
2. $AM = DK$ (поскольку $AM = AB$, $DK = CD$ и $AB = CD$).
3. $∠A = ∠D = 90^\circ$ (как углы прямоугольника).
Таким образом, $△ABM ≅ △DCK$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Стороны BM и CK являются гипотенузами в этих треугольниках и лежат напротив равных углов (A и D), значит, они являются соответствующими сторонами. Следовательно, $BM = CK$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BM = CK$ доказано.

113. На рисунке 24 $DE \parallel AC$, $FK \parallel AB$. Укажите, какие треугольники на этом рисунке подобны.

Рис. 23

Рис. 24

Для определения подобных треугольников на рисунке воспользуемся признаком подобия по двум углам: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Условия параллельности прямых $DE \parallel AC$ и $FK \parallel AB$ позволяют нам найти такие равные углы.

Подобие треугольников $DBE$ и $ABC$

Рассмотрим треугольники $DBE$ и $ABC$. По условию, прямая $DE$ параллельна стороне $AC$.

• Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
• Углы $\angle BDE$ и $\angle BAC$ равны, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, по двум равным углам, треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$.

$\triangle DBE \sim \triangle ABC$

Подобие треугольников $FCK$ и $ABC$

Рассмотрим треугольники $FCK$ и $ABC$. По условию, прямая $FK$ параллельна стороне $AB$.

• Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
• Углы $\angle CFK$ и $\angle CBA$ равны, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых $FK$ и $AB$ и секущей $BC$.

Следовательно, по двум равным углам, треугольник $FCK$ подобен треугольнику $ABC$.

$\triangle FCK \sim \triangle ABC$

Подобие треугольника $FME$

Из доказанных выше подобий следует, что $\triangle DBE \sim \triangle FCK$ (по свойству транзитивности, так как оба подобны $\triangle ABC$).

Теперь рассмотрим $\triangle FME$.

Так как $DE \parallel AC$, то и отрезок $ME \parallel KC$. В треугольнике $\triangle FKC$ прямая $ME$ параллельна стороне $KC$. Следовательно, малый треугольник $\triangle FME$ подобен большому $\triangle FKC$.

• Угол $\angle F$ у них общий.
• Углы $\angle FME$ и $\angle FKC$ равны как соответственные при параллельных прямых $ME$ и $KC$ и секущей $FK$.

Таким образом, $\triangle FME \sim \triangle FKC$. А поскольку $\triangle FKC \sim \triangle ABC$, то и $\triangle FME$ подобен всем трём треугольникам: $\triangle ABC$, $\triangle DBE$ и $\triangle FCK$.

Подобие треугольников $BDM$ и $BAK$

Рассмотрим треугольник $BAK$. Так как $DE \parallel AC$, то и отрезок $DM \parallel AK$. Прямая $DM$ параллельна стороне $AK$ треугольника $BAK$.

• Угол $\angle B$ является общим для треугольников $BDM$ и $BAK$.
• Углы $\angle BDM$ и $\angle BAK$ равны как соответственные при параллельных прямых $DM$ и $AK$ и секущей $AB$.

Следовательно, по двум равным углам, $\triangle BDM \sim \triangle BAK$.

Ответ: На рисунке подобны следующие треугольники:

1. Группа из четырех треугольников, подобных друг другу: $\triangle ABC \sim \triangle DBE \sim \triangle FCK \sim \triangle FME$.

2. Пара подобных треугольников: $\triangle BDM \sim \triangle BAK$.

114. На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ отметили точку $K$, а на стороне $CD$ – точку $M$ так, что $AK : KB = 1 : 2$, $DM : MC = 3 : 1$. Найдите сторону квадрата, если $MK = 13$ см.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$ см.

По условию, на стороне $AB$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KB = 1 : 2$. Это означает, что вся сторона $AB$ разделена на $1+2=3$ части. Длина стороны $AB$ равна $a$. Тогда длина отрезка $AK$ составляет одну из трех частей, то есть:

$AK = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3}a$

Аналогично, на стороне $CD$ отмечена точка $M$ так, что $DM : MC = 3 : 1$. Вся сторона $CD$ разделена на $3+1=4$ части. Длина стороны $CD$ также равна $a$. Тогда длина отрезка $DM$ составляет три из четырех частей, то есть:

$DM = \frac{3}{4} CD = \frac{3}{4}a$

Чтобы найти сторону квадрата, воспользуемся длиной отрезка $MK = 13$ см. Для этого построим прямоугольный треугольник. Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KH$ к стороне $CD$. Точка $H$ будет лежать на стороне $CD$.

