Номер 115, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

115. Решите прямоугольный треугольник:

1) по двум катетам $a = 7$ см и $b = 35$ см;

2) по гипотенузе $c = 17$ см и катету $a = 8$ см;

3) по гипотенузе $c = 4$ см и острому углу $\alpha = 50^\circ$;

Решение прямоугольного треугольника заключается в нахождении всех его неизвестных сторон и углов. Будем использовать стандартные обозначения: $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, $\alpha$ — угол, противолежащий катету $a$, $\beta$ — угол, противолежащий катету $b$, $\gamma=90^\circ$ — прямой угол.

1) по двум катетам $a = 7$ см и $b = 35$ см;

Дано: катеты $a = 7$ см и $b = 35$ см.
Найти: гипотенузу $c$, углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдём длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 35^2} = \sqrt{49 + 1225} = \sqrt{1274} \approx 35,69$ см.

2. Найдём угол $\alpha$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5} = 0,2$.
Отсюда, $\alpha = \arctan(0,2) \approx 11,31^\circ$. Переводя в градусы и минуты: $0,31 \cdot 60' \approx 19'$, получаем $\alpha \approx 11^\circ19'$.

3. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\alpha + \beta = 90^\circ$. Найдём угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 11^\circ19' = 78^\circ41'$.

Ответ: $c = \sqrt{1274} \approx 35,69$ см, $\alpha \approx 11^\circ19'$, $\beta \approx 78^\circ41'$.

2) по гипотенузе $c = 17$ см и катету $a = 8$ см;

Дано: гипотенуза $c = 17$ см, катет $a = 8$ см.
Найти: катет $b$, углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдём длину катета $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

2. Найдём угол $\alpha$. Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{8}{17} \approx 0,4706$.
Отсюда, $\alpha = \arcsin(\frac{8}{17}) \approx 28,07^\circ$. Переводя в градусы и минуты: $0,07 \cdot 60' \approx 4'$, получаем $\alpha \approx 28^\circ4'$.

3. Найдём угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 28^\circ4' = 61^\circ56'$.

Ответ: $b = 15$ см, $\alpha \approx 28^\circ4'$, $\beta \approx 61^\circ56'$.

3) по гипотенузе $c = 4$ см и острому углу $\alpha = 50^\circ$;

Дано: гипотенуза $c = 4$ см, угол $\alpha = 50^\circ$.
Найти: катеты $a$ и $b$, угол $\beta$.

1. Найдём второй острый угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

2. Найдём катет $a$, противолежащий углу $\alpha$. Он равен произведению гипотенузы на синус этого угла:
$a = c \cdot \sin \alpha = 4 \cdot \sin 50^\circ \approx 4 \cdot 0,7660 \approx 3,06$ см.

3. Найдём катет $b$, прилежащий к углу $\alpha$. Он равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:
$b = c \cdot \cos \alpha = 4 \cdot \cos 50^\circ \approx 4 \cdot 0,6428 \approx 2,57$ см.

Ответ: $\beta = 40^\circ$, $a \approx 3,06$ см, $b \approx 2,57$ см.