В получившемся прямоугольном треугольнике $KHM$ ($\angle KHM = 90^\circ$):

1. Гипотенуза $MK$ по условию равна 13 см.

2. Катет $KH$ равен расстоянию между параллельными сторонами $AB$ и $CD$, то есть равен стороне квадрата: $KH = a$.

3. Катет $HM$ можно найти как разность длин отрезков на прямой $CD$. Так как $KH \perp CD$ и $AK \perp AD$, то четырехугольник $AKHD$ является прямоугольником. Следовательно, $DH = AK = \frac{1}{3}a$. Длина отрезка $HM$ будет равна модулю разности длин $DM$ и $DH$:

$HM = |DM - DH| = |\frac{3}{4}a - \frac{1}{3}a|$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$HM = |\frac{9a}{12} - \frac{4a}{12}| = |\frac{5a}{12}| = \frac{5a}{12}$ (так как длина стороны $a$ положительна).

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику $KHM$: $MK^2 = KH^2 + HM^2$.

Подставим известные значения:

$13^2 = a^2 + (\frac{5a}{12})^2$

$169 = a^2 + \frac{25a^2}{144}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$169 = \frac{144a^2}{144} + \frac{25a^2}{144}$

$169 = \frac{144a^2 + 25a^2}{144}$

$169 = \frac{169a^2}{144}$

Разделим обе части уравнения на 169:

$1 = \frac{a^2}{144}$

Отсюда находим $a^2$:

$a^2 = 144$

Так как длина стороны $a$ — положительная величина, извлекаем квадратный корень:

$a = \sqrt{144} = 12$

Таким образом, сторона квадрата равна 12 см.

Ответ: 12 см.

115. Решите прямоугольный треугольник:

1) по двум катетам $a = 7$ см и $b = 35$ см;

2) по гипотенузе $c = 17$ см и катету $a = 8$ см;

3) по гипотенузе $c = 4$ см и острому углу $\alpha = 50^\circ$;

Решение прямоугольного треугольника заключается в нахождении всех его неизвестных сторон и углов. Будем использовать стандартные обозначения: $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, $\alpha$ — угол, противолежащий катету $a$, $\beta$ — угол, противолежащий катету $b$, $\gamma=90^\circ$ — прямой угол.

1) по двум катетам $a = 7$ см и $b = 35$ см;

Дано: катеты $a = 7$ см и $b = 35$ см.
Найти: гипотенузу $c$, углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдём длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 35^2} = \sqrt{49 + 1225} = \sqrt{1274} \approx 35,69$ см.

2. Найдём угол $\alpha$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5} = 0,2$.
Отсюда, $\alpha = \arctan(0,2) \approx 11,31^\circ$. Переводя в градусы и минуты: $0,31 \cdot 60' \approx 19'$, получаем $\alpha \approx 11^\circ19'$.

3. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\alpha + \beta = 90^\circ$. Найдём угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 11^\circ19' = 78^\circ41'$.

Ответ: $c = \sqrt{1274} \approx 35,69$ см, $\alpha \approx 11^\circ19'$, $\beta \approx 78^\circ41'$.

2) по гипотенузе $c = 17$ см и катету $a = 8$ см;

Дано: гипотенуза $c = 17$ см, катет $a = 8$ см.
Найти: катет $b$, углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдём длину катета $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

2. Найдём угол $\alpha$. Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{8}{17} \approx 0,4706$.
Отсюда, $\alpha = \arcsin(\frac{8}{17}) \approx 28,07^\circ$. Переводя в градусы и минуты: $0,07 \cdot 60' \approx 4'$, получаем $\alpha \approx 28^\circ4'$.

3. Найдём угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 28^\circ4' = 61^\circ56'$.

Ответ: $b = 15$ см, $\alpha \approx 28^\circ4'$, $\beta \approx 61^\circ56'$.

3) по гипотенузе $c = 4$ см и острому углу $\alpha = 50^\circ$;

Дано: гипотенуза $c = 4$ см, угол $\alpha = 50^\circ$.
Найти: катеты $a$ и $b$, угол $\beta$.

1. Найдём второй острый угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

2. Найдём катет $a$, противолежащий углу $\alpha$. Он равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
$a = c \cdot \sin \alpha = 4 \cdot \sin 50^\circ \approx 4 \cdot 0,7660 \approx 3,06$ см.

3. Найдём катет $b$, прилежащий к углу $\alpha$. Он равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:
$b = c \cdot \cos \alpha = 4 \cdot \cos 50^\circ \approx 4 \cdot 0,6428 \approx 2,57$ см.

Ответ: $\beta = 40^\circ$, $a \approx 3,06$ см, $b \approx 2,57$ см.